Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.03.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким чином, у СТВ використовуємо просторово-часову систему відліку з єдиним часом, у якій годинники синхронізовані між собою за правилом Ейнштейна. Дві просторово розділених події будемо називати одночасними, коли годинники, що знаходяться у точках, де відбулись ці події, показують один і той же час.

§ 42 Перетворення Лоренца [4]

1 Розглянемо

інерціальні

системи відліку K й K′ , які

показані на рис. 42.1. Осі

X

та X ′

збігаються між собою,

Y

та

Y ′ , а

також Z Z′ є паралельні одна одній.

Візьмемо, що система

K′

рухається

Y

Y ′

K

K′

O

O′ V

зі швидкістю V відносно нерухомої

 

системи K . Припустимо,

що в

 

деякий момент часу в деякій точці

Z

простору P

відбувається

деяка

 

подія. У

системі

K

воно

 

характеризується значеннями координат і часу

Z ′

Рисунок 42.1 x, y, z,t , а в системі

P

X X ′

K′ – значеннями

координат і часу x′, y′, z′,t′ . Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані значення зі

штрихованими.

Для розв’язання цієї задачі потрібно використати однорідність часу і простору, другий постулат СТВ. Шукані формули отримали назву перетворень Лоренца і мають такий вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

x′ +Vt′

 

, y = y′, z = z′, t =

t′ + (V / c2 )x′

,

 

(42.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− (V / c)2

 

1− (V / c)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′ =

 

 

 

x −Vt

 

, y′ = y, z′ = z, t′ =

t − (V / c2 )x

 

 

.

(42.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− (V / c)2

 

 

1− (V / c)2

 

 

 

 

 

 

 

У цих формулах c є швидкістю світла. Формули (42.1) описують перехід від системи K′ до системи K , а формули (42.2) – перехід від системи K до системи K′ . Внаслідок рівноправності систем перетворення (42.1) і (42.2) відрізняються лише знаком перед V . Ця

відмінність обумовлена тим, що система K′ рухається відносно системи K зі швидкістю V ,

у той час як система K рухається відносно системи K′ зі швидкістю ( −V ).

У перетвореннях Лоренца «перемішані» координати й час. Наприклад, час t у системі K визначається не тільки часом t′ у системі K′ , але також і координатою x′ . У цьому проявляється взаємозв'язок простору й часу.

2 Проведемо дослідження формул перетворень Лоренца у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли швидкості є набагато меншими за швидкість світла c . Тоді можна вважати, що c → ∞ . Коли ми підставимо c ≈ ∞ , наприклад, в (42.1), то отримаємо

x = x′ +Vt , y = y′ , z = z′ , t = t′ .

(42.3)

А формули (42.3) як відомо є формулами перетворень Галілея. Таким чином, у випадку, коли c → ∞ перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея.

Розглянемо випадок, коли V > c . Тоді вирази для x, t, x′ й t′ у формулах (42.1) і (42.2) стають уявними. Це відповідає тому факту, що рух зі швидкістю, яка перевищує швидкість світла c , є неможливим.

68

§ 43 Перетворення швидкостей у спеціальній теорії відносності [4]

1 Знайдемо

зв’язок

між

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

Y ¢

 

r

швидкістю

частинки

υ, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

виміряна в

системі

відліку K , та

 

 

 

 

 

K

K¢

 

швидкістю тієї самої частинки υ′ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що виміряна в системі відліку

K′ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

X X ¢

Вважаємо,

що

система

K′

 

 

 

O

 

 

 

 

 

O¢

V

рухається зі швидкістю V

відносно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нерухомої

системи

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(див. рис. 43.1).

 

 

υ

Z

 

 

Z ¢

 

 

Компоненти

швидкості

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 43.1

 

частинки в системі

K визначаються

 

 

 

 

 

 

 

 

 

виразами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ux =

dx

, uy =

dy

 

, uz

=

dz

.

 

 

(43.1)

 

 

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

У системі K′ компоненти швидкості υ′

тієї ж частинки дорівнюють

 

 

 

 

 

u¢x′ =

dx′

 

, u¢y′ =

dy′

,

u¢z′ =

dz′

.

