ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 181
Скачиваний: 0
ТЕМА 11 СТАТИСТИЧНІ РОЗПОДІЛИ
§ 72 Функція розподілу ймовірності. Функції розподілу молекул за швидкостями Максвелла [4,8]
Розглянемо ряд питань з теорії ймовірності. Вони будуть нам потрібними при вивченні елементів статистичної фізики.
1 Нехай деяка величина x може набувати ряд дискретних значень: x1, x2 ,..., xi ,...
Якщо провести N вимірів величини x , то виявиться, що величина x набуває значення x1
N1 раз, значення x2 – N2 раз, |
…, значення xi – Ni |
раз і т.д. Зрозуміло, що |
||||
N = N1 + N2 +...+ Ni +... . Величина |
|
|
|
|
||
|
Pi = |
Ni |
|
за умови, що N → ∞ |
(72.1) |
|
N |
||||||
|
|
|
|
|
||
називається ймовірністю того, що величина x має значення xi .
Ймовірність має таку властивість
åPi = å |
Ni |
|
åNi |
|
N |
|
|
|
= |
i |
= |
=1 |
. |
(72.2) |
|||
|
|
N |
||||||
i i |
N N |
|
|
|
|
|||
Тут використали, що åNi = N . Таким чином, сума ймовірностей всіх можливих значень
i
величини x дорівнює одиниці. Про цю властивість говорять як про умову нормування.
2 Знайдемо, використовуючи |
поняття |
|
ймовірності, |
середнє |
значення величини x . |
||||||||
Згідно до визначення середнє значення |
|
< x > |
знаходимо як |
суму усіх результатів |
|||||||||
експериментів, що поділена на кількість експериментів |
|
|
|
|
|||||||||
|
åNi xi |
|
N |
x |
i |
|
æ |
N |
ö |
|
|
||
< x >= |
i |
= å |
|
i |
|
= åç |
|
i |
÷xi |
= åPi xi . |
|
||
N |
|
N |
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
i |
è |
N ø |
i |
|
|||||
Тут взяли до уваги, що величина xi під час вимірів з’являлася Ni раз. Таким чином, середнє значення величини x знаходимо за допомогою співвідношення
|
|
|
x = åPi xi |
. |
(72.3) |
Отримана нами формула дозволяє, знаючи ймовірності різних величин x , знайти середнє значення цієї величини.
Розглянемо деяку функцію F = F(x) , аргументом у якої є величина x . Будемо вважати, що ймовірність Pi того, що величина x набуде значення xi нам відома. Тоді
середнє значення функції F , як це отримано в теорії ймовірності, визначається за допомогою співвідношення
|
|
|
F = åPi F(xi ) |
. |
(72.4) |
Бачимо, що формули (72.3) та (72.4) подібні.
3 Тепер розглянемо випадок, коли величина x може набувати неперервний ряд значень від x = a до x = b (зокрема, a і b можуть дорівнювати − ∞ й + ∞ ). Прикладами таких величин можуть служити модуль поступальної швидкості або кінетична енергія молекули. У цьому випадку число можливих значень x нескінченно велике, а кількість молекул N хоча й дуже велика, але скінченна. Тому питання про те, яка кількість молекул має точно задане значення величини x не має змісту, ця кількість дорівнює нулю.
109
У розглянутому випадку правомірним є питання про те, яка ймовірність dPx того, що величина x має значення, які належать малому інтервалу [x, x + dx]. Зрозуміло, що при
малому dx ця ймовірність буде пропорційною dx . Крім того, вона повинна в загальному випадку залежати від того, у якому місці осі x розміщений цей інтервал, тобто є функцією
x . Таким чином, |
|
dPx = f (x)dx . |
(72.5) |
Тут індекс x біля dP вказує на значення x , біля якого розміщений інтервал шириною dx .
Функція f (x) , що входить у формулу (72.5), називається функцією розподілу ймовірності або густиною ймовірності .
