Файл: О. В. Свеженцева Подпись И. О. Фамилия пояснительная записка.docx

подставить комплекс тока , вместо сопротивления комплексное сопротивление , вместо постоянной э.д.с. - комплексную э.д.с. .

Покажем применение комплексной арифметики к решению систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами методом обратной матрицы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Запишем ее в матричной форме:

.

В этой системе матрица коэффициентов размерность состоит из комплексных чисел , где и . Столбец неизвестных размерностью представляет собой также комплексные числа , где . Столбец свободных членов размерностью состоит также из комплексных чисел , где .

Общепринятым приемом решения систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами является представление этой системы в виде двух систем линейных алгебраических уравнений - го порядка: отдельно для действительной части и отдельно для мнимой части. В итоге получаем вместо системы, состоящей из

---

линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, систему, состоящую из уравнений с действительными коэффициентами, в которой неизвестными являются действительные и мнимые части числа , т.е. .

Исходными данными в этой задаче будут выступать матрица коэффициентов и столбец свободных членов . Для ввода матрицы коэффициентов зарезервируем двумерный массив с числом строк - , числом столбцов - . Для ввода каждого из коэффициентов исходной системы отводится по две ячейки в строке: отдельно под действительную, отдельно под мнимую часть числа.

Преобразуем исходную матрицу коэффициентов во вспомогательную матрицу коэффициентов размерностью . Каждую строку исходной матрицы коэффициентов преобразуем в две строки во вспомогательной матрице. Покажем это преобразование на следующем примере: пусть исходная система линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами состоит из трех уравнений, запишем первое уравнение этой системы в общем виде:



Раскроем скобки, перемножив попарно комплексные числа, и вновь представим эти произведения в виде комплексных чисел:



Приравниваем теперь правую и левую части последнего уравнения отдельно для действительной и отдельно для мнимой частей. В итоге имеем:

---

Таблица 1.1 - Комплексные коэффиценты

Последние две строчки в этой таблице дают фрагмент вспомогательной матрицы коэффициентов, соответствующий первому уравнению в нашей системе линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Аналогично строятся фрагменты во вспомогательной матрице коэффициентов, соответствующие второму и третьему уравнению в системе.

В итоге получаем вспомогательную матрицу коэффициентов размерностью

---

для нахождения неизвестных , , , , , . При условии, что детерминант этой системы не вырожден, находим решение этой системы методом обратной матрицы. Обозначим вспомогательную матрицу коэффициентов через . Найдем обратную матрицу . Умножив эту матрицу на вектор-столбец свободных членов, найдем искомые неизвестные , , , , , .

2. Исходные данные

Рисунок 1.2 – Исходная схема

Таблица 1.2 – Исходные данные

Вариант
19	10	42	31	-	-	67	45	-	78	120	250	320

---

Выберем направления контурных токов по часовой стрелке.

Применяемые формулы для расчета:

;

где:













Запишем в общем виде уравнения для контурных токов:



где: – собственное сопротивление первого контура, состоит из индуктивного и активного сопротивлений, соединенных последовательно:



– собственное сопротивление второго контура:



– собственное сопротивление третьего контура:



– сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус (знак минус взят, т.к. направления контурных токов в смежных ветвях противоположно):



– сопротивление смежной ветви между вторым и третьим контурами, взятое со знаком минус (знак минус взят, т.к. направления контурных токов в смежных ветвях противоположно):

---