Файл: Лабораторная работа 5c определение отношения теплоёмкости воздуха при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном объёме методом клеманадезорма введение.pdf

102
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5-C
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ ВОЗДУХА ПРИ
ПОСТОЯННОМ ДАВЛЕНИИ К ТЕПЛОЁМКОСТИ ПРИ
ПОСТОЯННОМ ОБЪЁМЕ МЕТОДОМ КЛЕМАНА–ДЕЗОРМА
1.
Введение
Работа посвящена экспериментальному определению отношения удельных теплоёмкостей воздуха
p
V
γ = c / c – коэффициента Пуассона, входящего в уравнение Пуассона. Это уравнение, описывающее адиабатный процесс, играет важную роль в термодинамике, в частности в анализе работы двигателей внутреннего сгорания. Воздух при этом считается идеальным газом, в котором расстояние между молекулами много больше собственных размеров молекул и столкновения с другими молекулами и со стенками сосуда носят абсолютно упругий характер.
2.
Основные понятия
По первому закону термодинамики количество теплоты
Q
δ
, переданное системе идёт на изменение внутренней энергии
dU
и работу
A
δ
, совершаемую системой над внешними телами. Обратим внимание на обозначения: бесконечно малые величины (не приращения!)
Q
δ
и
A
δ
представляют собой элементарные количество теплоты и работу соответственно. Интегралы от этих величин
Q
Q
A
A
2 2
12 12 1
1
,
δ =
δ =
∫
∫
зависят от пути перехода из состояния 1 в состояние 2, Q
12
- полное количество теплоты, которое сообщили системе при переходе её из состояния 1 в состояние 2,
A
12
- работа, которую совершила система над внешними телами. В то время как
dU
является

103
бесконечно малым изменением внутренней энергии системы, интеграл
dU
U
U
2 2
1 1
=
−
∫
зависит только от начального и конечного состояния системы и не зависит от способа перехода системы.
Работу газа можно выразить через давление p и изменение объёма
dV
:
Q = dU + A = dU + pdV
δ
δ
. (1)
Внутренней энергией системы называется сумма кинетической энергии движения частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и внутренней энергии этих частиц, при этом сюда не входит кинетическая энергия движения системы как целого, а также потенциальная энергия во внешних полях. Внутренняя энергия газа зависит от его температуры
T
и числа степеней свободы i его молекул. Свободное движение материальной точки
(одноатомной молекулы) описывается тройкой координат x, y, z.
Поэтому i = 3. Две материальные точки, соединённые жёстким невесомым стержнем длиной
L
, образуют так называемую гантель.
Это упрощённая модель двухатомных молекул (более сложная учитывает ещё колебания частиц). Арифметика подсчёта степеней свободы проста. В гантели каждая точка при отсутствии связи имела бы три степени свободы; здесь же число степеней свободы уменьшается на число связей. Итого
i
=
5. Внутренняя энергия идеального газа определяется соотношением
i
U =
RT
2
ν
, где
ν
– число молей, а
R
=
8.31
Дж/(К·моль) – универсальная газовая постоянная. Количество теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы повысить температуру на 1 К, называется теплоёмкостью:
Q
C =
dT
δ
. Если нагревание происходит при постоянном объёме, то соответствующая теплоёмкость с учётом
(1) будет:

104
V =const
Q
dU
C
=
=
V
dT
dT






δ
, а при постоянном давлении:
p
V
V
dU
dV
dV
C =
+ p
= C + p
>C
dT
dT
dT
. Легко показать, что для одного моля газа:
(
)
V
p
i + 2 R
iR
C =
, C =
2
2
. Поэтому
p
V
C - C = R – это формула Майера. Молярная теплоёмкость
M
C
и удельная c (т.е. отнесённая к 1 кг) связаны через молярную массу μ формулой
M
C
= c
μ
. Отношение:
p
p
V
V
C
c
i + 2
γ =
=
=
C
c
i
. (2)
Быстропротекающий процесс без теплообмена с внешней средой называется адиабатным и описывается уравнением
Пуассона:
γ
pV = const
,
(3) или
γ-1
TV
= const
, или
γ-1
γ
p
= const
T
. Второе и третье из них получаются из первого, если учесть уравнение Менделеева–
Клапейрона для моля идеального газа
pV = RT
3.
Описание лабораторной установки
Установка (рис. 1) представляет собой один блок, включающий в себя ёмкость (ресивер), компрессор, манометр 1, электронный секундомер2(в работе не используется). На передней панели находится кнопка 3 ("пуск"),используемая для открытия клапана сброса давления в ёмкости. Кнопка 4 ("стоп") используется для закрытия клапана сброса давления. И переключатель 5, используемый длявключения компрессора и установки капилляра, через который будет осуществляться сброс давления. Там же изображена пневмосхема установки.

105
Изначально в емкости находится атмосферное давление
A
p , исходный объем воздуха
A
V
(рис. 2) на графике это точка А.
Если в ёмкость накачивать воздух, то давление в ней будет повышаться до некоторого значения
B
p
, а исходный объём воздуха уменьшится до
B
V
, так как к прежнему количеству воздуха добавили ещё из атмосферы. При этом температура повысится от
A
T до
B
T .
Эта температура через некоторое время вследствие теплообмена с окружающей средой опустится до начальной комнатной
Рис. 1.
пуск стоп капиляр
1 2 3 компрессор
5
1
2
3
4
Рис. 2.
p
B
V
BC
V
DE
V
A
V
T
B
p
C
p
E
T
A
p
AD
p
T
D
A
B
C
D
E

106
температуры
A
T
, а давление до некоторого значения
C
p
Соответствующая точка
C
C
p V
(
,
)
лежит на одной изотерме
(штриховая линия на графике) с начальной точкой
A
A
p V
(
,
).
При этом манометр покажет некоторое значение
1
h
(в миллиметрах ртутного столба):
A
1
C
p = p + h ,
(4)
Соединим теперь ёмкость с атмосферой, через один из капилляров. Произойдёт спад давления до
D
A
p
p
=
, а исходный сжатый объём воздуха расширится до объёма
D
V
. Это адиабатный процесс, сопровождающийся охлаждением до температуры
D
A
T
T
<
Из-за теплопроводности стенок сосуда температура станет подниматься вдоль изохоры, пока не достигнет комнатной температуры
A
T при давлении:
E
A
2
p = p + h ,
(5) где
2
h – новое установившееся значение давления на манометре.
Точки
D
D
p V
(
,
) и
E
E
p V
(
,
) лежат на одной изохоре и соответствуют температурам
D
T и
A
T
. Поэтому запишем для изохорного процесса закон Гей-Люссака
p
= const
T
в виде (см. рис. 2):
E
D
A
D
p
p
=
T
T
,
(6) а для адиабатного расширения – уравнение Пуассона (3):
γ-1
γ-1
D
γ
γ
A
D
p
pc
=
T
T
(7)
Подставляя (4) и (5) в (6) и (7), получим:
A
2
A
A
D
p + h
T
=
p
T
и
γ-1
γ
A
1
A
A
D
p + h
T
=
p
T
















откуда следует:

107
γ-1
γ
A
1
A
2
A
A
p + h
p + h
=
p
p
















или если упростить:
γ-1
γ
1
2
A
A
h
h
1+
= 1+
p
p
















Поскольку
1
A
h
1
p

и
2
A
h
1
p

, то справедливо разложение в ряд
Тейлора:
(
)
m(m - 1)
m(m - 1)(m - 2)
m
2
3
1 + x
1 + mx +
x +
x + ... 1 + mx
2
6
=

Тогда:
1
2
A
A
h
h
1+ (
γ -1)
=1+γ
p
p
,
Откуда:
1
1
2
h
γ =
h - h
(8)
4.
Порядок измерений
4.1. Внести данные о приборе, используемом в лабораторной установке в табл. 1.
Таблица 1
Прибор
Предел измерений
Цена деления
Приборная погрешность
Манометр
4.2. В присутствии преподавателя включить питание установки выключателем на задней панели блока.
4.3. Запустить компрессор переключателем 5 на передней панели, повернув ручку в положение "компрессор" и довести давление до 90 – 100 мм рт. ст.

