Файл: Математический анализ ти Учебные материалы в каких точках выпукла или вогнута кривая y 2 3x x.pdf

Найдите точки максимума (минимума) функции y = -x² + 4x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
(2; 4) – точка максимума
●
(2; 4) – точка минимума
●
(-2; 4) – точка максимума
Найдите точки максимума (минимума) функции y = x / (1 + x²)
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
(-1; -0,5) – точка минимума, (1; 0,5) – точка максимума
●
(-0,5; -1) – точка минимума, (1; 0,5) – точка максимума
●
(-0,5; -1) – точка минимума, (0,5; 10,5) – точка максимума
Найдите точку перегиба кривой y = -x³ + 6x² - 15x + 10
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
(2; -4)
●
(-2; 4)
●
(-2; -4)
●
(2; 4)
Найдите точку перегиба кривой y = 1/3
⋅
x³ - x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
(0; 0)
●
(1; 1)
●
(0; 1)
●
(-1; 0)

Найдите частное решение дифференциального уравнения y′ + 4y = 2,
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 6
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = 11/2
⋅ e⁻⁴ˣ + 1/2
●
2) y = e⁻⁴ˣ + 1/2
●
3) y = 11/2
⋅ e⁴ˣ + 1/2
●
4) y = −11/2
⋅ e⁻⁴ˣ + 1/2
Найдите частное решение уравнения 2sdt = tds, если при t = 1 s = 2
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) s = 2t²
●
2) s = 2t
●
3) s = t²
Найдите частное решение уравнения ds = (4t - 3)dt, если при t = 0 s = 0
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) s = 2t² − 3t
●
2) s = t² − 2t
●
3) s = t² + 3t
Найдите частное решение уравнения xdx = dy, если при x = 1 y = 0
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = 1/2
⋅ (x² - 1)
●
2) y = 1/2
⋅ x
●
3) y = (x² - 1)

Найдите частные производные второго порядка функции z = x³y⁴ + ycosx
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (∂²z/∂x²) = 6xy⁴ − ycosx, (∂²z/∂y²) = 12x³y², (∂²z/∂x∂y) = 12x²y³ − sinx
●
2) (∂²z/∂x²) = 3x²y⁴ − ysinx, (∂²z/∂y²) = 4x³y³ − cosx, (∂²z/∂x∂y) = 6x
⋅ 4y − sinx
●
3) (∂²z/∂x²) = 6xy⁴ − ycosx, (∂²z/∂y²) = 12x³y² − cosx, (∂²z/∂x∂y) = 12x²y³ + sinx
●
4) (∂²z/∂x²) = 3x²y⁴ − ycosx, (∂²z/∂y²) = 12x³y², (∂²z/∂x∂y) = 6xy³ − sinx
Найдите частные производные второго порядка функции z = xy + xsin y
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) ∂²z/∂x² = 0; ∂²z/∂y² = −xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 + cosy
●
2) ∂²z/∂x² = 1; ∂²z/∂y² = xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 + cosy
●
3) ∂²z/∂x² = 0; ∂²z/∂y² = xsiny; ∂²z/∂x∂y = 1 − cosy
Найдите частные производные функции двух переменных z = xeʸ + yeˣ
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) ∂z/∂x = eʸ + yeˣ, ∂z/∂y = xeʸ + eˣ
●
2) ∂z/∂x = eʸ + eˣ, ∂z/∂y = eʸ + eˣ
●
3) ∂z/∂x = xeʸ + eˣ, ∂z/∂y = eʸ + yeˣ
●
4) ∂z/∂x = xeʸ + yeˣ, ∂z/∂y = xeʸ + yeˣ
Найдите частные производные функции двух переменных z = xsin y + ysin x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) ∂z/∂x = siny + ycosx; ∂z/∂y = xcosy + sinx
●
2) ∂z/∂x = siny + cosx; ∂z/∂y = cosy + sinx
●
3) ∂z/∂x = xsiny + cosx; ∂z/∂y = cosy + ysinx

