Файл: Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Алгебра

 

57

вообще:

 

 

 

гу (cos ?! + / sin tfi) r2(cos ? 2 +

i sin <p2)-- rn (cos ?n +

+ i sin <p„) =

ГуГ2 ... r„ [cos (?! + 92+

- + ?n) +

+

' sin (9x + 92 +

... ?„)].

(4)

т. e. при перемножении нескольких комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

2) Возвышение в степень. При возвышении комплекс­ ного числа в степень воспользуемся формулой (4):

 

 

 

П

 

П

 

[г (cos 9 + i

sin 9)]л =

гг ...’г [cos (9 +

9 +

- + 9) +

 

 

 

 

п

 

 

 

+

i sin (9 +

9 + ... +

9)] = rn (cos n? +

l sin n?).

(5)

3)

Формула

Моавра.

Положив в

формуле. (5) r =

1,

получим формулу Моавра:

 

 

 

 

(cos 9 + / sin 9)" = cos л 9 +

i sin n 9.

(6)

При' помощи формулы Моавра легко получить выра жения синусов и косинусов кратных углов. Для примера найдем cos 3 9 и sin 3 9. Положив в формуле (6) п = 3, получим:

(cos 9 + г sin 9)3 = cos3 9 +

3 cos3 9 - i sin 9 —

 

— 3 cos 9 sin39 — l sin3 9 =

cos 3 9 + i sin 3 9.

(7)

58

Алгебра

Приравняв в

равенстве

(7) отдельно вещественные

части н коэффициенты при i,

получим:

cos 3 <р = cos3<р — 3 cos <р sin2tp,

sin 3 tp = 3 cos2tp sin ip — sin3 <p.

4) Деление. Исходя из правила умножения, получим

т

rx (cos tpt +

i sin уг)У*

n

~ r3(cos <f2 +

i sin ic,)

COS (if! — If,) + i sin (if! — tp2) .

'г

5) Извлечение корня. Положим, что:

>/ г (cos <f +

i sin if) = R

(cos ф

i sin ф).

 

Возвышаем обе

части

этого

равенства в п-ю

сте­

пень:

 

 

 

 

 

г (cos if -f i sin if) =

Rn (cos n ф +

/ sin n ф).

(8)

У равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на 2kx, где k — целое число.

Следовательно:

Rn = г, лф = ip + 2Атс,

откуда:

л

ip + 2kx

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебра

 

 

 

 

59

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У r cos <р+

i sin <р =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п , ----------- Г

ф +

 

2 f e j c

+ t

tp +

2 A n

l

(9>

 

 

 

= V

г

[

cos- —- —

s i

n

-----J-

А =

Для

получения л

различных

значений

корня

полагаем,

0,

1,

2, ... л — 1.

При

помощи формулы (9)

легко ре­

шаются

двучленные уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р : Решить уравнение

ж3 — 5 = 0 .

 

 

 

Находим: х3=

5;

х =

У

5

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 = 5

(cos 2 fen +

i sin 2kny,

 

 

 

x =

У

5

=

|/ 5

(cos 2 foe -j- t sin 2 An) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗЛ-=- (

 

 

2An

 

 

2&rc

\

 

 

 

 

 

 

= у 5

 

I

cos — g— +

l sin — g— I ;

k =

0, 1,

2;

жх =

 

3/-----/

I

 

0

 

 

 

0

\

 

 

 

у

5

cos - g - + i

sin -g-1 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

У

5

(cos

0 -J- i

sin 0) =

У~ -5}

 

 

 

 

 

2it

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- g - - M

S in -y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ m 2 Г

V 5

( _ l + </ 3 );

 

 

 

 

 

 

 

 

2

60

 

Алгебра

 

з ____ /

4я

4л

5

х3 = у 5 I

cos -g - +

i sin -g - =

—g— ( _ i _ гу т г ) .

34. Арифметическая прогрессия

Арифметическая (или разностная) прогрессия есть последовательность чисел (аг, аъ а3,...), в которой раз­ ность (d) любых двух последовательных чисел («после­ дующее» минус «предыдущее») есть величина постоянная; эта величина называется разностью прогрессии.

