Файл: Волновые уравнения.pdf

2.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ.
ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим поля, меняющиеся во времени по гармоническому
(синусоидальному) закону. Любой сигнал в силу преобразования Фурье можно разложить в спектр гармонических колебаний разных частот
ω
Для анализа гармонических колебаний удобно использовать символический метод. Для анализа монохроматического (одной частоты) поля используют комплексную форму записи. Например, вместо действительного вектора
( , )
cos(
),
x m
E
E E z t
i E
t kz
ω
ϕ
=
=
−
+
 

(2.1) где
x
i

— орт прямоугольной системы координат;
m
E — амплитуда напряжённости электрического поля,
ω
— круговая (циклическая) частота, k — постоянная распространения, z — координата,
E
ϕ
—
начальная фаза, можно ввести комплексный вектор
(
)
E
j t kz
x m
E i E e
ω
ϕ
− +
=
 

(2.2)
Соответствие между этими векторами устанавливается равенством
( , ) Re ,
E E z t
E
=
=
 

в котором символ
Re означает реальную часть комплексного числа.
Комплексная функция удобнее тем, что дифференцирование по времени заменяется умножением на множитель
:
j
ω
E j E
t
ω
∂
=
∂


Интегрирование сводится к делению на
j
ω
Учитывая вышесказанное, можно записать дифференциальные уравнения Максвелла в комплексной форме: rot
,
H
j
j D

 






(2.3) rot
,
E
j B

 



 (2.4) div
,
D 



(2.5) div
0,
B 

(2.6) div
j
j
ωρ
= −


(2.7)

Объёмную плотность тока проводимости можно представить в виде суммы стороннего тока, создаваемого внешним источником, и тока, создаваемого полем, существующим в данной среде: ст
j
j
E









(2.8)
В этом случае первые два уравнения Максвелла с учётом материальных уравнений для однородной изотропной среды: ст rot
,
H
j
E
j E













(2.9) rot
E
j H

 



 (2.10)
Если сгруппировать последние два слагаемых в уравнении (2.9), введя комплексную абсолютную диэлектрическую проницаемость среды


1 1
1
tg ,
j
j
j




































(2.11) где tg




— тангенс угла диэлектрических потерь, используемый для сред с малыми потерями, то уравнения Максвелла приобретут следующий вид: ст rot
,
H
j
j E









 (2.12) rot
E
j H

 



 (2.13)
Из уравнения (2.9) следует, что на СВЧ понятия диэлектрика и проводника относительны. Проводником считают среду, в которой преобладают токи проводимости над токами смещения:



Тогда для диэлектрика токи смещения преобладают над токами проводимости:



Таким образом, частота колебаний может оказаться решающей при определении характера среды. Так, почва в диапазоне частот до сотен килогерц может считаться проводником, а уже при частотах порядка сотен мегагерц — диэлектриком.
Деление сред на проводники и диэлектрики по их электропроводности относительно, так как критерий оценки включает частоту. В большом диапазоне частот, которым располагает современная радиотехника, свойства сред меняются значительно. Можно сказать, что с ростом частоты вещества приобретают диэлектрические качества.

Поведение некоторых хорошо известных сред иллюстрирует рис. 13.
Как видно, медь, алюминий и другие металлы остаются хорошими проводниками в широком диапазоне частот. Сухая почва на низких частотах является проводником, на сверхвысоких частотах становится отчётливо выраженным диэлектриком. Отмеченный факт играет важную роль в распространении радиоволн над земной поверхностью.
Рис. 13

2.2. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКТОРОВ ПОЛЯ
Решение системы уравнений Максвелла возможно путём приведения их к двум независимым уравнениям относительно векторов поля
E

и
H

Будем считать среду линейной однородной и изотропной. Чтобы получить уравнение, в котором будет только вектор напряжённости электрического поля, необходимо исключить из уравнений Максвелла вектор напряжённости магнитного поля
H

Возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.13) и вместо rot H

подставим его значение из уравнения
(2.12)
2
ст rot rot
E
j
j
E

 
 








(2.14)
Преобразуем левую часть уравнения (2.14), используя тождество векторной алгебры rot rot graddiv
,
E
E
E

 






где

— оператор Лапласа
(лапласиан), который в декартовой системе координат имеет вид
2 2
2 2
2 2
x
y
z



 





Для вычисления div E

возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения
(2.12). Используя тождество divrot
0,
H 

получаем ст
1
v d v i
i d
E
j
j





 (2.15)
Подставив в последнее уравнение ст
,
div j

использовав уравнение непрерывности для стороннего- тока (2.7), найдём ст div
E 






(2.16)
Выполнив все указанные преобразования в уравнении (2.14), придём к неоднородному волновому уравнению ст
2
ст grad
E
E
j
j

 


 











(2.17)
Если во всей рассматриваемой области источники отсутствуют, то получаем однородное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца)

2 0,
E
E
 
 






(2.18) которое описывает электромагнитное поле.
Уравнение для вектора напряжённости магнитного поля получим, если возьмём ротор от обеих частей уравнения (2.12) и подставим rot E

из выражения (2.13),
2
ст rot rot rot
H
j
H
 









(2.19)
Используя тождество rot rot graddiv
,
H
H
H

 