Найдите частные производные функции трех переменных z = (t⁴ + 3x²)
⋅
cosy
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (∂z/∂x) = 6x
⋅ cosy, (∂z/∂y) = −(t⁴ + 3x²) ⋅ siny, (∂z/∂t) = 4t³ ⋅ cosy
●
2) (∂z/∂x) = (t⁴ + 6x)
⋅ cosy, (∂z/∂y) = (t⁴ + 3x²) ⋅ siny, (∂z/∂t) = (4t³ + 6x) ⋅ cosy
●
3) (∂z/∂x) = 6x
⋅ cosy + 4t³, (∂z/∂y) = (t⁴ + 3x²) ⋅ cosy - 6x ⋅ siny, (∂z/∂t) = (4t³ + 6x)
⋅ cosy
●
4) (∂z/∂x) = 6x
⋅ cosy, (∂z/∂y) = (t⁴ + 3x²) ⋅ siny, (∂z/∂t) = 4t³ ⋅ siny
Найдите lim tg(xy) / x, x
⟶
0, y
⟶
4
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
4
●
1
●
0
● не существует
Определите поведение функции y = 2x^2 + x - 1 при x = -3
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● убывает
● равна нулю
● постоянна
● возрастает
Относительно чего симметричен график нечетной функции?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● относительно начала координат
● относительно оси ординат
● относительно оси абсцисс

При решении каких уравнений используют подстановку y/x = t?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● при решении однородных уравнений
● при решении линейных уравнений
● при решении уравнений с разделяющими переменными
Разложите в степенной ряд f(x) = arctg 3x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) 3x − 3³x³/3 + 3⁵x⁵/5 − …
●
2) x − x³/3 + x⁵/5 − …
●
3) 3x − 3x³/3 + 3x⁵/5 − …
●
4) 3x − 3²x²/2 + 3³x³/3 − …
Разложите в степенной ряд f(x) = sin 2x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) 2x/1! − 2³x³/3! + 2⁵x⁵/5! − …
●
2) 2x/1! − 2x³/3! + 2x⁵/5! − …
●
3) x/1! − x³/3! + x⁵/5! − …
●
4) 1 + 2x/1! + 2²x²/2! + …
Решите уравнение x'' - 2x' = 0
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = C₁ + C₂e²ᵗ
●
2) y = C₁e²ᵗ + C₂e⁻²ᵗ
●
3) y = C₁e²ᵗ
●
4) y = −C₁e²ᵗ

Решите уравнение y'' - 4y = 0
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
●
2) y = C₁e²ˣ + C₂e²ˣ
●
3) y = C₁e²ˣ
●
4) y = −C₁e²ˣ
Сила в 6 кГ растягивает пружину на 8 см. Какую работу она производит?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
0,24 кГм
●
0,48 кГм
●
0,14 кГм
Сколько первообразных может иметь каждая функция?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● бесконечно много первообразных
● единственную первообразную
● ограниченное множество

Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле v = 9,8t м/сек.
Какой путь пройдет тело за первые 10 секунд падения?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
490 м
●
360 м
●
150 м

Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите линейное
уравнение
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y' + y = e⁻ˣ / (1 − x)
●
2) 2xyy' − y² + x = 0
●
3) y' + √(xy) = 0
●
4) xy'' = y'
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите однородное
уравнение
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) x²y' = xy + y²
●
2) 2xy' = y² − x
●
3) y' + y = e⁻ˣ / (1 − x)
●
4) xy'' = y'
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение
Бернулли
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y' + y / x = y² / x
●
2) y' + y / x = sinx / x
●
3) y' + y / (x + 2) = 1
●
4) y' − y / x = e^(y/x)
Среди перечисленных дифференциальных уравнений укажите уравнение с
разделяющимися переменными
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (xy² + x)dx + (x²y − y)dy = 0
●
2) ydx + (2√(xy) - x)dy = 0
●
3) (x² + y² + 2x)dx + 2xydy = 0
●
4) (x² − y²)dx + 2xydy = 0

