Файл: Построение управления с интерактивным обучением.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Институт информационных технологий, математики и механики
Направление подготовки: «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Математическое моделирование динамики систем и процессов управления»


Практическое задание №1

по дисциплине «Робастное управление»

«Построение управления с интерактивным обучением»

Выполнили:

Балашов А.А.

Куликов Д.А.

Зеленцов Н.Г.
Проверил:

преподаватель

Пакшин П.В.


Нижний Новгород

2022 г.

Содержание


Построить модель системы интерактивного управления с обучением для портального робота из [1, стр. 193].

Теоретические сведения

В рассматриваемой задаче рассматривается пример эксперимента с автоматизацией портального робота из лаборатории Саутгемптонского университета. Задачей робота является установка предметов из условного «ящика» на конвейерную ленту с заданной точностью.

Управление роботом осуществляется по сигналам обратной связи в ортогональной системе координат x-y-z.

Рассмотрим интерактивное управление по оси y – горизонтальной оси трехмерной системы. На рисунке 1 показана траектория желаемого перемещения – участок синусоиды.



Рисунок 1 – Проекция траектории по оси y

Передаточная функция электропривода горизонтальной степени свободы робота:

---

(1)

Для реализации управления будем рассматривать дискретизированную систему с шагом дискретизации с.

Дискретную модель получим, введя передаточную функцию в MatLab в виде объекта tf. Затем преобразуем объект в пространство состояний State Space (ss), а затем, дискретизуем модель функцией c2d. Мерой точности является ошибка обучения.

(2)

где e_k – значение ошибки в момент времени t.

N – количество отсчетов.

Порядок выполнения работы

1. 
   Уравнение объекта в непрерывном пространстве состояний для решения задачи воспользуемся следующими зависимостями:
   

(3)

Дискретизация приводит к замене в (2) непрерывного времени дискретным nΔT_с

Приращение дискретного управления определяется из закона:

(4)

Ошибка интерактивного обучения определяется, как разность выходного управления на текущем и предыдущем шагах:

(5)

При интерактивном управлении закон управления определяется выражением:

.

(6)

---

Где K_i – вычисляемые в процессе интерактивного обучения коэффициенты управления. Как видим, управление линейное.


2. Численный эксперимент проводился при следующих условиях. Матрицы Qи R имеют следующий вид:



Число шагов интегрирования изменяется от 1 до 100, время интегрирования – от 0 до 200 с.

В итоге было получено управление , при этом



Как видно из рис. 3, среднеквадратическая ошибка уменьшается в 10 раз менее чем за 15 повторений.

Для получения коэффициентов численного эксперимента, напишем функцию Calculate_K.m, текст которой приведен ниже

function out = calculateK(A,B,C,Q,R)

%Задаем начальное приближение коэффициентов

A_ = [[A;-C*A] [zeros(3,1);eye(1)]];

B_ = [B;-C*B];

C_ = [[C;zeros(1,3)] [zeros(1);eye(1)]];

% Вычисляем матрицы для работы пакета yalmip - матрицы цели и начальных

% условий

X = sdpvar(4, 4);

Y = sdpvar(1, 2);

Z = sdpvar(2, 2);

%Рассчитываем матрицы коэффициентов метода наименьших квадратов

n11 = X;

n12 = (A_*X+B_*Y*C_)';

n13 = X;

n14 = (Y*C_)';

part1 = [[n11 n12] [n13 n14]];

%Находим целевые матрицы

n21 = A_*X+B_*Y*C_;

n22 = X;

n23 = zeros(4,4);

n24 = zeros(4,1);

%Матрицы начальных приближений

n31 = X; %Вектор начальных условий

n32 = zeros(4,4); %Нулевая матрица для записи коэффициентов

n33 = inv(Q);

n34 = zeros(4,1); %

part2 = [[n21;n31] [n22;n32] [n23;n33] [n24;n34]];

n41 = Y*C_;

n42 = zeros(1,4);

n43 = zeros(1,4);

n44 = inv(R);

part3 = [[n41 n42] [n43 n44]];

LMN = [part1;part2;part3]; %Настраиваем параметры модуля решения

Constraints = [LMN >= 0, C_*X == Z*C_, X >= 0];

%Блок получения решения

%Запуск процедуры оптимизации

optimize(Constraints, [], sdpsettings('verbose',0));

%Сохранение коэффициентов робастного управления

K = value(Y) * inv(value(Z));

out = K;

end

Результат тестирования функции показан на рис. 2 и рис. 3.



