ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 0
|
R = ρ |
l |
|
, |
(108.2) |
|
S |
|
|||
де l – довжина провідника; S – площа його поперечного перерізу; ρ |
– коефіцієнт, який |
||||
залежить від властивостей матеріалу, і який називається питомим електричним опором речовини. Виміряється ρ в ом∙метрах (Ом∙м).
На електричних схемах електричний опір позначають так: |
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|||
|
|||||
3 Отримаємо закон Ома в диференціальному вигляді. Виділимо уявно у провіднику |
|||||
елементарний циліндричний об'єм з твірними, які паралельні векторам |
j і E (рис. 108.1). |
||||
Відповідно до формули (108.2) опір циліндра дорівнює ρdl / dS . Через поперечний переріз
циліндра проходить струм силою |
jdS . |
Напруга, що |
прикладена до циліндра, дорівнює |
||||||||||
dU = −dϕ = Edl . Підстановка цих значень у формулу (108.1) дає, що |
|||||||||||||
|
jdS = |
|
dS |
|
Edl , звідки j = |
1 E . |
|||||||
|
|
ρdl |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
||||
Вектори j |
й E мають однаковий напрямок. Тому можна написати |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
r |
= |
1 |
r |
r |
. |
(108.3) |
||
|
|
|
|
|
j |
ρ |
E = σE |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ця формула виражає закон Ома в диференціальній |
dl |
||||||||||||
формі для однорідної ділянки кола. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зворотна до ρ величина |
σ = 1/ ρ |
називається |
j |
||||||||||
питомою |
електричною |
провідністю |
(або |
||||||||||
dS |
|||||||||||||
електропровідністю) речовини. Одиниця, зворотна |
|||||||||||||
E |
|||||||||||||
ому, називається сименсом (См). Отже, одиницею σ є |
|||||||||||||
сименс розділити на метр (См/м). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 108.1 – В ізотропному |
||
4 Для більшості металів при не занадто низьких |
|||||||||||||
провіднику напрямки векторів j і |
|||||||||||||
температурах питомий опір ρ змінюється пропорційно |
|||||||||||||
E збігаються |
|||||||||||||
термодинамічній температурі: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ ~ T . |
|
|
(108.4) |
||
У великої групи металів і сплавів, а також керамічних матеріалів при досить низькій температурі опір стрибком обертається в нуль. Це явище називають надпровідністю.
§ 109 Закон Ома для неоднорідної ділянки кола в диференціальній і інтегральній формі. Закон Ома для замкненого кола [5]
1 У неоднорідній ділянці на носії електричного струму діють як сили з боку електростатичного поля, так і сторонні сили. Зрозуміло, що рух носіїв струму буде визначати
результуюча сила або результуюча напруженість, що відповідає цим силам E + Eст . Виходячи з вищесказаного, можемо записати закон Ома в диференціальному вигляді для
r
неоднорідної ділянки, використовуючи закон Ома для однорідної ділянки кола ( j = σE ), в
якому замінимо напруженість електричного поля E на результуючу напруженість |
E + Eст . |
|||
У результаті отримаємо |
|
|
|
|
|
r |
= σ(E + Eст ) |
|
|
|
|
|
||
|
j |
. |
(109.1) |
|
Формула (109.1) виражає закон Ома в диференціальній формі для неоднорідної ділянки кола. 2 Запишемо закон Ома для неоднорідної ділянки кола в інтегральному вигляді. Для цього розглянемо циліндричний провідник із площею поперечного перерізу S й довжиною
177
l . Припустимо, що напруженості E й Eст у всіх точках провідника однакові. Помножимо
обидві частини рівності (109.1) на переміщення dl уздовж осі провідника й проінтегруємо отримане співвідношення по довжині провідника від 0 до l . У результаті отримаємо
l r r |
æ l r r |
l r |
rö |
|
|
|
ç |
òEdl |
|
÷ |
(109.2) |
ò jdl = sç |
+òEстdl ÷ . |
||||
0 |
è |
0 |
0 |
ø |
|
Інтеграл, що стоїть ліворуч від знака рівності, дорівнює jl . Інтеграли праворуч дорівнюють відповідно різниці потенціалів j1 - j2 між кінцями провідника й ЕРС E12 , що діє в провіднику. Урахувавши це й замінивши j на I / S , а σ на 1/ ρ , можна написати (109.2) у вигляді
I |
rl = j - j |
2 |
+ E . |
|
|||
|
|
S |
1 |
12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Зрозуміло, що множник ρl / S біля I дорівнює опору R |
провідника. Отже, |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
I = j1 - j2 + E12 |
. |
(109.3) |
|||
|
|
|
R |
|
|
|
|
Таким чином, отримали закон Ома для неоднорідної ділянки кола в інтегральній формі. У (109.3) сила струму й ЕРС є алгебраїчними величинами. Сила струму додатна, коли струм проходить в напрямку від кінця провідника 1 до кінця 2. ЕРС вважається додатною, коли вона сприяє руху додатних носіїв у напрямку 1–2.
