Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 75
Скачиваний: 2
ДОБАВЛЕНИЕ |
147 |
|
и каждом t функции cXn(t) —* cXo(t) и Y n |
не зависит |
|
от Хп(ге>0). |
|
|
Мы имеем |
|
|
схп+гп (0 = схп (0 • суп (0 |
сХо (0 • с> 0 (<) = |
сХо+у0 (О |
и по теореме об ограниченной сходимости
а*п+Гп (*2) — ° X n + Y n (*i) —> tfXo+Уо ( X z ) — a X o + Y 0 i X l ) -
Выберем теперь |
в |
качестве х г и |
х 2(х1<.х„) точки |
||||
непрерывности сгх0. Из неравенства |
|
|
|
||||
<Ухп (х2) - |
axn(®)i < Oxn+Yn (*g + 2А) - |
0хп+уп (*х - |
Щ |
||||
видим, что |
|
|
|
|
|
|
|
lim sup [сгхп (х2) - |
стхп (*i)l < |
|
|
|
|
||
п ~ *со |
|
|
|
|
|
|
|
< |
ffXo+Уо( х 2 + щ - |
стх0+у0 (*1 - 2А) < |
|
|
|||
< Стх0 (*а + 4А) - |
0ХО(я?1 - |
4А) —►Ох0 (®2) - |
(*i) |
|
|||
при /г—> 0. |
Отсюда |
и из |
обратного |
неравенства |
для |
||
lim inf вытекает, |
что |
|
|
|
|
||
Охп(*2) - |
сгхп (хг) —> Ох0 (*2) - |
стх0 Ю - |
|
|
|||
Использованный здесь прием «сглаживания» распре делений путем добавления к случайным величинам малых независимых «поправок» впервые был исполь зован Ляпуновым при оценке остаточного члена
вцентральной предельной теореме.
Кзадаче 1 в п. 4. Утверждение является частным случаем следующей более общей теоремы (Фреше
148 |
ДОБАВЛЕНИЕ |
и Шохат): пусть при каждом А = 0, 1, 2, .. . и п —» оо
4-00
jjxk dan{x)->mh.
—СО
Тогда |
существует |
такая |
функция |
о(х), |
что тк = |
|
+ о о |
|
|
|
|
|
|
= ^ xhdo(x). Если такая функция |
единственна, то |
|||||
—00 |
|
|
<*п( х ) - > 0 (х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в каждой |
точке |
непрерывности а(х). Достаточное |
||||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
1 |
имеет |
ненулевой |
|
|
|
|
|
|
|
радиус сходимости (см. М. Лоэв). |
|
читателю |
||||
К |
главе |
4, п. |
1. а). |
Интересующемуся |
||
можно рекомендовать решение задач о распределении
значений функций натурального |
аргумента |
из книги |
|
Г. П о л н а |
и Г. Сегё, Задачи |
и теоремы |
из ана |
лиза, ч. I, |
изд. 2, Гостехиздат, 1956 г. |
вопросов |
|
б). Одно |
из наиболее полных |
изложений |
|
так называемой «вероятностной теории чисел» имеется в монографии И. II. К у б п л ю с а «Вероятностные методы в теории чисел», 2 изд., Вильнюс, 1962. В част ности, там приведены и замечательные результаты самого И. 11. Кубилюса.
К п. 2. а). Для счетно-аддитивных мер имеется ряд теорем о переходе к пределу под знаком инте грала.
ДОБАВЛЕНИЕ |
149 |
Например, |
если |
ц-почти всюду f n (<o)l |
и / п> 0, то |
|||||||
|
|
lim |
\ f n( a )d n = |
\ |
П т /п (ю) dco. |
|
||||
|
|
|
Я |
|
|
Q |
П -У О О |
|
|
|
|
|
П ~ > С О j |
|
|
X |
|
|
|||
Эти теоремы, вообще |
говоря, неприменимы в случае |
|||||||||
конечно-аддитивных |
мер (lim/„ |
может даже не быть |
||||||||
измеримым!). |
Этим и объясняется, |
как подчеркивает |
||||||||
автор, |
невозможность сразу получить равенства, |
подоб |
||||||||
ные (2.10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б). Непрерывность функции а (со)—D ^log |
< со^ |
|||||||||
^как |
и |
функции |
т (со) = D |
|
|
вытекает |
||||
из одной общей теоремы Леви. |
— |
последовательность |
||||||||
Пусть |
Хх, |
Х 2, |
Х п, . .. |
|||||||
независимых |
дискретно |
распределенных |
случайных |
|||||||
величин со сходящейся с вероятностью 1 |
суммой |
|||||||||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'Zxk = x. |
|
|
|
|
||
Пусть |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dk = s u ^ P { X h = x}. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Функция |
распределения |
X |
будет |
непрерывна |
в том |
|||||
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
и только |
том случае, |
когда |
] [ dh — 0. В случае |
функ- |
||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
ции ф(п). можно принять
О с вероятностью 1 —
Х к -
log ^ 1 — —^ с вероятностью -i-.
