Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

Таким чином, поле зосереджене усередині тороїда. Зазначимо, що поле тороїда не є однорідним, у точках з різним значенням r індукція магнітного поля, як це випливає з (9.2а), є різною.

2 Соленоїдом називається провідник, який навитий на каркас, що має форму циліндра. Знайдемо індукцію магнітного поля нескінченно довгого соленоїда з відомим числом витків на одиницю його довжини n , по якому проходить струм I .

Перш за все зазначимо, що нескінченно довгий соленоїд є частинним випадком тороїда. Дійсно, коли радіус тороїда R збільшувати до нескінченності, то довільний відрізок тороїда перейде у соленоїд. Звідси випливає, що магнітне поле соленоїда можна знайти, використовуючи формулу для індукції магнітного поля тороїда (9.2).

Розглядаючи улаштування тороїда (див. рис. 9.1), неважко з’ясувати, що відстань від центра тороїда до його довільної точки r пов’язана з радіусом тороїда R таким співвідношенням:

де h є відстанню від осі тороїда до його довільної точки (див. рис. 9.1). Підставимо (9.3) в (9.2), перейдемо до випадку R ® ¥ і отримаємо формулу для індукції магнітного поля всередині соленоїда

Зрозуміло, що за межами соленоїда, як і у випадку тороїда, магнітне поле відсутнє, тобто

Слід також відзначити, що як випливає з (9.4), у різних внутрішніх точках соленоїда магнітне поле має однакове значення як за модулем, так і за напрямом. Тобто всередині соленоїда магнітне поле є однорідним.

27

òB ×dS = òdivB ×dV ò0×dV = 0 ,

Таким чином, для індукції магнітного поля у речовині теорема Гаусса записується у такому самому вигляді, як і для вакууму.

2 Знайдемо циркуляцію індукції магнітного поля B у речовині. Як відомо, індукція B дорівнює векторній сумі додаткового поля B¢, яке створюється молекулярними струмами, й поля, що створюється зовнішніми джерелами у вакуумі B0 (11.1). Використовуємо визначення циркуляції вектора та (11.1) й отримуємо

Відповідно до теореми про циркуляцію індукції магнітного поля у вакуумі можемо записати

де m0 åIk – алгебраїчна сума макроскопічних струмів, що охоплюються контуром Γ , по

якому виконується інтегрування, тобто алгебраїчна сума струмів, що проходять через довільну поверхню S , що обмежена контуром Γ .

Для поля B¢, яке створюється молекулярними струмами, повинно виконуватися аналогічне співвідношення:

Γk

де åIмол,k – алгебраїчна сума молекулярних струмів, що проходять через поверхню S . Підставимо вирази (11.6) і (11.7) у формулу (11.5) і отримаємо

яка обмежена деяким контуром. З рис. 11.1 випливає, що в цю суму входять тільки ті молекулярні струми, які виявляються «нанизаними» на контур. Струми, які «не нанизані» на контур, або не перетинають поверхню зовсім, або перетинають поверхню двічі – один раз в одному напрямку, другий раз в іншому. Тому їх внесок в алгебраїчну суму струмів, які охоплюються контуром, дорівнює нулю.

29

З рис. 11.2 бачимо, що елемент контуру dl , який утворює з напрямом намагніченості J кут α , «нанизує» на себе тільки ті молекулярні струми, центри яких попадають усередину косого циліндра з об'ємом Sмол cosadl ( Sмол – площа, яка охоплюється окремим молекулярним струмом). Якщо n – число молекул в одиниці об'єму, то сумарний струм, що охоплюється елементом dl , дорівнює IмолnSмол cosadl . Добуток Iмол Sмол дорівнює магнітному моменту pm окремого молекулярного струму. Отже, вираз Iмол Sмолn являє

собою магнітний момент одиниці об'єму, тобто дає модуль вектора J , а Iмол Sмолncosadl – проекцію вектора J на напрям елемента dl . Таким чином, сумарний молекулярний струм,

«нанизаний» на елемент dl , визначається виразом Jdl cosa = J ×dl , а сума молекулярних струмів, «нанизаних» на весь контур (тобто сума молекулярних струмів, що проходять через поверхню, яка обмежена контуром), дорівнює

магнітного поля й позначають буквою H . Таким чином,

З урахуванням (11.11) співвідношення (11.10) можна написати у вигляді

Формула (11.12) виражає теорему про циркуляцію вектора H : циркуляція вектора напруженості магнітного поля по деякому контуру Γ дорівнює алгебраїчній сумі макроскопічних струмів, які охоплюються цим контуром.

Напруженість магнітного поля H є аналогом вектора індукції електричного поля D . Спочатку вважалося, що в природі є подібні до електричних зарядів магнітні маси, і вчення про магнетизм розвивалося за аналогією з вченням про електрику. Тоді й були ведені назви:

«магнітна індукція» для B й «напруженість поля» для H . Згодом з'ясувалося, що магнітних мас у природі не існує й що величина, яку називають магнітною індукцією, у дійсності є

аналогом не електричного зсуву D , а напруженості електричного поля E (відповідно H –

аналогом не E , а B ). Однак змінювати вже усталену термінологію не стали, тим більше що внаслідок різної природи електричного й магнітного полів (електростатичне поле

потенціальне, магнітне соленоїдальне) величини B й D мають досить багато подібного у

своїх властивостях (наприклад, лінії B , як і лінії D , не мають розривів на межі двох середовищ).

30