Н а п р и м е р : 2, 5, 8, 11, . . . (разность

d

— 3),

числа

возрастают, прогрессия возрастающая; 10,

6,

2, —

2, . . .

(разность d = — 4), числа убывают, прогрессия убывающая.

35. Формулы арифметической прогрессии'

Для определения любого (я-го) члена прогрессии по заданному ее первому члену (%) и ее разности (d) имеем формулу:

а„ = ах + d (п — 1).

Сумма всех членов арифметической прогрессии под­ ряд от 1-го до л-го члена определяется формулой:

(а1 + а„) • я Sп -- 2

Алгебра

61

т. е. сумма п первых членов прогрессии равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на п.

36. Геометрическая прогрессия

Геометртеская (или кратная) прогрессия есть по­ следовательность чисел (av аъ а3 ,. ..), в которой отно­ шение (q) любых двух последовательных чисел («после­ дующее», деленное на «предыдущее») есть величина по­ стоянная; эта величина q называется знаменателем про­ грессии.

Н а п р и м е р : -2, 6, 18, 54, ...(знаменатель q = 3), числа возрастают, прогрессия возрастающая; 12, 6, 3, 11/ 2, . ..

(знаменатель q = 1/2), числа убывают, прогрессия убы­ вающая.

37. Формулы геометрической прогрессии

Для определения любого (п-го) члена прогрессии по заданному ее первому члену (аг) и ее знаменателю (q) имеем формулу;

 

ап =

°i • Яп~ 1-

 

Сумма всех

членов геометрической

прогрессии под­

ряд от 1-го до п-то члена определяется

формулой:

S n — %(<?"— 1)

(Эту формулу удобно применять,

если прогрессия возрастающая).

или формулой:

q — 1

 

 

 

(Эту формулу удобно применять,

 

gi(i — g")

s n =

1 — 0

если прогрессия убывающая).

•

 

62

Алгебра

38. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если в убывающей геометрической прогрессии не огра­ ничиваться несколькими членами, а представлять себе число членов все время увеличивающимся, то величина этих членов будет приближаться к нулю.

Н а п р и м е р : 1

1

1

1

1

(знамена-

. - у

. у

, - у

. -у у , .

1

тель q — - у ) или 0,3; 0,03; 0,003;.. . (знаменатель <7= 0,1).

Такая прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

39. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Замечательное, важное свойство бесконечно убывающей геометрической прогрессии: сумма ее членов от 1-го до л-го при безграничном увеличении числа членов (л) не растет беспредельно,, а приближается к определенной «пре­ дельной» величине. Этот предел называется суммой беско­ нечно убывающей геометрической прогрессии и вычи­ сляется по формуле:

%

1 — 9

Алгебра

63

Например: сумма 1

-jj- +

+

“g- +

• • • при­

ближается

к числу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

 

=

2;

 

 

 

сумма 0,3 +

0,03 + 0,003 +

0,0003 + . . .

 

 

 

или

 

 

0,3333...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приближается к

числу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

0,3

 

 

 

 

 

 

 

1 —0,1

 

3 '

 

 

 

 

 

40. Понятие логарифма

 

 

 

Логарифмирование есть действие, посредством кото­

рого по данной степени

и по данному основанию степени

находится показатель степени.

степени (32)

и основанию

Если, например, по

данной

степени (2) нужно найти

показатель степени

(в которую

надо возвести 2,

чтобы

получить 32), то действие (лога­

рифмирование)

обозначается

так:

loga32 =

5

(читается

«логарифм 32 при основании 2

равен 5»).

При этом число

2 называется основанием, логарифма, а результат действия (5) — логарифмом числа 32 при основании 2.

[Сопоставляя

действия возведения в степень,

извлече­

ния корня

и логарифмирования, видим, что эти действия

связаны

друг

с прутом — три соотношения:

аА — N,

Смотрите также файлы