Помноживши dPx на повне число молекул N , отримаємо кількість молекул dNx , що
мають значення x , яке знаходяться в межах інтервалу [x, x + dx]: |
|
|
||||||||||
|
|
dNx = NdPx = Nf (x)dx . |
|
|
|
(72.6) |
||||||
Інтеграл від dNx , узятий по всім можливим значенням |
x |
(тобто «сума» dNx ), повинен |
||||||||||
дорівнювати повному числу молекул N : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
òdNx = ò NdPx = ò Nf (x)dx = N . |
|
|
|
||||||||
Звідси випливає, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
òdPx = ò f (x)dx = 1 |
. |
|
|
|
|
(72.7) |
|||
Формула (72.7) є аналогом формули (72.2) і її також називають умовою нормування. |
||||||||||||
4 Вираз xdNx |
дає суму значень |
x , яку мають dNx |
молекул, а «сума» таких виразів, |
|||||||||
тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò xdNx |
= ò xNdPx = N ò xdPx , |
|
|
(72.8) |
|||||||
дає суму значень x |
всіх N молекул. |
Розділивши цю суму на N , |
отримаємо середнє (за |
|||||||||
всіма молекулами) значення величини x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x = ò xdPx = ò xf (x)dx |
. |
|
|
|
(72.9) |
|||||
Ця формула є аналогом формули (72.3). |
|
замість x |
|
|
|
функцію цієї величини F(x) , |
||||||
Підставивши |
у формулу (72.9) |
деяку |
||||||||||
прийдемо до формули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
F |
= òF(x) f (x)dx |
, |
|
|
|
(72.10) |
|||
яка дозволяє знайти середнє значення довільної функції |
F(x) |
за |
відомою густиною |
|||||||||
ймовірності f (x) . |
За допомогою цієї |
формули |
можна |
обчислити, |
наприклад, середнє |
|||||||
значення x2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
= ò x2 f (x)dx . |
|
|
|
(72.11) |
||||
5 Розглянемо ідеальний газ, який знаходиться у стані теплової рівноваги. Ми знаємо, що в цьому випадку молекули газу рухаються хаотично. Тобто різні молекули мають різні швидкості як за напрямком, так і за модулем. При цьому з часом через зіткнення ці швидкості змінюються. Поставимо перед собою задачу: описати розподіл молекул за швидкостями.
Для того, щоб розв’язати поставлену задачу скористаємося таким прийомом. Уведемо уявний простір швидкостей ( υ-простір), у якому будемо відкладати уздовж прямокутних
110
координатних осей значення компонент швидкостей ux , uy , uz окремих молекул (рис. 72.1).
Тоді кожній молекулі буде відповідати у просторі швидкостей точка.
Визначимо кількість молекул dNυx , компоненти швидкості ux яких лежать в інтервалі [ux , ux + dux ] . Зрозуміло, що dNυx буде залежати прямо пропорційно від загальної кількості молекул N . При малій dux ця кількість буде пропорційною ширині інтервалу dux .
Крім того, |
dNυx |
повинна в загальному випадку залежати і від величини швидкості |
ux . |
||||
Узагальнюючи сказане вище, можемо записати |
|
|
|||||
|
|
|
dNυx |
= N ×j(ux )×dux . |
(72.12) |
||
Як бачимо, шукану кількість визначає функція |
uz |
|
|||||
j = j(ux ) . |
Ця |
функція |
називається |
функцією |
|
||
dux |
|
||||||
розподілу молекул за компонентою швидкості ux . |
|
||||||
Не важко з’ясувати зміст цієї функції. Перетворимо |
duz |
||||||
вираз (72.12), використовуючи, що dNυx |
/ N = dPυx є |
||||||
|
|
||||||
ймовірністю того, що швидкість молекули |
duy |
uy |
|||||
знаходиться в інтервалі [ux , ux + dux ] |
|
||||||
|
dPυx = j(ux ) ×dux . |
(72.13) |
|
|
|||
|
|
|
|
ux |
|
|
|
Порівнюючи формулу (72.13) з (72.5), можемо |
|
|
|||||
стверджувати, що j(ux ) |
є густиною |
ймовірності |
Рисунок 72.1 |
|
|||
розподілу молекул за компонентою швидкості ux . |
|
||||||
|
|
||||||
Визначимо кількість молекул dNυ , модулі швидкості |
υ яких лежать в інтервалі |
||||||
[υ, υ + dυ]. Зрозуміло, що |
dNυ буде залежати прямо пропорційно від загальної кількості |
||||||
молекул N . При малій dυ ця кількість буде пропорційною ширині інтервалу dυ. Крім того,
dNυ повинна в загальному випадку залежати і від величини модуля |
швидкості υ. У |
||
результаті отримуємо |
|
||
|
|
|
|
|
dNυ = N × F(u)×du |
. |
(72.14) |
Формулу (72.14) визначає функція F = F(υ) , яка називається функцією розподілу молекул
за абсолютними значеннями швидкостей υ. Як і в попередньому випадку, неважко показати, що ця функція є густиною ймовірності розподілу молекул за абсолютними значеннями швидкостей молекул υ.
|
Визначимо кількість молекул |
dNυx ,υ y ,υz , компоненти швидкостей |
ux , uy , uz яких |
|||
лежать в інтервалах [ux , ux + dux ] , |
[uy , uy + duy ], [uz , uz + duz ] . Зрозуміло, що dNυx ,υ y ,υz |
|||||
буде |
залежати прямо пропорційно |
від загальної кількості молекул |
N . При малих |
|||
dux , |
duy , duz ця кількість буде пропорційною об’єму у просторі швидкостей dux × duy ×duz |
|||||
(див. рис. 72.1). Крім того, |
dNυx ,υ y ,υz |
повинна в загальному випадку залежати і від значень |
||||
компонент швидкостей ux , |
uy , uz . Таким чином, отримуємо |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
dNυx ,υ y ,υz = N × f (ux ,uy , uz )×duxduyduz |
. |
(72.15) |
||
Формулу (72.15) визначає |
функція |
f (ux , uy , uz ) , яка називається функцією розподілу |
||||
молекул за компонентами швидкостей ux , uy , uz . Ця функція є густиною ймовірності розподілу молекул за компонентами швидкостей молекул ux , uy , uz .
