Файл: Основные понятия и факты геометрии 79 классов.doc

Основные понятия и факты геометрии 7-9 классов

Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур и тел.

Планиметрия – раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.
Точка, прямая, плоскость – неопределяемые понятия.
В геометрии существуют:

1) Неопределяемые понятия.

2) Определения.

3) Аксиомы (математические утверждения, принимаемые без доказательств, их невозможно ни доказать, ни опровергнуть).

4) Теоремы (математические утверждения, которые доказываются на основании аксиом и ранее доказанных теорем)

1. Аксиомы планиметрии (А. В. Погорелов)¹

1. 
   Аксиомы принадлежности.
   

1. 
   Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и не принадлежащие ей.
   
2. 
   Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
   

2. 
   Аксиомы взаимного расположения.
   

1. 
   Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
   
2. 
   Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
   

3. 
   Аксиомы измерения.
   

Опр. Отрезком называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек прямой, расположенных между двумя данными точками. Данные точки называются концами отрезка.
3.1. Каждый отрезок имеет длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой своей точкой.
Опр. Лучом называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек прямой, расположенных по одну сторону от данной точки. Данная точка называется началом луча.
Опр. Углом называется геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с общим началом.

Опр. Два луча называются дополнительными, если их начала совпадают, а их объединение образует прямую.

Опр. Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами.

Опр. Внутренним лучом угла называется луч, проходящий во внутренней области этого угла, начало которого совпадает с вершиной этого угла.

3.2. Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 . Градусная мера

---

угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым своим внутренним лучом.
4. Аксиомы откладывания.
4.1. На любом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

4.2. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 , и только один.
Опр. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками.
Опр. Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

5. Аксиома параллельных (пятый постулат Евклида).
Опр. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2. Углы

Опр. Прямым углом называется угол, равный половине развернутого угла.
Опр. Острым углом называется угол, меньший прямого угла.
Опр. Тупым углом называется угол, больший прямого, но меньший тупого.
Опр. Биссектрисой угла называется внутренний луч этого угла, делящий угол пополам.

Опр. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.
Теорема (свойство смежных углов).

Сумма смежных углов равна 180 .
Теорема (свойство биссектрис смежных углов)

Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 .
Опр. Два углу называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными лучами к сторонам другого.
Теорема (свойство вертикальных углов) Вертикальные углы равны.

Теорема (свойство биссектрис вертикальных углов

---

) Биссектрисы вертикальных углов образуют угол 180 .

---

3. Треугольники

Опр. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
Опр. Треугольник называется тупоугольным, если у него есть тупой угол.
Опр. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.
Опр. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Опр. Треугольник называется правильным (равносторонним), если все его стороны равны.
Опр. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Опр. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Опр. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из данной вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равенство треугольников

Опр1. Два треугольника называются равными, если их можно совместить движением. (Л.С. Атанасян)
Опр2. Два треугольника называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. (В.А. Погорелов)
Пользуясь первым определением, можно доказать второе, и наоборот. Значит, эти определения равносильны.
теорема (Признаки равенства треугольников),

номера важно знать:

1. 
   (По двум сторонам и углу) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
   
2. 
   (По стороне и двум углам) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   
3. 
   (По трем сторонам) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
   

---

Равнобедренный треугольник

Опр. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Теорема (Свойство углов при основании равнобедренного треугольника) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Теорема (Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника к основанию)

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой.
Теорема (Признаки равнобедренного треугольника)

Если в треугольники выполнено хоть одно из условий:

1. 
   два угла равны
   
2. 
   медиана совпала с высотой
   
3. 
   высота совпала с биссектрисой
   
4. 
   медиана совпала с биссектрисой,
   

то такой треугольник является равнобедренным.

Равенство равнобедренных треугольников

теорема (Признаки равенства равнобедренных треугольников), номера не важны, наличие или отсутствие слова “соответственно” важно:

1. 
   (По боковой стороне и основанию) Если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
   

2. 
   (По основанию и углу при основании) Если боковая сторона и угол при основании одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
   

3. 
   (По боковой стороне и углу при вершине) Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
   

4. 
   (По основанию и углу при вершине) Если основание и угол при вершине одного равнобедренного треугольника равны основанию и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
   

5. 
   (По боковой стороне и углу при основании) Если боковая сторона и угол при основании одного равнобедренного треугольника равны боковой стороне и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
   

---