Файл: Бакиров Р.О. Применение современных электронных вычислительных машин при расчете и проектировании конструкций инженерных сооружений учебное пособие.pdf

Стандартные программы матричных операций

С точки зрения автоматизации расчета и проектирования мате­ матические зависимости задачи целесообразно формулировать в матричной форме, так как обычно любая машина имеет набор стандартных программ для матричных операций: сложение, пере­ множение, транспонирование, обращение матриц и другие матрич­ ные операции. В частности, для ЭЦВМ «Урал-2» программы мат­ ричных операций можно найти в работах [2], [17], [18], [26] и др.

Описание задачи для производства матричных операций заклю­ чается в представлении в ВЦ интересующих матриц и указании всех действий, которые над ними необходимо произвести.

Например, если необходимо найти обратную матрицу, то содер­ жание задания в ВЦ может быть следующим.

Дана неособенная матрица

где

det А ф- 0.

Требуется найти обратную ей матрицу А-1 и выдать на печать ее элементы. Обращение матрицы произвести по одной из имею­ щихся в ВЦ стандартных программ. На печать выдать два экземп­ ляра матрицы А-1. Указывается желательный срок выполнения задания.

Стандартная программа вычисления определенного йнтеграла

Как известно, при решении многих задач встречаются так назы­

и многие другие. В этих случаях для получения числового резуль­ тата приходится прибегать к методам численного анализа, реали­ зация которых обычными методами требует слишком много време­ ни. Для вычисления определенного интеграла на ЭЦВМ разрабо­ тано несколько стандартных программ [16], [27]. Поэтому если тре­ буется на машине вычислить определенный интеграл с заданной точностью е, то в ВЦ представляется задание следующего содер­ жания.

Дан определенный интеграл

а

где

а = 1 0 , р = 144.

40

Подынтегральная функция в заданном интервале не имеет ни­ каких особенностей (при наличии особенностей последние тщатально поясняются).

Требуется вычислить интеграл (14) с точностью е^ Ю -6. Желательный срок выполнения задания — месяц, год.

Стандартная программа решения обыкновенных дифференциальных уравнений

При динамическом расчете инженерных сооружений встреча ются обыкновенные дифференциальные уравнения вида

решение которых получить в замкнутом виде не всегда удается. Чтобы довести решение задачи до числа, в этих случаях приходится прибегать к численным методам, реализация которых в практиче­ ски приемлемые сроки часто может быть осуществлена лишь с привлечением ЭЦВМ.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, при заданных начальных условиях, имеется обширный аппарат числен­ ного анализа. Для большинства из них разработаны соответствующение стандартные программы [21]. В частности, для ЭЦВМ «Урал-2» используются СП, реализующие методы Эйлера, Адамса, Рунге-Кутта. Следует однако заметить, что все эти программы разработаны применительно к нормальным системам дифферен­ циальных уравнений, т. е. к системам уравнений, каждая из кото­ рых первого порядка.

Приведение дифференциального уравнения n-го порядка к нор­ мальному виду осуществляется следующим образом.

Пусть дана система (15). Обозначив

получим эквивалентную нормальную систему:

(17)

У »-1°=/(*. У> У и Уг , - • •. У п - i ) -

Под решением этой системы при начальных условиях

подразумевается совокупность функций

которые, будучи подставлены (17), обращают их в тождества.

41

Задание в ВЦ для решения нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений может иметь приводимое ниже со­ держание.

Дана система дифференциальных уравнений:

Требуется найти решение системы (20) при следующих началь­ ных условиях:

В результате решения задачи на машине выдать на печать зна­ чения функций

У, Уи У2.............У л -:;

Особые требования к программе:

—выдача каждого варианта по Ру отделяется от другого оди­ нарным интервалом; при перемене значения а; поставить двой­ ной интервал;

—программа должна быть пригодной для многократного ис­ пользования при произвольных значениях и величинах всех кон­ стант (величины и шаги изменения варьируемых параметров при­ лагаются);

—программный и числовой материал желательно иметь наби­ тым на отдельные перфоленты: НПЛ-1 программный материал (не­ изменный); НПЛ-2 числовой материал (изменяющийся в зависи­ мости от потребности заказчика);

—выходные результаты представить в табличном виде (обра­ зец таблицы прилагается).

Указывается желательный срок выполнения задания.

42

Стандартная программа оценки корней избыточных систем линейных алгебраических уравнений

Многие задачи, в которых применяется метод наименьших квад­ ратов, сводятся к решению избыточных несовместных систем видаг

Например, при экспериментальном изучении распространения волн сжатия в грунтах получают ряд точек

характеризующих изменение давления в волне сжатия в грунте с глубиной. Иногда по внешнему виду расположения этих точек уда­ ется выбрать класс функций, к которому может*принадлежать эта экспериментальная кривая. Например, если экспериментальную за­ висимость аппроксимировать (заменить) полиномом т -й степени

то

то, приравняв (23) и (24), придем к решению системы (22).

Примеры подобной ситуации встречаются [3] также при экспе­ риментальном исследовании напряженного состояния конструкции многоточечным тензометрированием, когда в отдельных точках пластин или сечениях стержней наклеиваются розетки датчиков омического сопротивления. Для решения избыточных систем вида (22) можно использовать стандартную программу [4].

Программа позволяет одновременно находить оценки корней к переопределенных систем вида:

В связи с тем что система (25) избыточная и несовместная, точ­ ное значение корней найти не удается. Поэтому в программе пре­ дусмотрено определение оценок корней, а также определение интер­ валов, в которых находятся эти оценки с заданной вероятностью.

Если имеется необходимость решения избыточных систем ли­ нейных алгебраических уравнений, то задание в ВЦ, располагаю­ щий соответствующей программой, может иметь следующее содер­ жание.

43-

Даны избыточные несовместные системы:

Требуется найти оценки корней системы [27]

а также доверительные интервалы, в которых лежат эти значения корней с вероятностью р (например, р = 0,99).

Порядок печати выходных результатов следующий:

—оценки корней заданных систем выдаются последовательно сначала для первой и так далее до последней;

—корни каждой системы отделяются друг от друга интерва­

лом;

—после корней систем печатаются соответствующие довери­ тельные интервалы.

Указывается желательный срок выполнения задания.

Для того чтобы воспользоваться другими стандартными про­ граммами (см. приложение 1), необходимо познакомиться с их со­ держанием и написать соответствующее задание в вычислитель­ ный центр, по аналогии с приведенными выше.

ПРИМЕНЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРОГРАММ

Одним из перспективных направлений автоматизации инженер­ но-технического труда следует считать разработку типовых алго­ ритмов и программ, дающих возможность производить решение це­ лого класса задач. Например, типовыми называются программы расчета плоских и пространственных стержневых систем, расчета и проектирования балок, фундаментов, арок, обделок подземных со­ оружений различного конструктивного решения, обработки резуль­ татов экспериментального исследования конструкции, проектиро­ вания оптимальных мостовых конструкций и т. д.

44