111
Таким чином, задача опису молекул газу у стані теплової рівноваги зводиться до пошуку функцій j = j(ux ) , F = F(υ) , f (ux , uy , uz ) , які називаються функціями розподілу
молекул за швидкостями.
6 Вигляд функцій j = j(ux ) , F = F(υ) , f (ux , uy , uz ) було встановлено Максвеллом.
Для цього він використав рівноправність усіх напрямків руху та незалежність швидкостей ux , uy , uz . У результаті розрахунків було отримано
|
|
|
|
æ m ö1/ 2 |
|
|
|
æ |
|
mu2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
j(ux ) = ç |
|
÷ |
expç |
- |
2kT |
÷ |
, |
|
|
|
|
(72.16) |
|||||||||
|
|
|
|
è 2pkT |
ø |
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
æ m ö3/ 2 |
æ |
|
|
mu2 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F(u) = ç |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
÷ |
|
expç |
- |
|
|
÷ |
×4pu |
|
, |
|
|
(72.17) |
||||||||||
|
è |
2pkT ø |
|
|
è |
|
|
2kT ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
æ m |
ö3 / 2 |
|
æ |
|
|
m(u2x + u2y |
+ u2z ) ö |
|
|
|||||||||||
f (ux , uy ,uz ) = |
ç |
|
|
|
÷ |
expç |
- |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
. |
(72.18) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
||||||||||||||||
|
|
|
è 2pkT |
ø |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
||
Формули (72.16)–(72.18) називаються Максвеллівським розподілом молекул ідеального газу за швидкостями. У цих формулах m – маса однієї молекули газу; k – стала Больцмана; T – абсолютна температура.
§ 73 Середні швидкості молекул. Число ударів молекул об одиничну поверхню за одиницю часу [8]
Визначимо величини, які характеризують ідеальний газ, за допомогою розподілу Максвелла.
1 Знайдемо середнє значення модуля швидкості < υ > . Для цього використаємо розподіл Максвелла за абсолютними значеннями швидкості (модулям швидкості) молекул
æ |
m |
ö3 / 2 |
æ |
|
mu2 ö |
|
|
|
F(u) = ç |
|
÷ |
expç |
- |
|
÷ |
×4pu2 . |
(73.1) |
|
|
|||||||
è 2pkT ø |
ç |
|
2kT |
÷ |
|
|
||
è |
|
ø |
|
|
||||
У цій формулі m – маса однієї молекули газу; k – стала Больцмана; T – абсолютна температура. Як відомо, функція F(υ) є густиною ймовірності розподілу молекул за
абсолютними значеннями швидкостей. Тому для знаходження середнього значення швидкості < υ > застосуємо відоме у теорії ймовірності співвідношення
∞ |
|
< u >= òuF(u)du . |
(73.2) |
0 |
|
В інтегралі (73.2) проводимо інтегрування (підсумовування) за усіма можливими значеннями модуля швидкості, тобто від нуля до нескінченності. Далі підставляємо в (73.2) розподіл F(υ) у явному вигляді і отримуємо
∞ æ m ö3 / 2 |
æ |
|
mu2 ö |
|
æ |
|
m ö3 / 2 ∞ |
æ |
|
mu2 ö |
|
1 |
|
|
|
|||||||||
< u >= òuç |
|
|
ç |
- |
|
÷ |
2 |
du = ç |
|
|
|
|
|
|
ç |
- |
|
÷ |
2 |
|
d(u |
2 |
) = |
|
÷ |
expç |
|
÷ × 4pu |
|
|
|
÷ × 4pòexpç |
2kT |
÷u |
|
2 |
|
||||||||||||
0 è |
2pkT ø |
è |
|
2kT ø |
|
è |
2pkT ø |
|
0 |
è |
|
ø |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
æ |
m ö3 / 2 |
∞ |
æ |
|
m ×u |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= ç |
|
÷ |
×2pòexpç |
- |
|
|
÷ |
×u ×du . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(73.3) |
||||
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
è |
2pkT ø |
|
0 |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут провели заміну змінних u = u2 . Щоб знайти отриманий інтеграл продиференціюємо відомий інтеграл (праву і ліву частини рівності)
112