108 4.4. Отключить компрессор повернув переключатель 5 в положение "1".
4.5. Дождаться установления постоянного значения давления и записать значение
1
h в табл. 2 результатов измерений.
4.6. Нажать кнопку 3"пуск"сброса давления в ёмкости и спустя
4 секунды, после щелчка, нажать кнопку 4 "стоп".
4.7. После установления постоянного давления в ёмкости записать в табл. 2 значение
2
h .
4.5. Измерения повторить не менее десяти раз. Перед новой накачкой воздуха необходимо спустить остатки воздуха кнопкой 3
"пуск" и подождать охлаждение ресивера около 60 секунд, после – перекрыть клапан кнопкой 4 "стоп" и перейти к шагу 4.3.
Таблица 2
№ п/п
1
h
2
h
γ
γ
1 2
10
5.
Обработка результатов измерений
5.1. Определить по формуле (8) значение
γ
для каждого измерения и его среднее значение для
N
измерений:
N
i
i=1
γ
γ =
N
∑
=
Результаты записать в табл. 2.
5.2. Считая воздух газом, состоящим из жёстких двухатомных молекул, рассчитать для него теоретическое значение
теор
γ
Оценить относительную погрешность по формуле:
теор
теор
γ -γ
ε =
γ
=

109 5.3. Рассчитать абсолютную погрешность по формуле:
Δγ = εγ =
5.4. Округлить абсолютную погрешность до одной значащей цифры, а значение
γ
до разряда погрешности и представить окончательный результат в виде:
γ = γ ± Δγ.
6.
Комплекты вопросов для защиты работы
КОМПЛЕКТ I
1.
Сформулируйте первое начало термодинамики.
2.
Что такое теплоёмкость? Как связаны молярные теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме?
3.
Какое количество теплоты получили 2 моля газа неона в ходе изотермического процесса, если давление газа увеличилось в
2 раза?
КОМПЛЕКТ II
1.
Какой процесс называется адиабатным? Запишите первый закон термодинамики для адиабатного процесса. При каком условии реальный процесс приближается к идеальному адиабатному процессу?
2.
Какой газ называется идеальным и чему равна его внутренняя энергия?
3.
Какое количество теплоты было отнято у 2 моль водяного пара в ходе изохорного процесса, если его температура упала от
160°
С до 110°С?
КОМПЛЕКТ III
1.
Как отношение теплоёмкостей
v
p
c
/
c
связано с числом степеней свободы молекулы идеального газа?
2.
Изобразите на одном графике изотерму и адиабату. В каком случае работа, совершаемая газом, больше? Дайте графическую интерпретацию.

110 3.
Рассчитайте, какое количество теплоты получил одноатомный гелий при изотермическом расширении, если его температура изменилась от 300 К до 600 К.
КОМПЛЕКТ IV
1.
Какой процесс называется адиабатическим?
2.
Как изменяется температура газа при его адиабатном расширении?
3.
Рассчитайте работу, которую требуется совершить при изобарном сжатии 5 моль углекислого газа, если его температура меняется от 500 К до 600 К.
КОМПЛЕКТ V
1.
Запишите уравнение Менделеева–Клапейрона.
2.
Что такое внутренняя энергия газа? Чем отличаются внутренние энергии идеального и реального газов (при равном их количестве)?
3.
Рассчитайте работу изотермического расширения 2 моль водорода, взятого при температуре 400 К, от объема V
1
= 2 л до объема V
2
= 4 л.
КОМПЛЕКТ VI
1.
Дайте толкование абсолютной температуры на основе молекулярно-кинетической теории.
2.
Запишите первый закон термодинамики для изотермического и изохорного процессов.
3.
Рассчитайте работу, которую требуется совершить при адиабатном сжатии 1 моля кислорода, если его температура возрастает от 300 К до 600 К.
Автор описания – доц. Ю.А. Портнов