Тема 1. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ (МАИ)
Этот метод выбора альтернатив при принятии решения достаточно широко применяется при решении разных практических задач: Он основан на экспертных оценках.

Центральным вопросом, который решается МАИ является вопрос: насколько значительно влияние самого нижнего уровня иерархии (обычно это альтернативы) на вершину (главную цель системы). Цель МАИ – дать количественную характеристику этого влияния, т.е. установить приоритеты элементов нижнего уровня относительно одного элемента высшего уровня. В МАИ используется 3 метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и сравнение альтернатив копированием. Мы рассмотрим попарное сравнение.
1. Построение иерархий
При решении сложной проблемы, ее часто разбивают на отдельные элементы ,которые объединяются в группы в соответствии с распределением некоторых свойств между ними. Группы рассматриваются в качестве элементов уровня системы. Эти элементы, в свою очередь, могут быть сгруппированы в соответствии с другим набором свойств, создавая элементы еще более высокого уровня, пока не будет достигнут единственный элемент - который обычно отождествляется с целью принятия решения.

Обычно все это называют иерархией.

Иерархия - это тип системы , основанной на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием некоторой вполне определенной группы и в свою очередь оказывает влияние на элементы другой группы. Считаем, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы.

Случай наличие зависимости должен рассматриваться отдельно.

Могут быть различные типы иерархий по связям элементов нижнего и верхнего уровня. Мы будем считать, что каждый элемент верхнего уровня связан со всеми элементами нижнего уровня.

Типичная иерархия для решения многих задач может быть представлена следующей схемой




Рис. 1. Типичная иерархия.
Итак, следует помнить, что основные цели устанавливаются на вершине иерархии; их подцели - непосредственно ниже вершины, силы ограничивающие акторов - еще ниже.

Силы доминируют под уровнем самих акторов, которые в свою очередь доминируют под уровнем своих целей, ниже которых будет уровень их возможных действий и в самом низу находится уровень различных возможных исходов (сценариев).

---

Это естественная форма, которую принимают иерархии связана с планированием и конфликтами.

Определение приоритетов факторов низшего уровня относительно цели может быть сведена к последовательности задач определения приоритета для каждого уровня, а каждая такая задача - к последовательности парных сравнений. Сравнение – основная составляющая теории МАИ, даже если исходная задача осложняется, условиями обратной связи между разными уровнями или факторами.
Пример.

Определить сценарий (программу), согласно которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существования колледжа.

Назовем благосостояние колледжа общей целью. На нее влияют следующие силы : обучение, общественная жизнь, дух(атмосфера), наличие оборудования и внешкольная деятельность.

Эти силы определяются следующими действующими лицами (акторами): академической администрацией, неакадемической администрацией, профессорско - преподавательским составом, студентами, попечителями. Мы опускаем очевидную обратную связь между силами и акторами.

Различные акторы имеют определенные цели: профессорско - преподавательский состав может хотеть сохранить свою работу, расти профессионально, качественно проводить обучение; студенты могут быть заинтересованы в получении работы, в женитьбе, в получении хорошего образования т.д.

Наконец имеется несколько возможных сценариев, таких как : статус-кво, акцент на профессиональное обучение, дальнейшее образование или превращение в религиозную школу.

Сценарии определяет вероятность достижения целей, цели влияют на акторов, акторы направляют силы, которые воздействуют на благосостояние последних. Таким образом , мы получаем иерархию.

Как уже было отмечено, нас интересует сценарий по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа.

Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей цели. Затем для каждой силы определяется степень влияния акторов на эту силу. Отсюда несложными вычислениями получаем степень влияния акторов на общую цель. Затем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем действенность различных сценариев в обеспечении достижения целей. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим "наилучший" сценарий.

---

Итак, определим степень влияния или приоритеты элементов одного уровня относительно их важности для элемента следующего уровня.

2. Метод парных сравнений
Метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы одного, скажем 4-го уровня иерархии – A,B,C,D и один элемент E следующего более высокого уровня (3-его). Нужно сравнить элементы 4-го уровня попарно по силе их влияния на E, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласия во мнениях, в матрицу (матрицу парных сравнений) и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значения является мерой согласованности суждений.

Покажем, как определяется шкала приоритетов на следующем простом примере. Пусть А, В, С и D обозначают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Создадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждение производит человек, сидящий около источника света, у которого например спрашивают : "насколько сильнее освещенность стула В по сравнению с С. " Он отвечает одним из чисел и это суждение им заносится в позицию (В,С) в матрице. По соглашению сравнения всегда производятся для действия или объекта, стоящих в левом столбце (заголовки строк), по отношению к действию или объекту, стоящему в верхней строке (заголовки столбцов). Мы имеем матрицу непарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (4х4).

