ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.03.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Основные понятия и факты геометрии 7-9 классов
1. Аксиомы планиметрии (А. В. Погорелов)1
Равенство равнобедренных треугольников
Равенство прямоугольных треугольников
Четыре замечательные точки треугольника
8. Основные тригонометрические понятия
Взаимное расположение прямой и окружности
Вписанная и описанная окружности
первый распределительный закон
3 . второй распределительный закон
Опр. Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам и .
Если , то .
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Если точки имеют координаты M(x1;y1) N(x2;y2), то
вектор имеет координаты “конец минус начало”
2. Длина вектора
Если вектор имеет координаты p{x1;y1}, то
длина вектора равна |p|= .
3. Координаты cередины отрезка
Если точки имеют координаты M(x1;y1) N(x2;y2), то
середина отрезка имеект координаты Р
4. Расстояние между точками
Если точки имеют координаты M(x1;y1) N(x2;y2), то
Уравнение окружности
В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром в точке и радиуса R имеет вид:
Уравнение прямой
В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0
Уравнение горизонтальной прямой имеет вид у=с, где с - число.
Уравнение оси абсцисс имеет вид у=0.
Уравнение вертикальной прямой имеет вид х=с, где с - число.
Уравнение оси ординат имеет вид х=0.
Опр.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
Свойства скалярного произведения векторов
1 . Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
2 . Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
3 . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Теорема (скалярное произведение в координатах)
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой .
Следствия теоремы
Свойства скалярного произведения векторов
1
.
2 . переместительный закон
3 . распределительный закон
4 . сочетательный закон
Опр. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Формула для вычисления угла правильного n-угольника .
Теорема (об окружности, описанной около правильного многоугольника)
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Теорема (об окружности, вписанной в правильный многоугольник)
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия теоремы
Формула для вычисления стороны правильного n-угольника .
Формула для вычисления радиуса вписанной окружности правильного n-угольника .
Формула длины окружности
Формула площади круга
Опр. Сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Формула площади сектора
Опр. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.
Формула площади сегмента
теорема чевы
Если точки , , лежат на сторонах , , соответственно, то отрезки , и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (критерий того, что отрезки , и пересекаются в одной точке).
Теорема менелая
Прямая пересекает произвольный треугольник , причем - точка её пересечения со стороной , - точка её пересечения со стороной ВС и
- точка её пересечения с продолжением стороны , тогда и только тогда, когда (критерий того, что точки , , лежат на одной прямой).
1 В учебнике Л.С. Атанасяна другая система аксиом. Эти две системы аксиом не противоречат друг другу.
3 . второй распределительный закон
Опр. Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам и .
Если , то .
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
1. Координаты вектора
Если точки имеют координаты M(x1;y1) N(x2;y2), то
вектор имеет координаты “конец минус начало”
2. Длина вектора
Если вектор имеет координаты p{x1;y1}, то
длина вектора равна |p|= .
3. Координаты cередины отрезка
Если точки имеют координаты M(x1;y1) N(x2;y2), то
середина отрезка имеект координаты Р
4. Расстояние между точками
Если точки имеют координаты M(x1;y1) N(x2;y2), то
Уравнение окружности
В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром в точке и радиуса R имеет вид:
Уравнение прямой
В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0
Уравнение горизонтальной прямой имеет вид у=с, где с - число.
Уравнение оси абсцисс имеет вид у=0.
Уравнение вертикальной прямой имеет вид х=с, где с - число.
Уравнение оси ординат имеет вид х=0.
Скалярное произведение векторов
Опр.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
Свойства скалярного произведения векторов
1 . Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
2 . Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
3 . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Теорема (скалярное произведение в координатах)
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой .
Следствия теоремы
-
Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда . -
Косинус угла между векторами и выражается формулой
Свойства скалярного произведения векторов
1
.
2 . переместительный закон
3 . распределительный закон
4 . сочетательный закон
11. Правильные многоугольники
Опр. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Формула для вычисления угла правильного n-угольника .
Теорема (об окружности, описанной около правильного многоугольника)
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Теорема (об окружности, вписанной в правильный многоугольник)
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия теоремы
-
центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. -
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах.
Формула для вычисления стороны правильного n-угольника .
Формула для вычисления радиуса вписанной окружности правильного n-угольника .
Формула длины окружности
Формула площади круга
Опр. Сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Формула площади сектора
Опр. Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.
Формула площади сегмента
12. Теоремы Чевы и Менелая
теорема чевы
Если точки , , лежат на сторонах , , соответственно, то отрезки , и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (критерий того, что отрезки , и пересекаются в одной точке).
Теорема менелая
Прямая пересекает произвольный треугольник , причем - точка её пересечения со стороной , - точка её пересечения со стороной ВС и
- точка её пересечения с продолжением стороны , тогда и только тогда, когда (критерий того, что точки , , лежат на одной прямой).
1 В учебнике Л.С. Атанасяна другая система аксиом. Эти две системы аксиом не противоречат друг другу.