равномерно ограничена в .

Из (3) также следует, что последовательность ограничена в , . Значит, существует подпоследовательность , , , которая слабо сходятся в пространстве к , , и



Из построения следует, что стремится к по норме в . Значит, есть слабый предел .

Используя монотонность , получим, что , т. е. что есть решение уравнения из .

Замечание 1.3. Единственность решения, как и в предыдущей теореме, следует, если

---

или строго монотонны по .

Следствие 1. 3. Если для существует обратная функция

,

которая удовлетворяет условиям теоремы 1.3, то уравнение (I) сводится к (II) и уравнение (I) имеет решение в соответствующем .
2. Применение к нелинейным уравнениям с сингулярными интегралами
Обозначим через линейные сингулярные интеграль-ные операторы

,

,

где γ - единичная окружность на комплексной плоскости, функция , принадлежит и симметрична относительно своих аргументов.

Лемма 2.1. Операторы ограничены и положительны при и



Положительность оператора получается непосредственно из разложения

---

Для оператора непосредственно имеем



откуда следует, что



Ограниченность операторов известна из классической теоремы Рисса (см., напр., [7]). Ограниченность снизу прямо следует из



которое получается непосредственно, разлагая в ряд Лорана на единичной окружности .

Замечание 2.1. Некоторая формула обратимости имеет место и для оператора при , а именно



Это обращение следует из



Оператор удовлетворяет всем условиям, накладываемым на оператор в теоремах предыдущего параграфа. Поэтому теоремы 1.1 – 1.3 останутся справедливыми, если в них оператор заменить на . Только оператор не является строго монотонным, поэтому для получения единственности строгая монотонность накладывается на функцию .

Поскольку оператор

---

самообратим, то теоремы 1.1 - 1.3 применимы и для уравнения (I).

Оператор в общем случае не ограничен в снизу, поэтому в теореме 1.2 нельзя заменить на . Но если взять , то такой ограничен снизу в некотором подпространстве Функция из принадлежит , если имеет место

,

т.е. при разложении в тригонометрический ряд .

Поскольку правая часть g уравнения (I) можно полагать , то уравнение (I) при можно исследовать в таких подпространствах. Сопряжённым для в тоже является ( ), поэтому в теореме 1.2 можно считать .

Применять теоремы 1.1-1.3 можно и к линейным сингулярным операторам. Но такие операторы обычно изучаются в пространствах действительных функций и для них получены более «хорошие» результаты.
ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Brézis H., Browder F.E. Some new result about Hammerstein equations. //Bull. Amer. Math. Sosiety. 1974. V. 80. P. 567-572.
   
2. 
   Brézis H., Browder F.E. Nonlinear integral equations and systems of Hammerstein type. //Advances in Mathematics. 1975. V.18. P. 115-147.
   
3. 
   Brézis H., Browder F.E. Maximal monotone operators in nonreflexive Banach spaces and nonlinear integral equations of Hammerstein type. //Bull. Amer. Math. Sosiety. 1975, V. 81. P. 82-88.
   
4. 
   Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. -М.: Наука. 1972, –416 с.
   
5. 
   Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Теоремы разрешимости нелинейных уравнений второго рода и некоторые приложения. // Доклады AH СССР. 1983. Т.270. №5. С.1051-1053.
   
6. 
   Магомедов Г.М., Ханикалов Х.Б. Исследование некоторых нелинейных уравнений второго рода с сингулярными интегралами. // Вестник ДГУ. 1999. Вып. 1. С.59-64.
   
7. 
   Ханикалов Х.Б. Об одном подходе к исследованию уравнений типа Гаммерштейна. // Актуальные проблемы математики и смежные вопросы ( труды межвузовского семинара), Махачкала, ФГБОУ ВПО «ДГТУ», 2015.
   

---

С. 88-92.

8. 
   Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука. 1963. –624 с.
   

---

Смотрите также файлы

• По профилю специальности пм. 01. Организация мероприятий, направленных на укрепление здоровья ребенка и его физического развития.docx

• Первообразная.docx

• Задержание последа.doc

• Контрольная работа по дисциплине Антикризисное управление Вариант 5 Обучающийся группы 9574 Закирова А. Р.docx

• Тепловая электрическая станция (тэс).docx