 

(43.2)

 

 

 

dt¢

dt¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt¢

 

 

Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані компоненти швидкості зі штрихованими. Для цього скористуємося перетвореннями Лоренца. Із цих формул отримуємо, що

 

¢

+V ×dt

¢

¢

¢

dt

¢

+ (V / c

2

)dx

¢

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

, dy = dy ,

dz = dz , dt =

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- (V / c)2

 

 

1- (V / c)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділивши перше із цих рівностей на четверте, прийдемо до співвідношення

 

dx

 

dx′ +V ×dt′

dx′ / dt′ +V

 

 

 

=

dt¢ + (V / c2 )dx¢

=

 

(V / c2 )dx¢ / dt¢

,

 

dt

1+

яке з урахуванням (43.1) і (43.2)

можна подати у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u′x′ +V

 

 

 

 

 

 

 

ux =

1+ (V / c2 )× u¢x′

.

 

(43.3)

(43.4)

Розділивши друге й третє з рівностей (43.3) на четверте, отримаємо ще два співвідношення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uy =

u¢y′ 1- (V / c)2

,

uz =

u¢z′ 1- (V / c)2

 

.

(43.5)

1+Vu¢x′ / c2

1+Vu¢x′ / c2

 

 

 

 

 

Формули (43.4) та (43.5) і розв’язують поставлене завдання. Вони отримали назву формули перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

За формулами (43.4) і (43.5) здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи K′ до системи K . Використавши аналогічно як і вище перетворення Лоренца, легко

одержати формули

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u¢x′ =

ux -V

 

u¢y′ =

uy 1- (V / c)2

, u¢z′ =

uz 1- (V / c)2

 

 

 

1- (V / c2 )× ux

,

 

 

 

 

 

,

(43.6)

1-Vux / c2

1-Vux / c2

за якими здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи K до системи K′ . Формули (43.6) відрізняються від формул (43.4) і (43.5), як і слід було сподіватися, тільки знаком перед V . Формули (43.6) також називаються формулами перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

69

2 Проведемо дослідження формул додавання швидкостей в СТВ у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли V << c . У цій ситуації вираз V / c << 1 і ним можна в формулах (43.4)–(43.6) знехтувати. У результаті отримуємо, наприклад, з (43.4) та (43.5)

ux = u′x′ +V , υy = υ′y′ , uz = u′z′

формули додавання швидкостей, за допомогою яких перетворюються швидкості в ньютонівській механіці. Таким чином, коли V << c формули додавання швидкостей у СТВ переходять у формули додавання швидкостей ньютонівської механіки.

Розглянемо випадок, коли частинка рухається паралельно осям X і X ′ в напрямку швидкості V (див. рис. 42.1). Тоді ux збігається з модулем швидкості частинки υ в системі

K , a u′x′ – з модулем швидкості υ′ в системі K′ , і формула (43.4) має вигляд

 

 

 

u′ +V

 

 

u =

1+ (V / c2 )× u¢

.

 

(43.7)

Швидкості υ, υ′ і V паралельні й направлені в одну й ту саму сторону. Отже, формула

(43.7) виражає закон додавання швидкостей. Якщо υ′ = c , то

 

 

c +V

(c +V )c

 

u =

1+ (V / c2 )×c

=

 

= c .

(43.8)

(c +V )

Таким чином, формула додавання швидкостей узгоджується с другим постулатом СТВ.

§ 44 Лоренцеве скорочення довжини [4]

1 Порівняємо довжину стержня в інерціальних системах відліку K й K′ (рис. 44.1). Припустимо, що стержень розміщено уздовж осей X і X ′ , які збігаються. У системі K′ стержень знаходиться у стані спокою. Відносно системи K він рухається зі швидкістю υ,

яка дорівнює швидкості V системи K′ відносно системи K .

Для визначення довжини стержня в системі K′ , де стержень знаходиться у стані спокою, потрібно прикласти до нього масштабну лінійку й визначити координату x1¢ одного

кінця стержня, а потім координату x¢2 іншого кінця. Різниця координат дасть довжину стержня l0 в системі K′ :

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l0 = x2

- x1 .

