Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу

де q1 – заряд на пластині 1 конденсатора. Також зазначимо, що виходячи з означення сили електричного струму

де dq – кількість заряду, що пройшла через поперечний переріз провідника за час dt . Із

З отриманих формул знаходимо, що заряд на конденсаторі змінюється з часом за законом

що має розмірність часу. Вона називається часом релаксації. Через час τ заряд конденсатора зменшується в e раз. Тому τ за порядком величини дорівнює часу, протягом якого конденсатор розрядиться.

Використовуючи формулу (112.3) та (112.4), знаходимо закон зміни струму з часом:

де I0 = q0 / τ = q0 /(RC) – початкове значення струму, тобто струм при t = 0 .

2 Знайдемо закон зміни заряду на конденсаторі та сили електричного струму від часу при зарядженні конденсатора.

Це завдання вирішується аналогічно до вищевикладеного. Нехай у коло конденсатора з опором R включено джерело струму з постійною електрорушійною силою E (див. рис. 112.2). Після замикання ключа K джерело збуджує струм, що заряджає конденсатор. Електричні заряди, що з’являються на обкладках конденсатора перешкоджають проходженню струму й зменшують його.

Розглянемо ділянку кола 1–А–2 (див. рис. 112.2). Згідно закону Ома електричний струм, що проходить по цій ділянці, дорівнює

181

Співвідношення (112.8) є неоднорідним диференціальним рівняння. Воно зводиться до однорідного, якщо його записати у вигляді

Тут використали, що в момент часу t = 0 заряд на конденсаторі дорівнював нулю. Далі отримуємо шукану залежність заряду конденсатора від часу

(112.10)

Знак «–» говорить про те, що струм у контурі (див. рис. 112.2) проходить у зворотному напрямку до обходу контуру. Струм максимальний у початковий момент і дорівнює E / R . Далі він зменшується за експонентним законом.

§ 113 Природа носіїв струму в металах. Дослід Рікке. Ідея Лоренца визначення відношення заряду до маси носія електричного струму в металах. Дослід Толмена і Стюарта [2]

відшліфованими торцями. Після зважування Рисунок 113.1 – Схема досліду Рікке циліндри були складені разом у послідовності: мідь – алюміній – мідь (див. рис. 113.1). Через такий складений провідник пропускався безупинно струм одного напрямку протягом року.

182

Заряд є додатним, коли він переноситься у напрямку руху провідника.

Таким чином, вимірявши l , υ0 і R , а також заряд q , що проходить по колу під час

гальмування провідника, можна знайти питомий заряд носіїв. Напрямок імпульсу струму дасть інформацію про знак носіїв.

3 Дослід Толмена і Стюарта. Кількісний результат був отриманий Толменом і Стюартом у 1916 р. Котушка із провідника довжиною 500 м приводилася в обертання, при якому лінійна швидкість витків становила 300 м/с. Потім котушка різко гальмувалася й за допомогою балістичного гальванометра вимірювався заряд, що проходив у колі за час гальмування. Обчислене за формулою (113.1) значення питомого заряду носіїв, було дуже близьким до e / m для електронів. Таким чином, було експериментально доведено, що носіями струму в металах є електрони.

4 Дослід показує, що струм у металах можна викликати вкрай малою різницею потенціалів. Це дає підставу вважати, що носії струму – електрони переміщуються в металі практично вільно. До того ж висновку приводять і результати досліду Толмена й Стюарта.

183

Існування в металах вільних електронів можна пояснити тим, що при утворенні кристалічної решітки від атомів металу від’єднуються слабкіше усього зв'язані (валентні) електрони, які стають «колективною» власністю усього металу. Якщо від кожного атома від’єднати по одному електрону, то концентрація вільних електронів (тобто їх число в одиниці об'єму) буде дорівнює кількості атомів в одиниці об'єму. Число атомів в одиниці об'єму дорівнює r/ m0 = r/(m / NA ) = rNA / m , де m0 – маса одного атому; ρ – густина металу;

μ– маса моля; NA – число Авогадро. Звідси знаходимо, що концентрації вільних електронів