Рисунок 2 - Изменение среднеквадратической ошибки обучения в зависимости от числа повторений

3. 
   Ниже приведен текст основной программы, и результаты ее работы
   

%Задаем коэффициенты исходной системы управления%

a1 = 426.7;

a2 = 1.744 * 10^5;

a3 = 0;

c1 = 0;

c2 = 23.7356;

c3 = 661.2*23.7356;

% Расчетные значения матриц системы

---

A = [

0, 1, 0;

0, 0, 1;

-a3, -a2, -a1;

];

B = [0; 0; 1];

C = [c3, c2, c1];

%Рассчитываем дискретную систему

D=[0];

%Задаем систему в пространстве состояний

SYSC=ss(A,B,C,D);

TS=0.01; %Шаг дискретизации

SYSD = c2d(SYSC,TS,'zoh'); %Выполняем дискретизацию системы

%Извлекаем из объекта значения дискретных матриц

A=SYSD.a;

B=SYSD.b;

C=SYSD.c;

D=SYSD.d;

Q = diag([1 1 1 50]);

R = 10^(-3);

%Рассчитываем коэффициенты робастного управления

K = calculateK(A,B,C,Q,R);

x_k = zeros(3,1);

k_max = 100; %Число шагов алгоритма

t_max = 200; %Время моделирования

k_range = 0:k_max;

t_range = 0:t_max;

y_ref = sin(t_range / (t_max / pi)) * 1.0/7.0; %Входное гармоническое воздействие

f1 = figure;

%Строим график гармонического воздействия

figure(f1);

plot(t_range, y_ref)

xlabel('t')

ylabel('Yref (Рј)')

E = [];

Y = zeros(length(k_range), length(t_range));

U = zeros(length(k_range), length(t_range));

E_K_ = zeros(length(k_range), length(t_range));

%Готовим массивы для 3D-графика

for k = 2:length(k_range)

E_k = [];

for t = 1:length(t_range)-1

Y(k,t) = C*x_k;

U(k,t) = U(k-1,t)+K(1)*(Y(k,t)-Y(k-1,t))+K(2)*(y_ref(t+1)-Y(k-1, t+1));

x_k_next = A*x_k + B*U(k,t);

x_k = x_k_next;

e_k = y_ref(t) - Y(k,t);

E_K_(k,t) = e_k;

E_k = [E_k, e_k];

end

E_k = E_k.^2;

E_k = (sum(E_k)/length(E_k))^0.5;

E = [E, E_k];

end

%Строим графики

f2 = figure;

figure(f2);

plot(0:length(E)-1, E);

ylim([0 0.1]);

xlim([0 100]);

xlabel('k')

ylabel('E (Рј)')

grid on

[T_,K_] = meshgrid(t_range, k_range);

f3 = figure;

figure(f3);

surf(T_, K_, U)

xlabel('t')

ylabel('k')

zlabel('u')

shading interp

f4 = figure;

figure(f4);

surf(T_, K_, Y)

xlabel('t')

ylabel('k')

zlabel('y')

shading interp

f5 = figure;

figure(f5);

s = surf(T_, K_, E_K_);

xlabel('t')

ylabel('k')

zlabel('e (Рј)')

shading interp




Рисунок 1 - Изменение управляющего воздействия в зависимости от числа повторений



Рисунок 5 - Изменение выходной переменной в зависимости от числа повторений



Рисунок 6 - Изменение ошибки обучения в зависимости от числа повторений

Заключение

В ходе лабораторной работы было построено оптимальное интерактивное управление с обучением для управления одной из координат электропривода робота. Достигнут минимум среднеквадратической ошибки. Метод интерактивного обучения показал достаточно высокие результаты по скорости сходимости и достижения необходимого функционала качества.

---

Список использованных источников

1. 
   Емельянова Ю.П., Пакшин П.В. УПРАВЛЕНИЕ С ИТЕРАТИВНЫМ ОБУЧЕНИЕМ
   
2. 
   https://yalmip.github.io/
   

---