 

 

 

 

 

 

Довжину l0 , що виміряна в системі відліку, в

 

Y

Y ′

1

2 u

якій

тіло

знаходиться

у

стані

спокою,

 

 

K

K′

 

 

 

 

 

 

 

 

називають власною довжиною.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

системі

K

виміряти

довжину

 

 

 

 

 

 

 

стержня складніше. Відносно системи K

 

O

O′

V

 

X ′ X

стержень

рухається

зі

швидкістю

υ, яка

 

 

 

x1

x2

дорівнює

швидкості

V ,

з

якою

система

 

 

 

 

 

 

¢

¢

рухається K′ відносно системи K . Оскільки

 

 

 

Z

Z ′

x1

 

x2

стержень рухається, потрібно визначити

 

 

 

 

координати його кінців

x1

і

x2 в один і той

 

 

Рисунок 44.1

 

 

же момент часу

t1 = t2

= t .

Тут t1

момент

 

 

 

 

 

 

 

часу,

коли проводимо

вимірювання координати x1 ,

t2

момент часу, коли

проводимо

вимірювання координати x2 . Різниця координат дасть довжину стержня l в системі K : l = x2 - x1 .

70

x2′ − x1′ =

Щоб порівняти довжини l і l0

x1′ = x1 −Vt1 =

1− β2

Звідси

використаємо формули перетворення Лоренца

x

1 −Vt

 

, x′

=

x2 −Vt2

 

=

x

2 −Vt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− β2

2

 

 

1− β2

 

 

1− β2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

− x1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−V 2 / c2

 

Замінивши різниці координат довжинами стержня, а швидкість V

системи K′

відносно K , що дорівнює швидкості стержня υ, з якої він рухається в системі K , прийдемо

до формули

 

 

 

 

 

 

l = l0 1− υ2 / c2

.

(44.1)

Таким чином, довжина стержня, що рухається, виявляється менше тієї, яку він має у стані спокою. Аналогічний ефект спостерігається для тіл будь-якої форми: у напрямку руху лінійні розміри тіла скорочуються тим більше, чим більше швидкість руху. Це явище називається скороченням довжини Лоренца. Поперечні розміри тіла не змінюються. У результаті цього, наприклад, куля набуває форму еліпсоїда, сплющеного у напрямку руху.

§ 45 Релятивістське уповільнення ходу часу [4]

1 Порівняємо проміжки часу в інерціальних системах відліку K й K′ . Вважаємо, що система K′ рухається відносно системи K зі швидкістю V .

Нехай у системі K′ в одній і тій же точці з координатою x′ = x1′ = x′2 відбуваються в моменти часу t1′ й t2′ дві якихось події ( x1′ – координата події 1, x′2 – координата події 2).

Це можуть бути, наприклад, народження елементарної частки (подія 1) і її наступний розпад (подія 2). У системі K′ ці події розділені проміжком часу

 

 

 

 

 

 

 

t′ = t′

− t′.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо проміжок часу

t між цими подіями в системі K , відносно якої система K′

рухається зі швидкістю V . Для цього визначимо в системі

 

K

моменти часу

t1 й t2 ,

що

відповідають моментам t′ і t′

, і утворимо їхню різницю:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t = t2 − t1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для зіставлення часу в системі K й K′ використаємо перетворення Лоренца

 

 

t′

+ (V / c2 )x′

 

t′

+ (V / c2 )x′

 

 

 

 

 

t′

+ (V / c2 )x′

t′

+ (V / c2 )x′

 

 

 

t =

1

 

1

=

1

 

 

 

, t

2

=

2

 

 

 

2

=

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1− (V / c)2

 

 

1− (V / c)2

 

 

 

 

 

1− (V / c)

2

 

 

 

1− (V / c)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси знаходимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 − t1 =

 

 

t′

− t′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(45.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−V 2 / c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У системі K′ події відбуваються в одній і тій же точці. Це означає, що

t′ = t′ − t′ є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

проміжком часу, який вимірюється нерухомим у цій системі відліку годинником. Такий час називається власним часом і позначається t0 . Власним часом називають проміжок часу між двома подіями, який вимірюється в системі відліку, де ці події відбуваються в одній і

тій же точці. Таким чином,

t′ = t′

− t′ =

t

0

.

 

Величина t = t2 − t1

2

 

1

 

 

 

являє

 

собою проміжок часу

між тими ж подіями, які

вимірюються годинниками системи

K , відносно якої точка,

в якій відбуваються ці події

 

 

 

 

 

 

71

 

Смотрите также файлы