Среди перечисленных уравнений укажите линейные уравнения первого порядка:
1) y' + y² / (x + 2) = eˣ; 2) y' - y / (x + 2) = eˣ
⋅
(x + 2); 3) y' - y / x = cos²(y/x); 4) y' - y / x =
cos²x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
2, 4
●
2, 3, 4
●
1, 2, 4
●
1, 4
Укажите какая из сумм является интегральной
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) ∑ f(
????ⱼ)Δxⱼ, j=1..n
●
2) ∑ f(
????ⱼ), j=1..n
●
3) ∑ f(
????ⱼ)xⱼ, j=1..n
Укажите необходимое условие экстремума
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● в точке экстремума функции ее производная либо равна нулю (f'(x) = 0), либо не существует
● в точке экстремума функции ее производная всегда равна нулю (f'(x) = 0)
● в точке экстремума функции ее производная не существует
Укажите необходимый признак сходимости ряда
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при n
⟶∞
●
2) если ряд сходится, то его n-й член стремится к бесконечности при n
⟶0
●
3) если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при n
⟶0

Укажите область определения функции √(x² - 2x - 8) + √x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) [4; ∞)
●
2) (−∞; 4]
⋃ (4; ∞)
●
3) (−∞; 4]
●
4) (−∞; ∞)
Укажите область определения функции y = √(x² - 5)
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (−∞; −√5]
∪ [√5; ∞)
●
2) (−∞; ∞)
●
3) (−∞; −5]
∪ [5; ∞)
●
4) (−√5; √5)
Укажите область определения функции y = √(x² - 9x - 22) + 1 / √x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) [11; ∞)
●
2) (−∞; 11]
⋃ (11; ∞)
●
3) (−∞; 11]
●
4) (−∞; ∞)
Укажите область определения функции y =
∛
(x² + 1)
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (−∞; ∞)
●
2) (−∞; −1]
●
3) [−1; 1]
●
4) (−∞; 1]
⋃ [1; ∞)

Укажите область определения функции y = 1 / (4 - x)²
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (−∞; 4)
⋃ (4; ∞)
●
2) (−∞; ∞)
●
3) (−∞; 0)
⋃ (0; ∞)
●
4) (−∞; 0)
⋃ (0; 4) ⋃ (4; ∞)
Укажите общее решение уравнения y' - y / (x + 2) = x⁴(x + 2)
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = (x + 2)
⋅ (x⁵/5 + C)
●
2) y = (x⁵/5 + C) / (x + 2)
●
3) y = x⁵/5
⋅ (x + 2)
●
4) y = (x + 2)
⋅ x⁵/5 + C
Укажите общее решение уравнения y' - y / x = x
⋅
1 / cos²x
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = x(tgx + C)
●
2) y = (tgx + C) / x
●
3) y = xtgx
●
4) y = x²/2
⋅ (tgx + C)
Укажите формулу для производной произведения функций u и v, если они
дифференцируемы в некоторой точке и их произведение также
дифференцируемо в этой точке
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) (u
⋅ v)' = u' ⋅ v + u ⋅ v'
●
2) (u
⋅ v)' = u' ⋅ v − u ⋅ v'
●
3) (u
⋅ v)' = u' + v'
●
4) (u
⋅ v)' = u' − v'

Укажите формулу интегрирования по частям
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) ∫ udv = uv − ∫ vdu
●
2) ∫ udv = uv + ∫ vdu
●
3) ∫ udv = uv − ∫ udu
Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4,
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) y = 3e⁻²ˣ + 2
●
2) y = e⁻²ˣ + 5
●
3) y = ln|C − 2x|
●
4) y = 5 − 2x
Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● алгебраической сумме интегралов от этих функций
● алгебраической разности интегралов от этих функций
● алгебраическому произведению интегралов от этих функций
Чему равна производная постоянной функции?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
0
●
1
●
-1

Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно
малых или бесконечно больших функций, если последний существует?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● пределу отношения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
● пределу произведения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
● пределу суммы производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций
Число F(X0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
●
1) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀)
●
2) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀)
●
1) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) = f(x₀)
Что называется асимптотой кривой?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М в бесконечность
● прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к единице при удалении точки М в бесконечность
● прямая l, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой стремится к бесконечности при удалении точки М в бесконечность
Что называется критическими точками второго рода?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● точки области определения, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует
● точки области определения, в которых первая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует
● точки области определения, в которых производная функции y = f(x) равна единице

Что называется порядком дифференциального уравнения?
Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из
нескольких предложенных вариантов
● наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение
● наивысший порядок переменной, входящей в дифференциальное уравнение
● наивысший порядок второй производной, входящей в дифференциальное уравнение