3 Для замкненого кола j1 = j2 (у замкненому колі точки 1 і 2 збігаються) й формула
(109.3) отримує вигляд |
|
|
|
||
|
I = E / R |
, |
|
|
(109.4) |
де E – ЕРС, що діє в замкненому електричному колі; R |
сумарний опір |
усього кола. |
|||
Формула (109.4) виражає закон Ома для замкненого кола. |
|
|
|
||
§ 110 Правила Кірхгофа [5] |
|
|
|
||
1 В основі розрахунку розгалужених електричних кіл |
|
|
|
||
лежать два правила Кірхгофа. Перше правило відноситься до |
|
|
I1 |
||
вузлів кола. Вузлами називаються точки, у яких сходяться |
|
|
|
||
більш ніж два провідники (рис. 110.1). |
|
|
I3 |
||
Перше правило Кірхгофа говорить, що алгебраїчна сума |
I2 |
||||
струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю: |
|
|
|||
(110.1)
У цій формулі струму, що проходить до вузла, приписується один знак (плюс або мінус), струму, що проходить від вузла, – інший знак.
Перше правило Кірхгофа випливає з наступних міркувань. У колі постійного струму потенціали у всіх точках
повинні залишатися постійними. Якби алгебраїчна сума струмів була відмінна від нуля, то у вузлі відбувалося б нагромадження або зменшення зарядів, що у свою чергу приводило б до зміни потенціалу вузла.
Рівняння (110.1) можна написати для всіх N вузлів. Однак незалежними будуть тільки N −1 рівняння, N -е рівняння буде наслідком інших.
178
|
2 Друге правило відноситься до будь-якого замкненого контура, який виділено уявно |
||||||||||||||||||
в розгалуженому колі (рис. 110.2). Виберемо напрямок обходу (наприклад, за годинниковою |
|||||||||||||||||||
стрілкою, як показано на рисунку) і застосуємо до кожної з ділянок контура закон Ома: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I1R1 = ϕ1 − ϕ2 + E1, I2 R2 = ϕ2 − ϕ3 + E2 , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I3R3 = ϕ3 − ϕ4 + E3, I4 R4 = ϕ4 − ϕ1 + E4. |
|
|
|
|
|
||||||||
Якщо скласти ці рівності, потенціали скоротяться й отримаємо рівняння |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åIk Rk |
= åEk |
, |
|
|
|
(110.2) |
|||
яке виражає друге правило Кірхгофа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Рівняння (110.2) можна скласти для всіх замкнених контурів, які можна виділити в |
||||||||||||||||||
даному електричному колі. Однак незалежними будуть тільки рівняння для тих контурів, які |
|||||||||||||||||||
не можна отримати накладенням на них інших контурів. Наприклад, контур 1–2–3–4–1 на |
|||||||||||||||||||
рис. 110.2 отримаємо накладенням контурів 1–2–4–1 і 2–3–4–2. Тому незалежними будуть |
|||||||||||||||||||
рівняння для будь-яких двох контурів із цих трьох. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
При |
|
складанні |
рівнянь |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
напрямки |
струмів |
і |
напрямок |
|
|
|
|
ϕ2 |
|
|
|
|
|||||||
обходу можна вибирати довільно. |
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Струмам |
|
і |
ЕРС |
|
потрібно |
|
|
|
|
+ |
|
E2 |
|
|
|
||||
приписувати |
|
знаки |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
- |
|
|
|
|
||||||||
відповідності |
до |
|
обраного |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
напрямку обходу. Наприклад, |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
||||||||||
струм |
I3 на рис. 110.2 |
потрібно |
E1 |
+ - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вважати |
|
|
від’ємним |
|
(і |
|
|
|
|
I2 |
|
|
|||||||
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
підставляти |
рівняння |
− I3 ), |
1 |
|
I4 |
+ - |
|
|
+ - I3 |
|
3 |
|
|||||||
тому |
що |
він |
зображений |
як |
|
|
|
|
|
||||||||||
ϕ1 |
|
4 |
|
|
ϕ3 |
|
|||||||||||||
такий, |
що |
проходить |
назустріч |
R4 |
|
|
|
R3 |
|
||||||||||
|
|
|
E3 |
|
|||||||||||||||
напрямку обходу. ЕРС |
E |
і |
E |
2 |
|
|
|
E4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ϕ4 |
|
|
|
|
|
|
також |
потрібно |
|
вважати |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
від’ємними, оскільки вони діють у |
Рисунок |
|
110.2 |
– |
Суцільними |
лініями |
показаний |
||||||||||||
напрямку, |
|
|
протилежному |
замкнений |
контур |
1–2–3–4–1, |
який |
виділено |
у |
||||||||||
напрямку |
обходу |
(викликають |
складному розгалуженому колі. |
З інших |
ланок |
кола |
|||||||||||||
струм, |
|
напрямок |
|
якого |
зображена штриховою лінією лише ділянка 2–4 |
|
|
||||||||||||
протилежний до напрямку обходу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
контура). Якщо для деякого струму буде отримане від’ємне значення, це буде означати, що |
