Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

побудови не суперечить закону збереження енергії. За своїм практичним значенням вона майже не поступалася б вічному двигуну першого роду, тому що за її допомогою можна було б виконувати роботу за рахунок практично невичерпних запасів внутрішньої енергії, які мають океани і моря, повітряна атмосфера й надра Землі. Таку машину Вільгельм Оствальд (1853–1932) назвав вічним двигуном другого роду на відміну від вічного двигуна першого роду, тобто двигуна, що виконує роботу з нічого, можливість якого заперечується законом збереження енергії.

Дослідні факти говорять проти можливості побудови вічного двигуна другого роду. Тому неможливість побудови такого вічного двигуна була введена у постулат. Цей постулат називається другим законом термодинаміки і є узагальненням дослідних фактів. Доказом цього є узгодження всіх наслідків, які випливають з цього постулату, з дослідом. Застосовуючи цей постулат до макроскопічних систем, розміри яких не дуже малі, фізика ніде не зіткнулася з протиріччям. Тому другий закон термодинаміки ґрунтується на надійній експериментальній базі. Наведемо два точних формулювання другого закону термодинаміки.

2 Вільям Томсон (який отримав пізніше за наукові заслуги титул лорда Кельвіна) в 1851 р. дав таке формулювання другого закону термодинаміки: «Неможливий круговий

процес, єдиним результатом якого було б виконання роботи за рахунок зменшення внутрішньої енергії теплового резервуара».

Нагадаємо, що під тепловим резервуаром розуміють тіло або систему тіл, які знаходяться у стані термодинамічної рівноваги й мають запас внутрішньої енергії. Але тепловий резервуар сам макроскопічної роботи не виконує, а може тільки передавати внутрішню енергію іншому тілу або системі тіл. Якщо остання система виконує роботу за рахунок внутрішньої енергії теплового резервуара, то вона називається в термодинаміці

робочим тілом.

3 Клаузіус (1822–1888) у 1850 р. дав істотно інше формулювання основного постулату. Він висунув таке положення: «Теплота не може самочинно переходити від менш нагрітого тіла до більше нагрітого тіла». Під теплотою тут треба розуміти внутрішню енергію тіла. Передачу теплоти (точніше, внутрішньої енергії) можна здійснити не тільки тепловим контактом, але й великою кількістю інших способів. Наприклад, усі тіла випромінюють і поглинають видимі або невидимі промені (електромагнітні хвилі). Випромінювання одного тіла можна за допомогою лінзи або сферичного дзеркала сконцентрувати на іншому тілі, й таким шляхом передати йому тепло. Однак не всяка передача можлива. Зміст постулату Клаузіуса саме й полягає в тому, що неможливо яким би то не було способом забрати теплоту від тіла менш нагрітого, цілком передати його тілу більше нагрітому й так, щоб у природі більше не відбулося ніяких змін.

Але постулат Клаузіуса не стверджує, що передача тепла від тіла менш нагрітого до тіла більше нагрітому взагалі неможлива. Вона неможлива за умови, що у всіх інших тілах

ніяких змін не повинно відбутися. У цьому сенсі використовується слово «самочинно» при формулюванні другого закону термодинаміки. Якщо ж відбуваються й інші процеси, то передача теплоти від тіла менш нагрітого до тіла більше нагрітому стає можливою. Так, у холодильних машинах теплота, яка береться від менш нагрітого тіла, передається більш нагрітому тілу. Це не суперечить постулату Клаузіуса, тому що такий перехід відбувається тут не самовільно, а супроводжується роботою електричного двигуна. Якщо ж виключити його електричний двигун, то електричний холодильник перестає діяти.

4 Можна довести що формулювання другого закону термодинаміки Томсона та Клаузіуса є еквівалентними.

B і якщо можливо повернути її хоча б одним способом у вихідний стан A і притому так,

104

щоб у всіх інших тілах не відбулося ніяких змін, то цей процес називається оборотним. Якщо ж це зробити неможливо, то процес називається необоротним. Прикладом необоротного процесу може служити перехід теплоти від більше нагрітого тіла до тіла менш нагрітого під час теплового контакту цих тіл. Необоротність такого процесу випливає безпосередньо з другого закону термодинаміки у формулюванні Клаузіуса. Необоротним є і процес отримання теплоти шляхом тертя. Прикладом оборотного процесу є довільний квазистатичний процес.

(рис. 69.1). При цьому система отримує теплоту Q1 від нагрівача й виконує додатну роботу A12 . Після цього систему адіабатично ізолюють і змушують квазистатично розширюватися по адіабаті 2-3 поки її температура не стане дорівнювати температурі холодильника T2 . При адіабатичному розширенні система також виконує деяку роботу додатну A23 . У стані 3

систему приводять у тепловий контакт із холодильником і ізотермічно стискають її до деякого стану 4. При цьому над системою виконується робота (тобто сама система виконує від’ємну роботу A34 ), і вона віддає холодильнику деяку кількість теплоти Q2 . Стан 4

вибирається так, щоб можна було квазистатичним стисненням по адіабаті 1–4 повернути систему у вихідний стан 1. Для цього потрібно над системою виконати роботу (тобто сама система повинна виконати від’ємну роботу A41 ).

3 Особливість циклу Карно полягає у тому, що він є оборотним циклом. Це означає, що коли ми будемо виконувати його в оберненому напрямку, то холодильник віддасть теплоту Q2′ = Q2 , а нагрівач отримає теплоту Q1′ = Q1 . Використовуючи те, що цикл Карно є

оборотним, й другий закон термодинаміки, можна довести першу і другу теореми Карно.

