Файл: Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

52

Алгебра

 

 

частью. Два

комплексных числа а + bi,

а — Ы,

отличаю­

щиеся лишь знаком мнимой

части, называются сопряжен-

ными,

 

считаются

равными

между

Два комплексных числа

собою, если отдельно равны вещественные части и отдель­

но равны коэффициенты при г, так,

если а +

Ы — с 4- di,

то а •— с; b =

d. Отсюда следует,

что

комплексное

число

равняется нулю тогда, когда равны

нулю его

веществен­

ная часть

и

коэффициент

при г. Так,

если

х -+- yi = О,

то х =

 

О и у =

0. Вещественные

и мнимые

числа являют­

ся

частными

 

случаями

чисел

комплексных.

Так,

если

6 = 0,

то получим вещественное число

а;

если

а = 0, то

получим мнимое число Ы.

комплексными

числами.

Действи

 

д)

 

Действия■над

над комплексными числами

производятся

 

по тем же пра­

вилам, что и над алгебраическими двучленами.

 

 

 

 

 

 

27.

 

Сложение комплексных чисел

 

 

+

Возьмем два комплексных числа: т =

а +

Ы, п = с +

di.

Находим

их

сумму: т +

п — а + Ы +

с -f di =

=

(а +

 

с) +

(6 +

d) i,

т. е. сумма

есть

число комплексное.

 

 

 

 

28.

Вычитание комплексных чисел

 

 

 

Пусть т =

 

а + Ы\

п =

с +

di.

 

Находим

разность:

т — п = а +

Ы — c — di =

(а — с) + (6 — d)i,

т. е.

раз­

ность есть

число комплексное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

 

Умножение комплексных чисел

 

 

 

Перемножим

два

комплексных

числа:

т = а + Ы,

п = с +

di.

Находим: тп =

(а +

Ы) (с +

di) =

ас +

cbi +

+

adi +

bdi2 =

(ас — bd) +

(cb +

ad) i,

 

т.

e.

 

произведе­

 

 

Алгебра

 

53

ние есть число комплексное.

Перемножим

два сопряжен­

ных

комплексных

числа

а +

Ы и а — Ы,

находим:

(а +

Ы) (а — Ы) =

а" — (Ы)2 =

а2 — б2/2 =

а2 +

62, т. е.

произведение двух сопряженных

комплексных чисел есть

число вещественное и положительное.

 

 

30. Деление комплексных чисел

Найдем частное двух комплексных чисел т — а + Ы и

та-{-Ы (а + Ы ) ( с — di)

п = с + dt; — = c + di = (c + d iy (с — d i ) ~

 

ас + bci — adi — bdi2

(ас + bd) + (be — ad) i

 

=

W + d?

=

c2 + d2

=

 

 

ас + bd

_ be — ad

 

 

= ca + d 2 + c2 + d2 г*

 

т. e. частное есть число комплексное.

31. Геометрическое представление комплексного числа

Возьмем прямую MN и на ней определенную точку О.

В О

А

N

--------/— / _ / _ / -----

/--- /--- /--- /-------

Точки, соответствующие положительным числам, рас­ положены на прямой направо от точки О; точки же, соот­

54

 

 

 

 

 

Алгебра

 

 

 

 

 

 

ветствующие'

отрицательным

числам,

расположены

нале­

во от точки О. Так,

чтобы

найти на

этой прямой точку,

соответствующую

числу 4,

откладываем

направо от точ­

ки О 4 раза

отрезок,

принятый

за

 

единицу

Точка А и

будет

являться

изображением

числа

4.

Как

видно

из

чертежа,

точка

В

соответствует

числу — 3.

Пря­

мая

 

MN

называется

числовой

осью.

Аналогично

этому

можно показать,

что

всякому

комплексному числу

а +

Ы соответствует

определенная

точка плоскости.

Для

этого возьмем

две взаимно

перпендикулярные

прямые Ох

и Оу,

называемые осями.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть а и Ь положительны. На оси Ох от точки О откладываем отрезок ОА, численно равный а; из точки А перпендикулярно к оси Ох проводим отрезок AM, чис­ ленно равный Ъ. Точка М и является изображением комплексного числа а + Ы.

Алгебра

55

32. Тригонометрическая

форма комплексного числа

Число, выражающее

длину отрезка

ОМ, обо­

значается через г; число г, называется модулем

комплексного

числа

а + bi.

Как видно из чертежа,

г = У а2+ ft2.

Угол

хОМ

обозначается через ?; этот

. угол отсчитывается

от

оси

Ох против часовой стрелки;

угол (р называется аргументом или амплитудой комплекс­

ного числа. Из

чертежа

определяем а и ft:

 

 

 

 

a=rcos<p, 6 =

г sin?.

 

(1)

Отсюда:

 

 

 

 

 

 

а +

Ы =

г cos ? -(- ri sin ? =

г (cos ? +

i sin ?).

• (2)

Выражение (2) и есть

тригонометрическая форма комп­

лексного

числа.

от

алгебраической формы а +

Ы к

Чтобы

перейти

тригонометрической,

надо по заданным а

и ft определить

г и ?. Имеем: г — Y а2 4- Ь2; из формул (1) находим:

а

Ъ

(3)

cos ? = — ; sin ? — — .

Из формул (3) определяем

?; к ?

можно прибавить

2fcc, где k — целое число.

П р и м е р ы : Представить в тригонометрической форме числа:

4 + 4/, 1, L

1) 4 + 4 i \ r = Y 1 6 + 16 = 4 Т / Т ;

' “ ’ “ T jh r

56

 

 

 

 

Алгебра

 

 

 

 

 

 

откуда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

те

; 4 +

 

 

,—

 

(

 

те

 

 

те

\

 

? = —

Ai = 4 J /T ^

cos —

 

+ i sin —

J.

 

2) 1;

1 =

1 +

Oi;

r =

] A T + 0 =

1; cos 9 =

- j - =

1;

 

 

 

 

 

sin cp =

•

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—j—— 0,

 

 

 

 

 

откуда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 =

0 +

2йте;

1 =

1

(cos

2йте +

i sin 2kiz).

 

 

3)

i; i = 0 +

i;

r —

,_____

1 =

1; cos 9 =

0

=

0;

Y

0 +

—

 

 

 

 

 

sin ? =

 

1

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

 

 

 

 

откуда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<р =

те

 

t = 1

(

т

е

~+

i

те

\

 

 

 

-rf-;

I

cos ~2

sin - у

I.

 

 

33.Действия над комплексными числами, выраженными

втригонометрической форме1

1.

Умножение. Даны

числа: т — rx (cos 91 +

Lsin 9^,

п — r2 (cos 92 + i sin 92).

Перемножим их:

 

т н =

ггг 2(cos 9 j cos 92 +

i sin 9 j cos 92 + i cos 9 t sin 9a +

+

г2 sin 9 X sin 92) = rtr2 [cos 92 cos 9» — sin 9X sin 9» +

+ i (sin 9Xcos 92 +

cos 9t sin 92)] = rxr2[cos (<pi +

92) +

 

+

i sin (9x + 92)]-

 

Смотрите также файлы