|||||||||||||||||||
в дійсності він проходить в напрямку, який є протилежним до зазначеного на рисунку. |
|
|
|||||||||||||||||
|
Потрібно мати на увазі, що через будь-який перетин нерозгалуженої ділянки кола |
||||||||||||||||||
проходить один і той самий струм. Наприклад, на ділянці від точки 1 до джерела струму E1 |
|||||||||||||||||||
проходить такий самий струм I1 |
як і на ділянці від джерела E1 до точки 2. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Число незалежних рівнянь, складених за першим та другим правилах Кірхгофа, |
||||||||||||||||||
дорівнює кількості струмів, що проходять у різних ланках кола. Тому, якщо задані ЕРС і |
|||||||||||||||||||
опори, то можна обчислити усі струми. Можна вирішити й завдання іншого роду, наприклад, |
|||||||||||||||||||
знайти ЕРС (або опори), які потрібно включити в кожну ланку кола, щоб отримати при |
|||||||||||||||||||
заданих опорах (або ЕРС) потрібні струми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
§ 111 Потужність струму. Закон Джоуля-Ленца в інтегральній і диференціальній формі [5]
1 Розглянемо довільну ділянку кола постійного струму, до кінців якого прикладена різниця потенціалів ϕ1 − ϕ2 , в якій діють сторонні сили, що характеризуються ЕРС E . За час t через кожний перетин провідника проходить заряд q = I ×t . Це рівносильно тому, що заряд
179
q = I ×t переноситься за час t із одного кінця провідника в іншій. При цьому сили електростатичного поля й сторонні сили, що діють на даній ділянці, виконують роботу
A = q(j1 - j2 ) + qE12 = I ×t ×(j1 - j2 + E12 ) . (111.1)
Розділивши роботу A на час t , за яке вона виконується, отримаємо потужність, що розвивається струмом на розглянутій ділянці кола:
|
|
|
P = A / t = I ×(j1 - j2 + E12 ) |
. |
(111.2) |
Ця потужність може витрачатися на здійснення розглянутою ділянкою кола роботи над зовнішніми тілами (для цього ділянка повинна переміщуватись у просторі), на протікання хімічних реакцій і, нарешті, на нагрівання цієї ділянки кола.
2 У випадку, коли провідник нерухомий і хімічні перетворення в ньому не виконуються, робота струму витрачається на збільшення внутрішньої енергії провідника, у результаті чого провідник нагрівається. У цьому випадку при проходженні струму в провіднику виділяється тепло. Тоді, розглядаючи в загальному випадку неоднорідну ділянку
кола, використовуючи (111.1) |
та |
|
закон |
|
Ома для |
неоднорідної ділянки |
кола |
|||||
I × R = j1 - j2 + E12 , отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = A = I ×t ×(j - j |
2 |
+ E |
|
) = RI 2t або Q = RI 2t . |
(111.3) |
||||||
|
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||
Коли сила струму змінюється з часом, |
то кількість тепла, що виділяється за час t , |
|||||||||||
обчислюється за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = òRI 2dt |
. |
|
|
(111.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Співвідношення |
(111.4) |
було |
|
|
|
встановлено |
|
dl |
|
|||
експериментально Джоулем і, незалежно від нього, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Ленцем і носить назву закону Джоуля-Ленца (закон |
|
|
j |
|||||||||
|
|
|||||||||||
Джоуля-Ленца в інтегральній формі). |
|
|
|
|
|
|
|
dS |
||||
3 Від формули (111.4), що визначає тепло, яке |
|
|||||||||||
виділяється в усьому провіднику, можна перейти до |
|
|
|
|||||||||
виразу, що характеризує виділення |
тепла в |
|
малому |
|
Рисунок 111.1 |
|
||||||
об’ємі провідника. Виділимо в провіднику елементарний |
|
|
||||||||||
об'єм у вигляді циліндра (див. рис. 111.1). Відповідно до закону Джоуля – Ленца за час dt у цьому об'ємі виділиться тепло
dQ = RI 2dt = |
r×dl |
( j ×dS )2 dt = rj2 |
×dV ×dt |
(111.5) |
|
||||
|
dS |
|
|
|
( dV = dS ×dl – величина елементарного об'єму, R = r×dl / dS – опір провідника, |
j ×dS = I – |
|||
сила струму). Розділивши вираз (111.5) на dV і dt , знайдемо кількість тепла, що виділяється в одиниці об'єму в одиницю часу:
Qпит = rj2 |
. |
(111.6) |
Величину Qпит називають питомою тепловою потужністю струму. Формула (111.6) являє собою диференціальну форму закону Джоуля–Ленца.
§ 112 Процеси встановлення струму під час заряду і розряду конденсатора [9]
1 Припустимо, що миттєве значення струму однакове у всіх поперечних перерізах провідника, що з'єднує обкладки конденсатора, а миттєве електричне поле таке саме, як в електростатиці при тих же зарядах на обкладках конденсатора. Струми й поля, що задовольняють цим умовам, називають квазистаціонарними.
180