и учитывая, что div
0
H 

после преобразований уравнения (2.19), будем иметь неоднородное волновое уравнение для вектора
:
H

2
ст rot .
H
H
j
 
 
 







(2.20)
В области пространства, где отсутствуют источники, поле вектора
H

описывается однородным волновым уравнением, аналогичным уравнению
(2.18):
2 0.
H
H
 
 






(2.21)
Это означает, что решения для векторов
E

и
H

будут аналогичны.
Векторные волновые уравнения равносильны трём скалярным. Так, в декартовой системе координат уравнение (2.18) в скалярной форме равносильно трём уравнениям:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 0,
0,
0,
x
x
x
x
y
y
y
y
z
z
z
z
E
E
E
k E
x
y
z
E
E
E
k E
x
y
z
E
E
E
k E
x
y
z










































где
2 2
,
k
 


, ,
x
y
z
E E E
  
— составляющие вектора
E

по координатным осям.
Так как все уравнения одинаковы, то для определения составляющих векторов поля достаточно решить одно скалярное уравнение

2 2
2 2
2 2
2 0.
L
L
L k L
x
y
z














(2.22)
Будем решать уравнение (2.22) для регулярного волновода методом разделения переменных. Форма и размеры поперечного сечения регулярного волновода произвольны, но не меняются вдоль всей длины волновода.
Представим искомое решение в виде произведения функций независимых переменных:
( ) ( ) ( ) 0.
L
X x Y y Z z






(2.23)
Подставим (2.23) в уравнение (2.22) и разделим его на
L
В результате из уравнения (2.22) получим
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
0.
d X
d Y
d Z k
X
Y
Z
dx
dy
dz










(2.24)
Функции
,
X Y
 
и
Z
взаимно независимы, и, следовательно, уравнение
(2.24) распадается на три уравнения:
2 2
2 1
;
d X
X dx

 


(2.25)
2 2
2 1
;
d Y
Y dy

 


(2.26)
2 2
2 1
d Z
Z dz

 


(2.27)
Постоянные
,
 
и  связаны соотношением
2 2
2 2
,
k






(2.28) где знаки перед постоянными выбраны разными из соображений удобства.
Принципиального значения это не имеет, но вид решения при выбранных знаках получается более удобным.
Уравнения (2.25) — (2.27) являются однородными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Решения этих уравнений известны:
1 1
cos(
),
X
C
x






(2.29)
2 2
cos(
),
Y C
y






(2.30)

3 4
,
z
z
Z C e
C e








(2.31) где
1 2
3 4
, , , ,
C C C C
   
1

и
2

— произвольные постоянные, которые можно определить из граничных условий.
Таким образом, искомая функция
1 1
2 2
3 4
( ) ( ) ( )
cos(
) cos(
)(
).
z
z
L
X x Y y Z z
C
x
C
y
C e
C e




















(2.32)
Полученное решение представляет любую из шести составляющих векторов поля
,
, ,
,
,
x
y
z
x
y
z
E E E H H H






Решение (2.32) состоит из двух волн различной амплитуды и распространяющихся вдоль координаты z в разные стороны. Вдоль координат x и y распространения волн нет. Если источники поля удалены в сторону отрицательных z на бесконечно большое расстояние, то возникновение обратной (отражённой) волны невозможно, физический смысл имеет решение только для прямой волны:
1 1
2 2
4 1
2
cos(
) cos(
)
cos(
)cos(
)
,
z
z
L C
x
C
y
C e
D
x
y
e
























(2.33) где
1 2 4
D C C C
   

Постоянные

и

определяют изменение электромагнитного поля в плоскости поперечного сечения рассматриваемой линии и называются
поперечными волновыми числами передающей линии. Исходя из равенства
(2.33), имеем решение волновых уравнений (2.18) и (2.21) для регулярного волновода
( , )
,
j t
z
m
E e x y E e
 






(2.34)
( , )
,
j t
z
m
H
h x y H e
 





(2.35) где ( , )
e x y

и
( , )
h x y

— некоторые векторные функции поперечных координат; 
— постоянная распространения волнового процесса вдоль регулярного волновода.

ЛИТЕРАТУРА
1. Французов, А.Д. Электродинамические основы расчёта и проекти- рования экранов и СВЧ устройств / А.Д. Французов. — Челябинск:
ЧПИ, 1979. — 99 с.
2. Саламатин, В.В. Основы электродинамики (традиционной и геометрической): учеб. пособие / В.В. Саламатин, И.Л. Афонин; Под ред. В.В. Саламатина. — Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2005. —
270 с.; ил.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Приведите систему уравнений Максвелла в комплексной форме.
2. Обоснуйте уравнение плоской волны, распространяющейся в однородном диэлектрике.
3. Поясните физический смысл фазовой постоянной волны
β
4. Поясните принципы классификации сред по их электрической проводимости.
5. Приведите выражение для комплексной диэлектрической проницаемости среды.
6. Как определяется мгновенное значение напряжённости электрического поля в свободном пространстве и в полупроводящей среде? Запишите выражения в символической и тригонометрической формах.
7. Получите волновые уравнения для индукций электромагнитного поля.