Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.03.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

r

r

 

 

m

 

 

 

 

r

 

 

 

0

 

I[dl ´r ]

 

B = òdB =

ò

 

 

 

 

 

.

4p

 

r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль вектора dB , виходячи з виразу (4.1), визначається співвідношенням

 

dB = m0

 

I ×dl ×sin a

,

(4.3)

 

 

 

 

4p

 

 

 

 

r2

 

 

 

де α – кут між векторами dl й r .

2 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене відрізком із струмом, наприклад в точціO (див. рис. 4.2), яка знаходиться на відстані a від осі відрізка. При цьому вважаємо кути між напрямами векторів, проведених з кінців відрізка зі струмом до точки O і напрямом електричного струму I , відомими і такими, що дорівнюють відповідно a1 й a2 (див. рис. 4.2).

 

dB O

 

 

 

da

 

α

 

 

 

 

 

r × dα

 

 

a

r

 

 

 

 

 

 

a2

P

K

M

a1

 

α

I

 

dl

N

 

Рисунок 4.2 – До

обчислення індукції магнітного поля, що ство-

рюється відрізком провідника зі струмом

 

Розіб’ємо відрізок із струмом I на елементарні ділянки dl (див. рис. 4.2). Відповідно до закону Біо-Савара-Лапласа елемент зі струмом Idl створює магнітне поле з індукцією dB ,

що визначається формулою (4.1). Зауважимо, що вектори dB від усіх елементів струму I ×dl в точці O паралельні осі Z , яка перпендикулярна до площини рисунка (див. рис. 4.2). Тому

відповідно до принципу суперпозиції при визначенні індукції магнітного поля B у точці O можна перейти від геометричного до алгебраїчного підсумовування (інтегрування):

r

ò

r r

ò

r

m

× I

 

ò

sin a

 

 

B =

dB = ez ×

dB = ez ×

4p

×

r2

×dl ,

(4.4)

 

 

0

 

 

 

 

l

 

l

 

 

 

 

l

 

 

 

де dB – модуль вектора dB (див. формулу (4.3)); α – кут між векторами dl й r . Проаналізуємо вираз (4.4). Зрозуміло, що під знаком інтеграла у співвідношенні (4.4)

кут α та довжина вектора r змінюються при переході від одного елемента довжини dl до іншого (див. рис. 4.2.). Тому перетворимо підінтегральний вираз так, щоб він залежав тільки від однієї змінної, наприклад кута α .

Неважко знайти зв’язок елемента dl з елементарним кутом da та довжиною вектора r . З трикутника DKMN (див. рис. 4.2) випливає, що dl ×sin a = KM , а з трикутника DOKN – KM = r ×da . Звідси маємо dl = r ×dasin a . Далі з трикутника DOPN можемо виразити

довжину вектора r через відстань a та кут α : r = a / sin a . Тоді співвідношення (4.4) набуде вигляду

r

r m0 × I

α2 da r m0 ×

B = ez × 4p

× ò

r

= ez ×

4p×

 

 

α1

 

 

 

 

 

 

 

18

 

I ×αò2sin a×da . a α1

Далі проведемо інтегрування і отримаємо шуканий вираз для індукції магнітного поля, що створюється відрізком провідника зі струмом:

B =

m0 × I

×(cosa - cosa

2

)

.

(4.5)

 

 

4p×a

1

 

 

 

 

 

 

 

3 Застосуємо закон Біо-Савара-Лапласа для обчислення індукції магнітного поля, яке створене нескінченно довгим прямим провідником зі струмом (див. рис. 4.3). Для цього використаємо формулу для індукції магнітного поля від відрізка із струмом (4.5).

 

 

 

B

 

 

 

O

 

 

a2

 

 

 

 

a1

I

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

Рисунок

 

4.3 – До

обчислення індукції магнітного поля, що ство-

 

рюється нескінченним тонким провідником зі струмом

З рис. 4.3 випливає, що коли довжина відрізка b буде прямувати до нескінченності, то кут a1 буде прямувати до нуля, а кут a2 – до 180° . Це означає, що коли відрізок

перетвориться в нескінченно довгий провідник із струмом (b = ∞ ), кути будуть мати значення

a1 = 0, a2 =180° .

