Файл: [3] Проценко І.Ю., Шумакова Н.І., Овчаренко Ю.М. Фізика твердого тіла Навчальний посібник. – Суми Видавництво.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.03.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
Відповідь: ωmax 2,75·1013 c-1.
Задача 4
Для нагрівання срібла масою m=10 г від T1=10 K до T2=20 K було витрачено ∆Q=0,71 Дж тепла. Визначити характеристичну температуру θD Дебая срібла. Вважати T<<θD.
Розв’язання
Частота Дебая зв’язана з температурою Дебая θD співвідношенням
ωmax = kθD
h .
Відповідно до теорії теплоємності Дебая кристалів в області низьких температур T<<θD
|
|
|
|
12π |
4 |
|
|
|
T |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Cµ = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
m |
T2 |
12π |
4 |
m |
|
|
T |
|
3 |
|
|
|
3π |
4 |
|
4 |
4 |
) |
|
|
∆Q = ∫ |
CµdT = ∫ |
|
|
|
|
|
|
dT = |
|
Rm(T2 |
− T1 |
, |
|||||||||
µ |
5µ |
R |
|
|
|
|
|
|
5µθ |
3 |
|
|
|
||||||||
T |
T |
|
|
|
θD |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де µ=107,9·10-3 кг/моль – молярна маса срібла, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
звідки знаходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θD = 3 |
3 314,4 8,31 20 10−3 (204 |
−104 ) |
267 |
|
|
|
|||||||||||||||
5 107,9 10−3 0,71 |
|
|
|
(К). |
|
|
|||||||||||||||
Відповідь: θD 267 К.
Задача 5
Період d решітки одновимірного кристала дорівнює 0,3 нм. Знайти максимальну енергію εmax фононів, якщо усереднена швидкість звуку в кристалі v=5 км/с.
Розв’язання
Максимальна енергія фонона визначається формулою
εmax = hνmax = λhv min ,
де νmax – максимально можлива частота коливань у кристалі; λmin – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі (див. рис.2.1).
|
|
|
λmin=2d, |
ε |
|
= hv |
|
|
|
|
|
max |
|
2d ; |
|
ε |
|
= |
6,63 10−34 5 103 |
|
55, 10−21 |
||
max |
2 3 10−10 |
|
|
||||
|
|
|
|
(Дж). |
|||
Відповідь: εmax 5,5·19-21 Дж.
Задача 6
Визначити усереднену швидкість v звуку в кристалі, характеристична температура θD якого 300 К. Міжатомна відстань d у кристалі дорівнює 0,25 нм.
Розв’язання
Відповідно до формули (2.6)
θ |
D |
= |
hωmax |
= |
hv |
|
|
|
k |
|
kλmin , |
||
|
|
|
|
|||
де ωmax – максимально можлива частота коливань у кристалі; λmin=2d – мінімальна довжина хвилі, яка може реалізуватись у кристалі (див.
рис.2.1).
Таким чином,
|
v = 2kθDd |
||
|
h |
, |
|
v = |
2 138, 10−23 2,5 10−10 |
300 |
3167 |
6,63 10−34 |
|
||
|
|
(м/с). |
|
Відповідь: v 3167 м/с.
Задача 7
Скільки вільних електронів припадає на один атом натрію при температурі Т=0 К. Енергія Фермі εf для натрію дорівнює 3,12 еВ. Густина натрію ρ=970 кг/м3.
Розв’язання
Кількість електронів dN в елементі фазового простору dГ=V·4πp2dp, де V – об’єм кристала; p – імпульс електрона
dN = 2 dhГ3 < n >,
де 2 означає кратність виродження енергетичних рівнів;
< n >= ε−ε1 |
|
f |
+1 – функція розподілу Фермі-Дірака. |
e kT |
У нашому випадку при Т=0 К <n>=1, тоді
dN = |
8πVp2dp |
|
|
h3 . |
|||
|
|||
Якщо врахувати, що
ε = p2 |
, p = |
2m |
ε, dp = |
m dε |
||
2m |
|
|
|
|
2ε |
, |
де m – маса електрона, то |
|
|
|
|
|
|
dN = 8πV2mε |
m dε |
= |
8 2πVm3/2 |
ε1/2dε |
||
h3 |
|
2ε |
|
h3 |
|
. |
При абсолютному нулі температури максимальна енергія електронів у металі дорівнює енергії Фермі. Враховуючи це, одержуємо концентрацію електронів у металі
|
N |
εf 8 2πm3 / 2 |
|
16 2πm3 / 2 |
(εf )3 / 2 . |
||||
n = |
V |
= ∫ |
h |
3 |
ε1/ 2dε = |
3h |
3 |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
Концентрація атомів |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
na = |
ρNA |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
де µ=63,5·10-3 кг/моль – молярна маса речовини кристала. Таким чином, маємо кінцеву формулу
|
|
n =16 2πm3/2µ |
(ε |
|
)3/2 |
||
|
|
na |
3h3 NA ρ |
|
|
f |
, |
n |
= |
16 2 314, (91, 10−31)3/2 |
63,5 10 |
−3 |
(16, 10−19 )3/2 0,9 |
||
na |
|
3 (6,63 10−34 )3 6,02 1023 970 |
|
|
|
. |
|
Відповідь: n/na 0,9.
Задача 8
Знаючи функцію розподілу
dn(ε) = |
8 2πm3 / 2 |
|
ε1/ 2dε |
||
h3 |
ε−εf |
|
|
||
|
e kT |
+1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
електронів у металі за енергіями, знайти розподіл dn(p) за імпульсами: 1) при довільній температурі Т; 2) при температурі Т=0 К.
Розв’язання
1) Для переходу від розподілу за енергіями до розподілу за імпульсами скористаємося зв’язком між енергією та імпульсом
|
|
|
|
|
|
|
ε = |
p2 |
; dε = pdp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn(p) = |
|
8 2πm3/ 2 |
|
|
|
p2 |
1/ 2 |
pdp |
= |
|
|
8πp2dp |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
2m |
m |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
−εf |
|
|
|
|
|
|
|
|
−εf |
|||||||||||
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
h |
3 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
h |
3 |
|
|
2m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
e kT |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e kT |
+1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
2) Якщо температура кристала Т=0 К, то
dn(p) = |
8πp2dp |
|
h3 , |
оскільки функція розподілу Фермі-Дірака у цьому випадку дорівнює одиниці.