Файл: [3] Проценко І.Ю., Шумакова Н.І., Овчаренко Ю.М. Фізика твердого тіла Навчальний посібник. – Суми Видавництво.pdf

а – вільні атоми; б – зниження висоти потенціального бар’єру, утворення енергетичних зон

a+b один від одного і розділених областями з нульовим потенціалом шириною a (рис.1.7). Висота кожного бар’єра U0.

Рівняння руху електрона в такому кристалі також описується рівнянням Шредінгера

Рисунок 1.7 – Модель Кроніга-Пенні для одновимірного кристала

Розв’язок (1.2) запишемо так:

Область 2 (0≤х≤b):

Область 3 (a + b ≤ x ≤ a + 2b) фізично еквівалентна області 2 і

тому для обчислення Ψ3 (x) необхідно скористатися теоремою Блоха, згідно з якою хвильова функція, як і періодичний потенціал задовольняють умови періодичності:

λ – довжина хвилі де Бройля для електрона).

Для обчислення сталих інтегрування A, B, C i D необхідно скористатися граничними умовами:

Ψ1 (0) = Ψ2 (0), Ψ1' (0) = Ψ'2 (0), Ψ1 (a + b) = Ψ3 (a + b), Ψ1' (a + b) = Ψ3' (a + b).

Після цього ми одержуємо таку систему рівнянь:

A+B=C+D, iαA-iαB=-βC+βD,

Aeiα(a+b) + Be−iα(a+b) = Ceiк(a+b)eβ(a+b) + Deiк(a+b)eβ(a+b) ,

iαAeiα(a+b) − iαBe−iα(a+b) = −Ceiк(a+b)βeβ(a+b) +βDeiк(a+b)eβ(a+b) .

Її можна записати так:

де a11 =1, x1 = A1, a12 =1, a13 = a14 = −1 і т.д.

Якщо визначник системи (1.7) ∆≠0, то x1=x2=x3=x4=0. Очевидно, що у загальному випадку ∆=0 і постійні A, B, C i D ≠ 0.

Після розкриття матриці четвертого порядку одержуємо:

Проаналізуємо співвідношення (1.8) для випадку, коли сила потенціального бар’єра S=bU0=const, тобто якщо U0→∞, то b→0 із однаковими темпами. Оскільки ε=const, то

β 1h 2mU0

Проведемо оцінку β b:

При малих значеннях βb·ch(βb) 1, a sh(βb) βb.

Якщо врахувати, що λ<<β, b→0, a>>b і λ2<<β2, то співвідношення (1.8) перепишеться так:

кожному значенню хвильового числа k відповідає декілька значень енер-

αa = a 2mε

гії, оскільки h .

Якщо розглядати всю сукупність електронів, то спектр їх хвильових чисел забезпечує межі змінювання coska від –1 до 1.