(4.6)

Тоді індукцію від нескінченно довгого тонкого провідника із струмом знайдемо, підставивши значення (4.6) в (4.5):

 

 

B =

m0 × I

×(1- (-1))=

m0 × I

, тобто

 

B =

m0 × I

 

.

 

 

 

(4.7)

 

 

2p×a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4p×a

 

 

 

 

2p×a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, отримали співвідношення

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.7), яке визначає індукцію магнітного поля від

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

нескінченного тонкого провідника із струмом I .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

Слід зазначити, що напрям вектора B

можна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначити за правилом правого гвинта: коли

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гвинт встановити паралельно струму й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dB

 

 

 

обертати його так, щоб поступальний рух

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

-b

 

гвинта був

спрямований вздовж

струму,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обертання

шапочки

гвинта буде

визначати

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

r

2

 

dB

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

напрям силових ліній індукції магнітного поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dBxex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

x

 

 

 

4 Застосуємо

закон Біо-Савара-Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dB

 

для обчислення індукції магнітного поля на осі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

колового струму (див. рис. 4.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розіб’ємо круговий виток, по

якому

 

dl

 

 

I

 

R

 

 

 

 

 

 

 

проходить струм I ,

на елементи

довжини

dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O′

 

 

 

(див. рис. 4.4). Елемент довжини dl

зі струмом I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.4

 

 

 

створює в точці O магнітне поле dB , яке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

визначається законом Біо-Савара-Лапласа (4.1). Відповідно до цього закону вектор

dB є

перпендикулярним до радіуса-вектора

r й

вектора

dl (див.

рис. 4.4), а його модуль

відповідно до (4.3) дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

m0

 

I ×dl

×sin p

= m0

 

 

I ×dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| dB |=

×

×

 

.

 

 

 

 

 

 

(4.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4p

 

 

r2

2

4p

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут враховано, що кут α між векторами r

й dl

дорівнює π / 2.

 

 

 

Подамо вектор dB у вигляді суми двох векторів:

вектора Bxex , який спрямований

паралельно осі X , та вектора dB , який перпендикулярний до осі X (див. рис. 4.4).

 

Знайдемо векторну суму паралельних осі X

компонент вектора dB . Виходячи з

рисунка 4.4, неважко знайти проекцію

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dBx = -dB ×cos(p/ 2 -b) = - m0

×

I ×dl ×sin b

.

 

 

(4.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У цій формулі кут β – кут між віссю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4p

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

X

 

та вектором r . Зазначимо, що для всіх елементів

струму Idl кут β має одне і те саме значення (див. рис. 4.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin b =

R

=

 

 

 

R

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

R2 + x2

 

 

 

 

 

 

 

Відповідно до принципу суперпозиції знаходимо результуючу проекцію Bx

шляхом

підсумовування усіх елементарних проекцій dBx

(або, в нашому випадку, їх інтегруванням)

 

 

 

 

 

 

 

m0

 

 

 

I

 

 

 

 

 

2πR

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

Bx =

ò

dBx = -

×

 

 

×sin b×

ò

dl = -

m0

×

×sin b×2pR =

 

4p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

4p

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0 × I × R2

 

 

 

= -

4p

×

 

 

 

×

 

 

 

 

 

×2pR = -

2(R2 + x2 )3/ 2

.

(4.11)

(R2 + x2 )

 

 

 

 

 

 

 

R2 + x2

Знайдемо векторну суму перпендикулярних до осі

X компонент вектора dB ( dB ).

Зазначимо – у цій сумі для кожного вектора

dB можна знайти йому протилежний. Це

означає, що сума усіх векторів dB буде дорівнювати нулю.

 

 

 

Таким чином, результуюча індукція магнітного

поля B

від колового

витка зі

струмом буде визначатися співвідношенням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

m0 × I × R2

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = Bxex

= -

2(R2 + x2 )3/ 2

ex

.

