Файл: Курсовая работа По дисциплине Теория многофазных течений.docx

Курсовая работа
По дисциплине: «Теория многофазных течений»

Содержание

1. Задача

Построить траекторию движения и найти зависимость изменения скорости от времени шара, брошенного под углом к горизонту.

При решении задачи учесть силу тяжести, силу Архимеда, силу трения и действие ветра. Направление скорости ветра совпадает с направлением оси ОХ.

Начальные условия для шара:

м/c

м/c

м/с

Данные для решения задачи:

• 
  диаметр шара: м
  
• 
  плотность шара: кг/
  
• 
  плотность воздуха: кг/м
  
• 
  вязкость воздуха: Па.с
  

Коэффициент аэродинамического сопротивления шара принять равным:

, Re= ,

где - векторы скорости ветра и шара.

	Проекция скорости ветра на ось ОХ - (м/c)	Проекция скорости ветра на ось ОУ - (м/c)	Проекция скорости ветра на ось ОZ - (м/c)
	2	0	0

---

2. Теоретическая часть

Фаза – это отдельная часть однофазной системы, ограниченная поверхностью раздела. Фаза может состоять из одного вещества и в таком случае она называется однокомпонентной. Если фаза состоит из нескольких химических веществ, то она называется многокомпонентной. Примером многокомпонентной фазы служит воздух. Движение тела под углом к горизонту

Рассмотрим классификацию сил, действующих со стороны несущей среды на дисперсную частицу:

В данной задаче для упрощения расчетов в качестве действующих сил учитываем только силу тяжести, силу Архимеда и силу трения.

1. 
   Сила тяжести:
   

2. 
   Сила Архимеда:
   

сила Архимеда

3. 
   Сила трения:
   

, где

– вектор скорости несущей среды;

– вектор скорости частицы;

– коэффициент аэродинамического сопротивления;

– площадь миделевого сечения частицы;

Миделевое сечение – наибольшее по площади поперечное сечение тела, движущегося в воде или воздухе.

Если частица имеет сферическую форму, то на нее действует газовый поток и в данном случае – площадь сферы.

, число Рейнольдса

Если ≈ 0÷1, то в этом случае реализуется ламинарный режим обтекания частицы несущей средой.

---

, сила трения – ламинарный или безотрывный режим течения.

При переходном режиме течения ≈ 1÷700

При движении возникают вихревые зоны. За частицей возникают отрывные зоны.



Турбулентный (автомодельный) режим течения: скорость газового потока очень велика. Возникают вихревые кольца. Коэффициент аэродинамического сопротивления находится по формуле:



При построении графика зависимости коэффициента аэродинамического сопротивления от числа Рейнольдса выделяют Стоксовский режим, переходный режим, автомодельный режим, кризис сопротивления.

---

3. Решение задачи

На шар, брошенный под углом к горизонту, действуют сила тяжести, силу Архимеда, силу трения и действие ветра.

Тогда уравнение движение шара имеет следующий вид:





Что бы получили значения изменения скоростей движения шара и его координат, будем использовать численные методы. Методы Рунге – Кутта – это большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. Кутта.

К классу методов Рунге – Кутта относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализуется в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге – Кутта, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, а методы восьмого порядка – не менее 11 стадий. Для методов девятого и более высоких порядков (не имеющих, впрочем, большой практической значимости) неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения соответствующего порядка точности.

Среди достоинств методов Рунге – Кутта, определивших их популярность, можно выделить следующее:

• 
  Эти методы легко программируются,
  
• 
  Эти методы обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости.
  
• 
  Эти методы (как и все одношаговые методы) являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.
  

---

Классический метод Рунге – Кутта четвёртого порядка

Метод Рунге – Кутта четвёртого порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Далее ; .

.

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:



Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:



,





где – величина шага сетки по .









Конкретный метод определяется числом и коэффициентами , и . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу (называемую таблицей Батчера).

Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном шаге имеет порядок O ( ), а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O ( ).

Явные методы Рунге – Кутта

Семейство явных методов Рунге – Кутта является обобщением как явного метода Эйлера, так и классического метода Рунге – Кутта четвёртого порядка. Оно задаётся формулами:

---