Файл: Курсовая работа По дисциплине Теория многофазных течений.docx

где – величина шага сетки по и вычисление нового значения проходит в этапов.

Явные методы Рунге – Кутта, как правило, непригодны для решения жестких уравнений из-за малой области их абсолютной устойчивости. Неустойчивость явных методов Рунге – Кутта создаёт весьма серьёзные проблемы и при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Неустойчивость явных методов Рунге – Кутта мотивировала развитие неявных методов. Неявный метод Рунге – Кутта имеет вид:



где



Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов для него имеет нижний треугольный вид (включая и нулевую главную диагональ) в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид.

Преимуществом неявных методов Рунге – Кутта в сравнении с явными является их большая устойчивость, что особенно важно при решении жестких уравнений. Простейшим неявным методом Рунге – Кутта является модифицированный метод Эйлера «с пересчётом».

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутта является одним из самых распространённых численных методов решений в технике.

Рассмотрим силы, действующие относительно оси ОХ:











Тогда уравнение скорости движения шара относительно оси ОХ имеет следующий вид:



Рассмотрим силы, действующие относительно оси OY:

---

Тогда уравнение скорости движения шара относительно оси ОY имеет следующий вид:



Рассмотрим силы, действующие относительно оси OZ:



Принимая во внимание, что:







Получаем следующий вид уравнения движения относительно оси ОZ:









Уравнение скорости движения шара относительно оси ОZ имеет следующий вид:



Координаты точек нахождения шара в определенные моменты времени рассчитываем по следующим формулам:







Для нахождения модуля вектора скорости (длины вектора) по известным координатам скоростей используем следующую формулу:



Значение скорости рассчитываем исходя из значений скоростей по каждой из оси по формуле:





Рисунок 1. – Изменение скорости шара



Рисунок 2. – траектория движения шара

---

Список используемой литературы

1. 
   Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.
   
2. 
   Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред: ч.1 — М.: Наука, 1987. — 464 с.
   
3. 
   Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М.  Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 630 с. 
   
4. 
   
   

Приложение 1

Таблица 1 - Изменения скорости и положение шара

t	x	y	z	V2x	V2y	V2z	V2	V1x	V1y	V1z	V1-V2	Re	Cd
с	м	м	м	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с
0.00	0.00	0.00	0.00	8.00	2.00	4.00	9.17	0.00	0.00	0.00	9.17	57885	0.458
0.01	0.07	0.02	0.04	7.37	1.81	3.58	8.39	1.15	0.00	0.00	7.40	46727	0.460
0.02	0.14	0.03	0.07	6.85	1.66	3.22	7.75	1.28	0.00	0.00	6.65	41997	0.461
0.03	0.21	0.05	0.10	6.43	1.53	2.92	7.22	1.36	0.00	0.00	6.05	38199	0.462
0.04	0.27	0.06	0.12	6.07	1.42	2.65	6.77	1.41	0.00	0.00	5.55	35026	0.463
0.05	0.32	0.08	0.15	5.76	1.33	2.42	6.39	1.45	0.00	0.00	5.12	32320	0.464
0.06	0.38	0.09	0.17	5.50	1.25	2.22	6.06	1.49	0.00	0.00	4.75	29978	0.465
0.07	0.43	0.10	0.19	5.26	1.17	2.03	5.76	1.52	0.00	0.00	4.42	27928	0.466
0.08	0.48	0.11	0.21	5.06	1.11	1.87	5.51	1.54	0.00	0.00	4.14	26118	0.467
0.09	0.53	0.12	0.23	4.88	1.05	1.71	5.28	1.56	0.00	0.00	3.88	24508	0.468
0.10	0.58	0.13	0.24	4.72	1.00	1.57	5.07	1.58	0.00	0.00	3.65	23066	0.469
0.11	0.62	0.14	0.26	4.57	0.95	1.44	4.89	1.59	0.00	0.00	3.45	21767	0.470
0.12	0.67	0.15	0.27	4.44	0.91	1.32	4.73	1.61	0.00	0.00	3.26	20593	0.470
0.13	0.71	0.16	0.28	4.33	0.87	1.21	4.58	1.62	0.00	0.00	3.09	19526	0.471
0.14	0.75	0.17	0.29	4.22	0.84	1.11	4.44	1.63	0.00	0.00	2.94	18553	0.472
0.15	0.80	0.18	0.30	4.12	0.81	1.01	4.32	1.64	0.00	0.00	2.80	17663	0.473
0.16	0.84	0.19	0.31	4.03	0.78	0.92	4.20	1.65	0.00	0.00	2.67	16848	0.474
0.17	0.88	0.19	0.32	3.95	0.75	0.83	4.10	1.65	0.00	0.00	2.55	16099	0.475
0.18	0.91	0.20	0.33	3.87	0.73	0.74	4.01	1.66	0.00	0.00	2.44	15409	0.475
0.19	0.95	0.21	0.33	3.80	0.70	0.66	3.92	1.67	0.00	0.00	2.34	14775	0.476
0.20	0.99	0.21	0.34	3.73	0.68	0.58	3.84	1.67	0.00	0.00	2.25	14190	0.477
0.21	1.03	0.22	0.35	3.67	0.66	0.51	3.76	1.68	0.00	0.00	2.16	13651	0.478
0.22	1.06	0.23	0.35	3.61	0.64	0.44	3.69	1.68	0.00	0.00	2.08	13155	0.478
0.23	1.10	0.23	0.35	3.56	0.62	0.37	3.63	1.68	0.00	0.00	2.01	12697	0.479
0.24	1.13	0.24	0.36	3.51	0.61	0.30	3.57	1.68	0.00	0.00	1.94	12277	0.480
0.25	1.17	0.24	0.36	3.46	0.59	0.23	3.52	1.69	0.00	0.00	1.88	11892	0.481