 

 

(4.12)

§ 5 Взаємодія двох

нескінченно

довгих паралельних

провідників. Ампер –

одиниця вимірювання сили струму [15]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 У 1820 р. Ампер експериментально встановив, що два прямі паралельні струми притягуються, а антипаралельні відштовхуються. Знайдемо силу взаємодії двох паралельних нескінченних струмів.

Розглянемо два нескінченно довгі паралельні провідники із струмами 1 і 2 (рис. 5.1). Індукція магнітного поля, що створюється нескінченно довгим провідником зі струмом I1 в точці A на відстані R від провідника 1, визначається співвідношенням

B =

m0 I1

.

(5.1)

 

1

2pR

 

 

 

I1

1

 

2

I2

 

 

 

 

 

F21

 

F12

A

 

 

 

 

 

 

R

B1

 

 

 

 

 

Рисунок 5.1

 

Напрям вектора B1 можна визначити за правилом правого гвинта: коли гвинт

встановити паралельно струму й обертати його так, щоб поступальний рух гвинта був спрямований вздовж струму, то обертання шапочки гвинта буде визначати напрям силових

20

ліній індукції магнітного поля. У точці A відповідно до правила правого гвинта, вектор індукції магнітного поля B1 спрямований «до нас» і перпендикулярний до провідника 2. Тому кут α між провідником 2 і індукцією магнітного поля B1 в точці A буде дорівнювати π / 2. Тоді модуль сили Ампера, яка діє на відрізок довжиною l провідника 2 із струмом I2 , зможемо знайти із закону Ампера

F

= B I

l sin a = m0I1I2 l .

(5.2)

12

1

2

2pR

 

 

 

 

 

Зрозуміло, якщо струми I1 і I2 паралельні, то сила F12 за правилом лівої руки спрямована до провідника 1. Аналогічно можна показати, що на провідник 1 із струмом I1 діє сила

 

 

 

F

 

= m0 I2 I1 l ,

 

 

 

21

2pR

 

 

 

 

 

 

 

але ця сила спрямована до провідника 2, тобто F12 = -F21 (струми притягуються).

Якщо

змінити напрям

I1 (або

I2 ), то зміняться напрями F12 і

F21 . Оскільки

| F12 |=| -F21 |,

то в загальному

випадку

 

сила взаємодії двох паралельних

струмів буде

визначатися співвідношенням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = m0I2 I1 l

.

(5.3)

 

 

 

 

 

2pR

 

 

2 Вивчення взаємодії двох прямих сталих паралельних струмів дає змогу встановити одиницю струму – ампер як одну з основних у СІ. Ампер (А) – сила сталого струму, який,

проходячи по двох паралельних прямолінійних провідниках нескінченної довжини малого кругового перерізу, розміщених на відстані 1 м один від одного у вакуумі, утворює силу

взаємодії між ними, яка дорівнює 2×10−7 ньютон на кожний метр довжини.

 

 

З означення ампера і формули (5.3) знайдемо значення m0 :

2×10

−7

Н=

m0 ×1 А ×1 А ×1м

, звідки m0 = 4p×10

−7

Н

= 4p×10

−7

Гн

(генрі на метр).

 

2p×1м

 

А2

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 6 Сила, що діє на контур із струмом в однорідному магнітному полі. Момент сил, що діють на контур із струмом у магнітному полі. Вимірювання індукції магнітного поля за допомогою контуру зі струмом [5]

1 Знайдемо силу F , що діє на контур із струмом в однорідному магнітному полі

( B = const ). Згідно із законом Ампера на елемент контуру dl

зі струмом I діє сила

dF = I[dl ´ B] .

(6.1)

Результуючу усіх сил, що діють на усі елементи контуру, тобто силу, яка діє на контур, знайдемо шляхом інтегрування (6.1):

F = òI[dl ´ B].

(6.2)

Винесемо сталі величини I й B з під знака інтеграла. У результаті отримаємо

 

r

r

r

 

F

= I[(òdl )´ B] .

(6.3)

Інтеграл òdl береться за замкненим контуром і тому він дорівнює нулю. Тоді з (6.3)

випливає, що і сила дорівнює нулю F = 0 .

21

Смотрите также файлы