Файл: Некоторые теоремы разрешимости нелинейных уравнений второго рода и их приложения к уравнениям с сингулярными интегралами.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.03.2024
Просмотров: 19
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
- единичная окружность с центром в точке (0,0). В следующем пункте 2 доказывается, что 
– положительный оператор.
На единичной окружности функцию из
всегда можно разложить в ряд
Но если подставить
в оператор , мы получим
Значит
для любых
из
. Если в правой части взять 
при любом натуральном 
, то уравнение (I) не имеет решения ни в каком известном пространстве.
Этот пример говорит и о необходимости существенных дополнительных ограничений на операторы или 
при доказательстве гипотетического утверждения теоремы 3 работы [1].
Эти авторы так и поступили при доказательстве соответствующих утверждений в работах [3], [4].
Рассмотрим теперь уравнение (II).
Теорема 1.2. Пусть оператор удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, оператор 
- линейный ограниченный в любом 
, положительный, кроме того
Тогда уравнение (II) имеет решение в
.
Если, кроме того, хотя бы один из операторов или 
строго монотонен, то это решение единственное в .
Для доказательства строятся уравнения
Первое и третье слагаемые действуют из в 
, 
, являются непрерывными множествами, и их сумма является коэрцитивной в . Оператор положительный в том смысле, что 
при любом 
Берем общий для и базис 
и составим подпространства из многочленов 
, 
. В этих подпространствах нормы эквивалентны и оператор 
коэрцитивный как оператор из в . Значит уравнение 
имеет решение 
в каждом 
, имеющий такой смысл, что
Из коэрцитивности
следует равномерная ограниченность множества 
в . Используя монотонность мы получим существование слабого предела 
подпоследовательности из , которая является решением 
. Но поскольку первое и третье слагаемые в принадлежат , то и 
.
Из тождества
и положительности следует ограниченность множества 
числом 
.
Используя условия (1) и (2) получается
С учетом
, ограниченности первого слагаемого в неравенстве, 
, мы получаем равномерную ограниченность 
. Значит из 
можно выделить подпоследовательность 
такую, что 
,
, 
сходятся слабо к 
, 
, 
соответственно. Первое слагаемое в сходится к нулю по норме в . Пользуясь монотонностью 
, мы получим 
, причем, 
, 
. Значит, является решением уравнения (II).
Единственность решения доказывается как в предыдущей теореме.
Замечание 1.2. Если
, то решение уравнения существует в при тех же условиях теоремы 2.
Теорема 1.3. Пусть функция
удовлетворяет неравенствам
Пусть далее
– линейный непрерывный и положительный оператор при 
. Тогда уравнение (II) имеет решение в 
.
Доказательство. В случае
оператор 
непрерывный, монотонный в , а из левой части (3) следует его коэрцитивность в . Значит, уравнение имеет решение в .
При
строим такую “срезку” 
функции , чтобы
с сохранением монотонности
по 
. Возможность такого построения 
геометрически очевидна. В достаточно большом круге 
функции и совпадают, а дальше строятся так, чтобы сохранить непрерывность и монотонность по z, конечно 
.
При каждом фиксированном
доказательство существования мы уже отметили, ибо . Значит, мы имеем последовательность 
такую, что
Из положительности и из (3) следует, что
и что последовательность
– положительный оператор.На единичной окружности функцию из
всегда можно разложить в ряд Но если подставить
в оператор , мы получим Значит
для любых
из . Если в правой части взять при любом натуральном , то уравнение (I) не имеет решения ни в каком известном пространстве.Этот пример говорит и о необходимости существенных дополнительных ограничений на операторы
или при доказательстве гипотетического утверждения теоремы 3 работы [1].Эти авторы так и поступили при доказательстве соответствующих утверждений в работах [3], [4].
Рассмотрим теперь уравнение (II).
Теорема 1.2. Пусть оператор
удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, оператор - линейный ограниченный в любом , положительный, кроме того Тогда уравнение (II) имеет решение в
.
Если, кроме того, хотя бы один из операторов
или строго монотонен, то это решение единственное в . Для доказательства строятся уравнения
Первое и третье слагаемые действуют из
в , , являются непрерывными множествами, и их сумма является коэрцитивной в . Оператор положительный в том смысле, что при любом Берем общий для
и базис и составим подпространства из многочленов , . В этих подпространствах нормы эквивалентны и оператор коэрцитивный как оператор из в . Значит уравнение имеет решение в каждом
, имеющий такой смысл, что
Из коэрцитивности
следует равномерная ограниченность множества в . Используя монотонность мы получим существование слабого предела подпоследовательности из , которая является решением . Но поскольку первое и третье слагаемые в принадлежат , то и . Из тождества
и положительности следует ограниченность множества числом . Используя условия (1) и (2) получается
С учетом
, ограниченности первого слагаемого в неравенстве, , мы получаем равномерную ограниченность . Значит из можно выделить подпоследовательность такую, что
,
, сходятся слабо к , , соответственно. Первое слагаемое в сходится к нулю по норме в . Пользуясь монотонностью , мы получим , причем, , . Значит, является решением уравнения (II). Единственность решения доказывается как в предыдущей теореме.
Замечание 1.2. Если
, то решение уравнения существует в при тех же условиях теоремы 2.Теорема 1.3. Пусть функция
удовлетворяет неравенствам Пусть далее
– линейный непрерывный и положительный оператор при . Тогда уравнение (II) имеет решение в .Доказательство. В случае
оператор
непрерывный, монотонный в
, а из левой части (3) следует его коэрцитивность в . Значит, уравнение имеет решение в .При
строим такую “срезку” функции , чтобы с сохранением монотонности
по . Возможность такого построения геометрически очевидна. В достаточно большом круге функции и совпадают, а дальше строятся так, чтобы сохранить непрерывность и монотонность по z, конечно .При каждом фиксированном
доказательство существования мы уже отметили, ибо . Значит, мы имеем последовательность такую, что Из положительности
и из (3) следует, что и что последовательность