Перша теорема Карно: коефіцієнт корисної дії теплової машини, яка працює за циклом Карно, залежить тільки від температур T1 і T2 нагрівача й холодильника, і не залежить від будови машини, а також від виду робочої речовини. Можна отримати формулу

Друга теорема Карно: коефіцієнт корисної дії будь-якої теплової машини не може бути більшим за коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини, що працює за циклом

105

§ 70 Нерівність і рівність Клаузіуса. Ентропія. Закон зростання ентропії [8]

1 З першої та другої теореми Карно випливає цікавий наслідок. Розглянемо частинний випадок теплової машини, під час роботи якої робоче тіло отримує від нагрівача з температурою T1 кількість теплоти Q1 і це ж робоче тіло віддає холодильнику з

температурою T2 кількість теплоти Q2 . Відповідно до другої теореми Карно, коефіцієнт

корисної дії будь-якої теплової машини не може бути більшим за коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини, яка працює за циклом Карно з тими самими температурами нагрівача та холодильника. Тому можемо записати

Далі не будемо розрізняти, який тепловий резервуар є нагрівачем, а який – холодильником. Кількість теплоти, яка віддається тепловим резервуаром, будемо вважати додатною, кількість теплоти, яка передається тепловому резервуару – від’ємною. Завдяки цьому остання формула (70.1) набуває симетричного вигляду

Можна провести узагальнення формули (70.3) на будь-який круговий тепловий процес.

Виділимо малу ділянку такого процесу. Позначимо через δQ кількість теплоти, яка була передана робочому тілу на цій ділянці. Температуру резервуару на цій ділянці позначимо через

Нерівність (70.4), яка є вірною для будь-якого кругового процесу, отримала назву нерівність Клаузіуса.

2 Припустимо, що круговий процес, який виконується системою є квазистатичним. Нерівність Клаузіуса (70.4) є справедливою й для такого процесу. Слід зазначити, що у випадку квазистатичного процесу температура теплового резервуару та системи однакові.

Квазистатичний процес оборотний. Тому він може йти в протилежному напрямку.

Для зворотного процесу також є справедливою нерівність Клаузіуса ò dT′Q £ 0 , де через δ′Q

позначили елементарні кількості теплоти, які отримуються системою на окремих ділянках такого зворотного процесу. Через те, що при цьому система проходить через ті ж рівноважні

стани, що й у прямому процесі, то δ′Q = −δQ і тому ò dTQ ³ 0 . Це співвідношення сумісне зі

співвідношенням (70.4) тільки в тому випадку, коли взяти знак рівності. Таким чином, для квазистатичного процесу нерівність Клаузіуса переходить у рівність

Це співвідношення отримало назву рівності Клаузіуса.

3 На рівності Клаузіуса засноване введення фундаментального в термодинаміці

Зауважимо, що в цій рівності ми поміняли знак через те, що змінили межі інтегрування на обернені. Тоді

1òI 2 δTQ = 1IIò2 δTQ .

Кількість теплоти, що отримується системою, і яка поділена на абсолютну температуру T , при якій ця теплота була отримана, іноді називають приведеною кількістю теплоти. Величина δQ /T є елементарною приведеною кількістю теплоти, що

отримується в нескінченно малому процесі, а інтеграл ò δTQ можна назвати приведеною

кількістю теплоти, що отримується в скінченному процесі. Користуючись цією термінологією, рівності Клаузіуса (70.5) можна дати таке формулювання: приведена кількість теплоти, яка отримується системою при будь-якому квазистатичному круговому процесі, дорівнює нулю. Еквівалентною є таке формулювання: приведена кількість теплоти, що квазистатично отримана системою, не залежить, від шляху переходу, а визначається лише початковим і кінцевим станами системи. Цей важливий результат дозволяє ввести нову функцію стану, яку називають ентропією.

Ентропія системи є функція її стану, що визначається з точністю до довільної сталої. Різниця ентропії у двох рівноважних станах 2 і 1 за визначенням дорівнює приведеній кількості теплоти, яку потрібно передати системі, щоб перевести її зі стану 1 у стан 2

будь-яким квазистатичним способом. Таким чином, якщо ентропії в станах 1 і 2 позначити буквами S1 й S2 , то за визначенням

Значення довільної сталої, до якої визначена ентропія, тут не відіграє ніякої ролі. Фізичний зміст має не сама ентропія, а лише різниця ентропії.

Тут під T потрібно розуміти температуру навколишнього середовища, при якій воно віддає системі кількість теплоти δQ .

Якщо система адіабатично ізольована, то δQ = 0 , й інтеграл у (70.7) стає таким, що дорівнює нулю. Тоді

Таким чином, ентропія адіабатично ізольованої системи не може зменшуватися: вона або зростає, або залишається сталою. Це твердження є формулюванням закону зростання ентропії. По суті це є ще одне формулювання другого закону термодинаміки.

§ 71 Ентропія ідеального газу [8]

1 Обчислимо зміну ентропії ідеального газу. Спочатку розглянемо один моль речовини. Для будь-якого нескінченно малого квазистатичного процесу для ідеального газу згідно з першим законом термодинаміки можемо записати

dQμ = dUμ + dAμ = CV dT + PdV = CV dT + RTdV /V .

Тут використали, що dUμ = CV dT (індекс «μ » показує, що величина характеризує один моль

речовини) та у відповідності до рівняння Менделєєва-Клапейрона для одного моля газу P = RT /V . Далі згідно до визначення ентропії

Потрібно мати на увазі, що цей вираз був отриманий у припущенні, що зміна ентропії відбувається за умови сталого числа молекул у газі.

2 Коли квазистатичний процес є адіабатним, то δQ = 0 , а отже, dS = 0, S = const .

Таким чином, будь-який квазистатичний адіабатичний процес є процес, що відбувається при сталій ентропії. Тому його можна також назвати ізоентропійним процесом.

108