уметалах приймають такі значення

§ 114 Якісні уявлення про електропровідність металів з точки зору класичної теорії. Закон Ома та Джоуля-Ленца з погляду класичної теорії електропровідності. Недоліки класичної теорії електропровідності [5]

1 Якісні уявлення про електропровідність металів. Виходячи з уявлення про вільні електрони, Друде створив класичну теорію електропровідності металів у 1900 р., яка потім була удосконалена Лоренцом. Друде припустив, що носії струму в металах – електрони поводяться подібно молекулам ідеального газу. У проміжках між зіткненнями вони рухаються під час відсутності поля вільно, пробігаючи в середньому деякий шлях λ . На відміну від молекул газу, пробіг яких визначається зіткненнями молекул одна з одною, електрони зіштовхуються переважно не між собою, а з іонами, що утворюють кристалічну решітку металу. Ці зіткнення приводять до встановлення теплової рівноваги між електронним газом і кристалічною решіткою.

Для оцінки середньої швидкості теплового руху електронів провідності в металах скористаємося формулою для середньої швидкості теплового руху молекули, поклавши температуру такою, що дорівнює 300 К:

де n та e є відповідно концентрація та заряд електрона. Найбільша можлива густина електричного струму, коли провідник ще не перетворюється на рідину через виділення

великої кількості тепла, для міді дорівнює близько 107 А/м2. Якщо взяти для n значення 1029 м–3, то отримаємо

Таким чином, навіть при дуже великих густинах електричного струму середня

швидкість впорядкованого руху електронів < u > приблизно в 108 разів менше середньої швидкості теплового руху < υ > . Тому в обчисленнях модуль результуючої швидкості | υ + u | можна заміняти модулем теплового руху | υ |.

2 Закон Ома. Друде припускав, що електричне поле збільшує швидкість електрона і надає йому деяку додаткову енергію. Під час зіткнення електрона з іоном решітки набута ним за час пробігу додаткова енергія повністю передається іону. Далі електричне поле знову прискорює електрон, знову має місце зіткнення і т.д. Отримаємо закон Ома, виходячи з вище описаної моделі руху електрона в металі.

184

Якщо поле в металі є однорідним, то електрон рухається деякий час τ (час пробігу) з постійним прискоренням a = eE / m ( e та m є відповідно зарядом та масою електрона, E є напруженістю електричного поля) й за час пробігу τ швидкість упорядкованого руху досягає значення

де λ – довжина вільного пробігу; < υ > – його результуюча швидкість, яка, як ми з’ясували вище, практично збігається з тепловою < υ > .

Швидкість u змінюється за час пробігу лінійно. Тому її середнє значення дорівнює

Підставивши це значення середньої швидкості впорядкованого руху носіїв струму у формулу для густини електричного струму, отримаємо

де n є концентрацією носіїв струму (вільних електронів у металі). Таким чином, ми прийшли до закону Ома в диференціальному вигляді. Більше того, виходячи з класичної теорії електропровідності металів, ми отримали вираз для провідності:

Звідси випливає, якби електрони не мали зіткнень, довжина вільного пробігу, а отже, і провідність були б нескінченно великі. Таким чином, відповідно до класичних уявлень опір металів обумовлений зіткненнями електронів провідності з іонами кристалічної решітки.

3 Закон Джоуля-Ленца. Розглядаємо попередню модель руху електронів у провіднику. Знайдемо середнє значення додаткової кінетичної енергії електронів, що обумовлена дією електричного поля. Швидкість електронів дорівнює сумі швидкості теплового руху υ й швидкості впорядкованого руху u . Середнє значення квадрата результуючої швидкості дорівнює

де α – кут між векторами υ й u (усереднення виконується за усіма електронами). Швидкість υ хаотичного руху має з рівною ймовірністю найрізноманітніші напрямки. Тому всі значення cosα від –1 до +1 мають однакову ймовірність. Через цю причину середнє значення υu cosα дорівнює нулю. Таким чином,

(r r)2 2 2

u + u = u + u .

Звідси випливає, що середня кінетична енергія електронів складається з постійного доданка m < u2 > / 2 й додаткового доданка

Dek = 12 mu2 ,

який обумовлений полем.

У момент перед зіткненням u має значення umax (див. формулу (114.2)) й додаткова кінетична енергія дорівнює