---

Продолжение таблицы 1

t	x	y	z	V2x	V2y	V2z	V2	V1x	V1y	V1z	V1-V2	Re	Cd
С	м	м	м	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с
0.26	1.20	0.25	0.36	3.41	0.57	0.17	3.47	1.69	0.00	0.00	1.83	11539	0.481
0.27	1.24	0.26	0.36	3.37	0.56	0.11	3.42	1.69	0.00	0.00	1.78	11217	0.482
0.28	1.27	0.26	0.36	3.33	0.55	0.05	3.37	1.69	0.00	0.00	1.73	10924	0.482
0.29	1.30	0.27	0.36	3.29	0.53	-0.01	3.33	1.69	0.00	0.00	1.69	10659	0.483
0.30	1.33	0.27	0.36	3.25	0.52	-0.07	3.29	1.69	0.00	0.00	1.65	10422	0.483
0.31	1.37	0.28	0.36	3.22	0.51	-0.12	3.26	1.69	0.00	0.00	1.62	10209	0.484
0.32	1.40	0.28	0.36	3.18	0.50	-0.18	3.23	1.69	0.00	0.00	1.59	10021	0.484
0.33	1.43	0.29	0.36	3.15	0.49	-0.23	3.19	1.68	0.00	0.00	1.56	9856	0.485
0.34	1.46	0.29	0.35	3.12	0.48	-0.28	3.17	1.68	0.00	0.00	1.54	9714	0.485
0.35	1.49	0.30	0.35	3.09	0.47	-0.33	3.14	1.68	0.00	0.00	1.52	9593	0.485
0.36	1.52	0.30	0.35	3.06	0.46	-0.38	3.11	1.68	0.00	0.00	1.50	9491	0.486
0.37	1.55	0.31	0.34	3.03	0.45	-0.43	3.09	1.67	0.00	0.00	1.49	9409	0.486
0.38	1.58	0.31	0.34	3.00	0.44	-0.48	3.07	1.67	0.00	0.00	1.48	9345	0.486
0.39	1.61	0.31	0.33	2.97	0.43	-0.53	3.05	1.66	0.00	0.00	1.47	9298	0.486
0.40	1.64	0.32	0.33	2.94	0.42	-0.58	3.03	1.66	0.00	0.00	1.47	9267	0.486
0.41	1.67	0.32	0.32	2.91	0.41	-0.62	3.01	1.65	0.00	0.00	1.46	9250	0.486
0.42	1.70	0.33	0.31	2.89	0.40	-0.67	2.99	1.65	0.00	0.00	1.46	9248	0.486
0.43	1.73	0.33	0.31	2.86	0.39	-0.71	2.97	1.64	0.00	0.00	1.47	9258	0.486
0.44	1.76	0.33	0.30	2.84	0.38	-0.75	2.96	1.63	0.00	0.00	1.47	9280	0.486
0.45	1.78	0.34	0.29	2.81	0.38	-0.80	2.95	1.63	0.00	0.00	1.47	9313	0.486
0.46	1.81	0.34	0.28	2.79	0.37	-0.84	2.93	1.62	0.00	0.00	1.48	9356	0.486
0.47	1.84	0.35	0.27	2.76	0.36	-0.88	2.92	1.61	0.00	0.00	1.49	9408	0.486
0.48	1.87	0.35	0.26	2.74	0.35	-0.91	2.91	1.60	0.00	0.00	1.50	9468	0.486
0.49	1.89	0.35	0.25	2.71	0.35	-0.95	2.89	1.59	0.00	0.00	1.51	9535	0.486
0.50	1.92	0.36	0.24	2.69	0.34	-0.99	2.88	1.58	0.00	0.00	1.52	9609	0.485
0.51	1.95	0.36	0.23	2.66	0.33	-1.03	2.87	1.57	0.00	0.00	1.53	9689	0.485
0.52	1.97	0.36	0.22	2.64	0.32	-1.06	2.86	1.56	0.00	0.00	1.55	9774	0.485

