Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2024

Просмотров: 76

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ДОБАВЛЕНИЕ

141

функциями, т. е. чтобы в качестве Q выступало множе­ ство всех непрерывных функций аргумента t. Дополни­ тельное исследование показывает, что замена множе­ ства произвольных действительных функций множеством непрерывных функций возможна. При этом почти все реализации оказываются недифференцируемыми ни в од­ ной точке (типа известной функции Вейергатрасса). См. Дж. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, М., 1956.

К п. 5. С последовательностями независимых случай­ ных величин связан один замечательный результат (так называемый закон нуля или единицы, он упо­ минается в тексте, в начале и. 6). Допустим, что некоторое событие таково, что его наступление опре­ деляется по значениям случайных величин X k с к ^ п , каково бы ни было п. Примером может служить событие: ряд из случайных величин сходится. Тогда вероятность такого события равна нулю или

единице.

В

частности,

как

показано в пп. 5 и 6,

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

СО

cl < с°

РЯД 2 ckrh W сходится при почти [всех t,

если 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

и

расходится

при

почти

всех

t, если

^

СЪ= 00• Необ-

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ходимые

и

достаточные

условия

сходимости рядов

из

независимых

случайных

величин

были

найдены

Л. Я. Хинчиным и А. Н.

Колмогоровым в 1925 г. Дока­

зательство можно найти,

например,

в книге М.

Л о э в а

«Теория вероятностей», ИЛ, М., 1962. Типичными сред­ ствами доказательства в общем случае являются леммы,

ЮМ, Кац

142

ДОБАВЛЕНИЕ

П

подобные следующей: положим s0 = 0, sn = 2 chrk(t)< i

тогда при любом е > 0

p{s /v>e }<p { max

е}< 2р

> е}.

(4)

Грубо говоря, это означает, что колебания максималь­ ной из нарастающих сумм независимых случайных величин имеют тот же порядок, что и колебания последней суммы. Левая часть неравенства (4) оче­ видна. Правая доказывается следующим образом. Обо­ значим рассматриваемые события буквами А и В, так что неравенство примет вид р ( Л ) < 2p(Z?). Пусть А: = 1, 2, . . . , ге и

Eft = {$] (t) 8, . . . ,

(t) <С 6, Sk (t) s}.

Очевидно,

H(£) = | r ( 5 f W >

n

> Y lli{ E hn(sn ( t ) - s k (t)> 0)} = i

n

 

n

= 2

V(Eh)-p(sn (o — Sfc( 0 > ° ) > y

2

i

.

i

что и требовалось доказать.

ДОБАВЛЕНИЕ

143

со

Допустим теперь, что 2 С&<°° - Применяя дока­

занное неравенство к rm(t), rm+1 (t), ... и используя неравенство Чебышева, получим

rn-f-n со

ц {sup

2

chrh (t) > е} < 2 2

с*

0

 

 

т

т

 

 

при т —>со.

Из

этого неравенства

и

аналогичного,

с заменой > е

на

< — е, вытекает утверждение о схо-

 

СО

 

 

 

 

димости ряда 2

ckrk (О с вероятностью

единица.

 

1

 

 

 

 

Как отмечает автор, ряды по некоторым системам ортогональных функций аналогичны рядам из незави­ симых случайных величин. Для произвольных орто-

нормальных систем

 

 

 

§ Х4(сй)-ХДю)ф, = 64я p ( Q ) = l ,

 

 

и

 

 

с

^

(м) dp = О верно

следующее утверждение: из

СО

 

 

 

 

2

с%log2 к <

оо вытекает

сходимость с вероятностью 1

1

 

СО

 

 

 

 

 

 

ряда

2 ckXk (со) (см. М.

Лоэв, § 33).

 

В связи

с некоторыми вопросами, возникающими,

в частности,

в теории случайных процессов, изучались

10*

144 ДОБАВЛЕНИЕ

аналитические

свойства сумм

функциональных рядов

со случайными

коэффициентами. Например, функция

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

2 й М г.

 

 

 

 

1

 

 

будет

с вероятностью

единица

непрерывна

в замкну­

том круге [ср.

Г. А.

Х а н т ,

Случайные

преобразо­

вания

Фурье, Математика, 2 :6 (1958), 87 — 114].

К

главе 3.

Теоремы о сходимости распределений

сумм случайных величин к нормальному закону объ­ единяются в теории вероятностей под общим назва­ нием «центральной предельной теоремы». Название достаточно полно характеризует место, занимаемое этими теоремами. Возникновение нормального закона связывают обычно со схемой сложения большого числа «равномерно малых» случайных величин. В этой связи уместно упомянуть одну теорему А. Я. Хинчииа. Рассмотрим последовательность серий

А*1,1,

А2. 1, Хг,27

Хп . 1, . • . , Х п , tij

независимых внутри каждой серии случайных вели­

чин f в п. 1 и 2 можно принять

Х п

у п J

V

 

подчиненных условию «предельной пренебрегаемое™»:

ДОБАВЛЕНИЕ

145

при любом е > 0 и п —> оо

max р ( | Х п, и(со) | > е) —> 0.

(5)

Пусть распределения сумм Sn = Х п. i + . .. + X n>n схо­ дятся к предельному. Тогда этот предельный закон будет нормальным в том и только том случае, когда при п —> со

 

р ( max

| Х„, и(ю) | > е) — 0.

Последнее

условие

сильное

(5) и,

как легко пока­

зать, равносильно следующему:

 

 

П

 

 

О при

п —> со

2 р ( | Х „ , ft (со) | > е )->

1

 

 

 

 

(см. Б. В.

Г н е д е н к о и А. Н.

К о л м о г о р о в ,

Предельные теоремы для сумм независимых случай­ ных величин, М., 1949, п. 26).

К п. 4. Преобразования

Фурье — Стильтьеса, упо­

минаемые в этом пункте,

используются в теории

вероятностей под названием характеристических функ­ ций. Детальное изложение свойств характеристиче­ ских функций имеется, например, в книге М. Лоэва. Заметим, что теорема непрерывности в несколько

более узкой, чем приводимая автором

формулировке,

может быть доказана методом Маркова

(именно, если

предположить, что

 

+ С О

 

lim ^ eitx don (x) = с (t),

 

71~> С О J

— СО

146

ДОБАВЛЕНИЕ

где

-1-00

 

 

c(t)= ^ eitxda(x).

Ниже приводится вариант доказательства для этого случая, изложенный в вероятностных терминах. Пусть Ох (ж) — функция распределения, рх (ж) — плотность вероятности, сх (t) — характеристическая функция слу­ чайной величины X. Заметим, что

+ С О

cx(t)= J eiixpx(x) dx

и, если сх (t) абсолютно интегрируема, то

+°°

Рх (х) = 2 ^ I e~itxcx (t)dt

 

 

 

1

4-оо

 

 

ох (ж2) - ох (хг) =

J

f e~ lix2_e~ ltxi

cx (t)dt.

рх (ж) dx = ~

^

— it

 

 

*i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Буквой Y

с теми

или иными

индексами будут обо­

значаться

случайные; величины

с ру{х) = - ^ (^1 —

при | ж | < 2 й и

p y (x ) = 0 в других

случаях. Тогда

| Y | = 2h и

су (t) =

• Пусть теперь при тг —> оо

Смотрите также файлы