Файл: Основные понятия и факты геометрии 79 классов.doc

первый распределительный закон

3 . второй распределительный закон

Опр. Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам и .

Если , то .
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ

1. Координаты вектора

Если точки имеют координаты M(x₁;y₁) N(x₂;y₂), то

вектор имеет координаты “конец минус начало”

2. Длина вектора

Если вектор имеет координаты p{x₁;y₁}, то

длина вектора равна |p|= .

3. Координаты cередины отрезка
Если точки имеют координаты M(x₁;y₁) N(x₂;y₂), то

середина отрезка имеект координаты Р

4. Расстояние между точками
Если точки имеют координаты M(x₁;y₁) N(x₂;y₂), то

Уравнение окружности

В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром в точке и радиуса R имеет вид:
Уравнение прямой
В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид у=с, где с - число.

Уравнение оси абсцисс имеет вид у=0.

Уравнение вертикальной прямой имеет вид х=с, где с - число.

Уравнение оси ординат имеет вид х=0.

Скалярное произведение векторов

Опр.

---

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
Свойства скалярного произведения векторов
1 . Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.



2 . Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.



3 . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.


Теорема (скалярное произведение в координатах)

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой .
Следствия теоремы

1. 
   Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .
   
2. 
   Косинус угла между векторами и выражается формулой
   

Свойства скалярного произведения векторов
1

---

.

2 . переместительный закон

3 . распределительный закон

4 . сочетательный закон

11. Правильные многоугольники

Опр. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Формула для вычисления угла правильного n-угольника .
Теорема (об окружности, описанной около правильного многоугольника)

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Теорема (об окружности, вписанной в правильный многоугольник)

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия теоремы

1. 
   центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
   
2. 
   Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах.
   

Формула для вычисления стороны правильного n-угольника .

Формула для вычисления радиуса вписанной окружности правильного n-угольника .

Формула длины окружности

Формула площади круга

Опр. Сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Формула площади сектора

Опр. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.

---

Формула площади сегмента

12. Теоремы Чевы и Менелая

теорема чевы

Если точки , , лежат на сторонах , , соответственно, то отрезки , и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (критерий того, что отрезки , и пересекаются в одной точке).

Теорема менелая

Прямая пересекает произвольный треугольник , причем - точка её пересечения со стороной , - точка её пересечения со стороной ВС и

---

- точка её пересечения с продолжением стороны , тогда и только тогда, когда (критерий того, что точки , , лежат на одной прямой).

---