---

Продолжение таблицы 1

t	x	y	z	V2x	V2y	V2z	V2	V1x	V1y	V1z	V1-V2	Re	Cd
С	м	м	м	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с	м/с
0.53	2.00	0.37	0.21	2.61	0.32	-1.09	2.85	1.55	0.00	0.00	1.56	9865	0.485
0.54	2.03	0.37	0.20	2.59	0.31	-1.13	2.84	1.53	0.00	0.00	1.58	9959	0.484
0.55	2.05	0.37	0.19	2.57	0.30	-1.16	2.83	1.52	0.00	0.00	1.59	10058	0.484
0.56	2.08	0.37	0.18	2.54	0.29	-1.19	2.82	1.50	0.00	0.00	1.61	10161	0.484
0.57	2.10	0.38	0.17	2.52	0.29	-1.22	2.81	1.48	0.00	0.00	1.63	10267	0.484
0.58	2.13	0.38	0.15	2.49	0.28	-1.25	2.80	1.46	0.00	0.00	1.64	10378	0.484
0.59	2.15	0.38	0.14	2.47	0.27	-1.28	2.79	1.44	0.00	0.00	1.66	10492	0.483
0.60	2.18	0.39	0.13	2.44	0.27	-1.30	2.78	1.42	0.00	0.00	1.68	10611	0.483
0.61	2.20	0.39	0.11	2.42	0.26	-1.33	2.77	1.39	0.00	0.00	1.70	10736	0.483
0.62	2.22	0.39	0.10	2.39	0.26	-1.36	2.76	1.36	0.00	0.00	1.72	10867	0.482
0.63	2.25	0.39	0.09	2.37	0.25	-1.38	2.75	1.33	0.00	0.00	1.74	11008	0.482
0.64	2.27	0.40	0.07	2.34	0.24	-1.40	2.74	1.29	0.00	0.00	1.77	11162	0.482
0.65	2.29	0.40	0.06	2.31	0.24	-1.43	2.73	1.25	0.00	0.00	1.79	11336	0.482
0.66	2.32	0.40	0.04	2.28	0.23	-1.45	2.71	1.19	0.00	0.00	1.83	11543	0.481
0.67	2.34	0.40	0.03	2.25	0.22	-1.47	2.70	1.11	0.00	0.00	1.87	11813	0.481
0.68	2.36	0.40	0.01	2.22	0.22	-1.48	2.68	0.99	0.00	0.00	1.94	12242	0.480
0.69	2.38	0.41	0.00	2.14	0.21	-1.49	2.61	0.00	0.00	0.00	2.61	16498	0.474

---