Файл: Применение методов статистического моделирования в автоматизированном химическом производстве..pdf

Т а б л и ц а 8

Л24

26

I.

В нашем случае /^-критерий принимает значения (табл. 8):

для уравнения yi = f(xu . . х5) F= 1,11;

для уравнения y2 = f{x\, . . х5) F= 1,93.

Найденное в таблице /^-распределений значение для 5-про­ центного уровня значимости, соответствующего f\ = n—k—1 степеням свободы в числителе и /2 = «(/—1) степеням свободы в знаменателе, равно 2,63. Поскольку фактическое значение F меньше 5-процентного граничного значения, найденные урав­ нения зависимости адекватно представляют процесс.

После нахождения коэффициентов нелинейной (в нашем случае квадратичной) математической модели производствен­ ного процесса необходимо найти комбинацию значений пара­ метров этого процесса, оптимизирующего значение выходной функции. Мы рассматриваем, таким образом, задачу оптими­ зации многопараметрической системы. Обозначив через

ция качества должна принимать наименьшее значение, то

Q(x 1*,..., x * )< Q ( x u ...,x„)*.

Компоненты Xi , . . ., х п являются параметрами оптимизи­ руемой системы, образуя «-мерный вектор, причем функция качества Q определена на конечном или бесконечном множе­ стве этих n-мерных векторов.

Существует ряд способов нахождения оптимального набо­ ра параметров в многопараметрической системе. Наиболее простым и самым трудоемким является перебор всех возмож­ ных комбинаций значений параметров х и . . ., хп, после чего выбирается искомая комбинация Х\*, . . ., хп, минимизирую­ щая выходную функцию качества Q(xb . . ,,хп). К преимуще­ ствам метода перебора относится независимость метода от вида и характера функции качества Q, а также гарантия на­ хождения глобального минимума за однократный перебор. К недостаткам метода относится необходимость проведения огромного количества вычислительных работ (особенно при больших п ), так как количество всех возможных комбинаций нередко приобретает астрономические размеры. Поэтому этот способ в настоящее время мало применяется для оптимиза­ ции многопараметрических систем.

Метод Гаусса — Зайделя сводится к поиску минимума (функции качества таким образом, что на каждом этапе мини­ мум отыскивается тольк'о по одному параметру. При этом ме­ тоде сходимость крайне медленная, причем в отдельных слу­ чаях решение вообще не может быть достигнуто. Наиболее распространенными из неслучайных способов поиска являют­

* В дальнейшем будем считать оптимальной комбинацию параметров, минимизирующую функцию качества Q.

27

ся методы градиента и наискорейшего спуска, широко описан­ ные в литературе [9], [10], [12], [13]. На первом этапе примене­ ния метода градиента выбирается (случайно или неслучайно) точка, в которой определяется направление градиента.

Поиск происходит в обратном направлении, причем метод градиента особенно эффективен в том случае, когда функция качества Q является линейной. Основной недостаток метода градиента — резкое снижение его эффективности при наличии ограничений. Достоинством метода является его сравнительно высокая точность. Метод наискорейшего спуска является раз­ витием метода градиента и отличается от последнего тем, что система определяет направление градиента не на каждом шаге поиска, а только в тех случаях, когда значение функции качества после очередного шага увеличилось. В противном случае система делает очередной шаг в прежнем направле­ нии, не определяя заново направления градиента.

На наш взгляд, более эффективными способами оптимиза­ ции многопараметрических систем являются методы случай­ ного поиска. Наиболее простым, хотя и не всегда экономич­ ным, является метод статистических испытаний (метод Мон­ те-Карло). Он сводится к «розыгрышу» значений параметров

числа «розыгрышей» выбирается комбинация параметров xh для которой значение выходной функции Q будет минималь­ ным. Обычно «розыгрыш» значений параметров х, происходит равномерно в диапазоне изменения значений этих парамет­ ров.

Практически реализация метода Монте-Карло на ЭЦМ происходит следующим образом. Необходимо определить та­ кую комбинацию значений факторов х ь ..., х п, которая опти­ мизировала бы функцию f(xu . . . , x n). Определяем границы изменения значения для каждого из факторов х ;. Так, в на­ шем случае, область изменения для фактора Xi (соотношение)

следующая: min = 2, max = 4; 5.

Для фактора х2 min = 522, max = 674, и т. д. После это­ го «разыгрываем» п случайных чисел ah каждое из ко­ торых, соответственно, распределено равномерно в интервале

(minx,, шах х г).

Сначала моделируется значение случайной величины, рас­ пределенное равномерно в (0, 1); затем полученное случайное число умножается на (т а х х ;—rninx^), а к произведению прибавляется значение min xL. В результате получается окон­ чательное значение случайной величины а ;, распределенной равномерно в интервале (min xh шах х(). Описанная выше процедура совершается для всех г от 1 до п. После получения п случайных величин а г определяется величина f (<хь . . ., а„), которая «запоминается» в памяти электронной вычислитель-

28

ной машины. После этого вновь «разыгрываем» комбинацию (a(j2),.-- > a(„2)) (разумеется, величины аг будут иметь другие значения), определяем величину а™) и смотрим,

ближе ли новое значение к оптимальному, чем первое. Если да, то комбинация , а<л2>) запоминается,. а старая ком­

бинация (a)1),.--. a(J)) стирается, если нет, то наоборот. Такую

процедуру повторяем многократно, после чего можно фикси­ ровать такую комбинацию (аь . . ., а„), для которой значение

как следствие, необходимость проведения большого количест­ ва повторных «розыгрышей». К достоинствам этого метода относится простота его применения и возможность использо­ вания минимального количества рабочих ячеек при моделиро­

циональна ]/М ,где N — количество произведенных «розыгры­ шей», и для ряда случаев, как уже указывалось выше, яв­ ляется недостаточной.

В этом случае весьма эффективным методом оптимизации является случайный поиск, исследованный в работах Л. А. Рас-

стригина [12], [13].

Наиболее простым способом случайного поиска является так называемый шаговый локальный поиск без обучения, сущ­ ность которого заключается в следующем.

Обозначим через x(-i «-мерный вектор (х)1'”1),..., л:]]-1)) минимизирующий функцию качества Q(xb . . ., хп) после (г—1)

ленный во всех направлениях «-мерного пространства пара­

чину Q(x(i>,. . ., х^).

Таким образом, мы возвращаемся назад, если функция каче­

29