Освещен ность	А	В	С	D
А	1	5	6	7
В	1/5	1	4	6
С	1/6	1/4	1	4
D	1/7	1/6	1/4	1

Условимся, что числа в матрице определяются следующим образом:

1. 
   А и В одинаково важны, заносим 1 в позицию (А,В).
   
2. 
   А незначительно важнее, чем В, заносим 3.
   
3. 
   А значительно важнее В, заносим 5.
   
4. 
   А явно важнее В, заносим 7.
   
5. 
   А по своей значительности абсолютно превосходит В, заносим 9.
   

---

Так как при сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, таким образом, на главной диагонали должны стоять единицы. Если в позиции (А,В) мы записали число d, то в позиции (В,А) должно стоять число 1/d.

Эта градация общепринята, большинство людей различают при сравнении эти пять позиций. Если наши ощущения сильно отличаются от суждений (1-5), то заносим числа 2,4,6,8 и т.п.

Полученную матрицу необходимо проверить на согласованность суждений. В общем случае под согласованием подразумевается то, что при наличии некоторого числа суждений (основных), все другие данные логически могут бать получены из них.

Для проведения парных сравнений n объектов, при условии, что каждый объект представлен в данных, по крайней мере, один раз, требуется (n-1) суждений о парных сравнениях. Из них можно просто вывести все остальные суждения, используя следующие отношения : если объект А₁ в 5 раза превосходит объект B и в 6 раз превосходит C, то А₁=5B и А₁=6C. Следовательно, 5B=6C или B= C и C= B. Если численное значение суждения в позиции (B,C) не равно , то матрица будет несогласованной . Это случается часто и не является бедствием. Для большинства задач очень трудно определить (n-1) суждений связывающих все объекты или виды действия, одно из которых является абсолютно верным.

Известно, что согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентно требованию _max= n, где _max - максимальное собственное значение матрицы. Насколько плоха согласованность для конкретной задачи можно оценить путем сравнения значения величины ( _max - n)/(n-1) с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же разряда. Подробнее согласование рассмотрим ниже.

В нашей матрице мы произвели 6 сравнений. Теперь необходимо вычислить вектор приоритетов по данной матрице. То есть вычислить главный собственный вектор, который после нормализации становится вектором приоритетов.

---

Так как данные в нашей матрице весьма приближенные, можно получить грубые оценки этого вектора следующими 4-мя способами, которые расположены в порядке увеличения точности:

1. 
   Суммировать элементы каждой строки и нормировать делением каждой суммы на сумму всех элементов, (сумма полученных результатов = 1). Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, 2-ой - 2-ого и т.д.
   
2. 
   Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормировать их так, чтобы их сумма равнялась единице (разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин ).
   
3. 
   Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (то есть нормировать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки Это - процесс нормированности столбца.
   
4. 
   Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-степени, нормировать полученные числа.
   

Если матрица согласована, то методы 1-4 дают один и тот же результат. В общем случае, когда матрица не согласованна эти методы дают различные результаты. В примере со стульями по
- 1-му методу 0,51 0,3 0,15 0,04

- 2-му методу 0,68 0,16 0,09 0,06

- 3-му методу 0,59 0,245 0,115 0,05

- 4-му методу 0,61 0,24 0,1 0,04
Точное решение задачи (методами матричной алгебры): 0,61 0,24 0,1 0,05

3. Метод получения грубой оценки согласованности
Этот метод состоит в следующем:

1. 
   Умножив матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения, получим новый вектор.
   
2. 
   Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту оценки вектора решения, вторую на вторую и т.д., определим еще один вектор.
   
3. 
   Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент найдем приближение для _{max .} Чем ближе _max к n (числу объектов или видов действия в матрице), тем более согласован результат.
   

Отклонение от согласованности может быть выражено величиной ( _max - n)/(n-1) , которую назовем индексом согласованности

---

Смотрите также файлы

• Цель проекта Школа Министерства просвещения России.docx

• Цель выяснение количества и основных характеристик людей, включенных в социальную сеть подростка. Ядро сети.docx

• Содержание информационнологическое (Инфологическое) проектирование бд. 6 Определение требований к операционной обстановке 8 Заключение 40 Список литературы 41 Введение.docx

• Методические рекомендации по выполнению курсовой работы по дисциплине Теория организации.pdf

• Задача рассчитать заработную плату учителя математики 12 разряда, имеющего звание заслуженный работник лнр.docx