150 ДОБАВЛЕНИЕ
Остается принять во внимание хорошо известное соот ношение
ОО
П ( 1 — у ) = 0 -
1
Можно добавить, что распределение X может быть только или чисто абсолютно непрерывным, или чисто дискретным, или чисто сингулярным (Иессен и Винтнер);
этот результат и теоремы |
Леви приведены |
в обшир |
ном мемуаре Эссеена: С. G. |
E s s e e n . Fourier |
analysis |
of distribution functions. A mathematicae study of the Laplace — Gaussian law. Acta. Math., 77 (1945), 1 — 125).
Существование распределения функций, подобных
и а t может быть установлено единообразным
методом, в основу которого может быть |
положено |
следующее вспомогательное замечание*). |
|
Назовем функцию f(n) периодической, |
если при |
некотором N и всех п |
|
f ( n \ - N) = f(n). |
|
Легко установить наличие у всякой периодической функции распределения D (/ (п) < со).
В |
Нижеследующие замечания обязаны моим беседам |
с А. Г. |
Постниковым по поводу работ Новоселова, в которых |
задачи о распределении значений определенного класса функ ций натурального аргумента изучаются с помощью топологизации множества натуральных чисел и пополнения его до топо логически полного кольца. При этом плотность продолжается в (счетно-аддитивную) меру в указанном кольце.
|
|
ДОБАВЛЕНИЕ |
151 |
|
Допустим |
теперь, что |
функция f(ri) такова, |
что |
|
при любом |
е > 0 |
можно |
подобрать периодическую |
|
функцию /е (и), для |
которой |
|
||
N
Iim w 2 1/Н-/<=И|<г.
71=1
Тогда при любом со, кроме, быть может, счетного чис ла, существует
D{f (п) < со).
Доказательство можно провести методом моментов, применяя его к
Т(п) = arctg/(n).
Для функций f(n), удовлетворяющих условиям
/( " ) = 2 'К Ф . d/n
d
в качестве аппроксимирующих функций можно брать
h ( n ) = |
2 |
ф и . |
|
d = р "1 ... p“ k |
|
где ръ ..., — первые к простых чисел, а к и sk вы бираются в зависимости от е.
152 |
|
|
|
ДОБАВЛЕНИЕ |
|
|
|
||
|
К |
главе 5, |
п. 4 и 5. О редукции задач |
кинетиче |
|||||
ской |
теории |
к |
задачам |
теории |
вероятностей |
см. |
|||
А. Я. |
Х и н ч и н , |
«Математические |
основания статис |
||||||
тической механики», |
ГИТТЛ, М. — Л., 1943, см. также |
||||||||
М. |
К а с, Probability |
and |
related |
topics |
in physical |
||||
sciences. N. Y. |
|
1959. |
|
|
|
|
|
||
|
Для метрически транзитивных T мы имеем сходи |
||||||||
мость средних |
вдоль |
траекторий к |
среднему по |
про |
|||||
странству |
|
|
П |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 4" 2 |
|
|
|
|
|
где |
l h(P0) = f( T h(P0)), а = |
^ / (Р0) ф |
(формула |
4.12). |
|||||
В ряде случаев удается доказать, что отклонение средних «по времени» от а подчиняется в пределе нормальному закону: если / не равна p-почти всюду постоянной, то найдется а = а ( / ) > 0, такая, что
£i (P q) ~4~ ■■■ £« ( Р о ) па
а У п
log |
1 |
2 [log(1'7 ) +y] + |
I (*) |
