Файл: Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 77
Скачиваний: 2
ОТ В И Е Т Л К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И СТ И ЧЕС КО Й Н Е ЗА ВИ С И М О С ТИ 17
V3. Случайность или начало чего-либо более глубо кого? Можем ли мы рассматривать равенство (2.5) как случайное совпадение? Конечно нет, до тех пор, пока мы не исследуем вопрос более тщательно.
Взглянем на функцию
2 <Vk(0- /<=1
Это ступенчатая функция, которая постоянна на ин тервалах
( ±_ |
»+1 |
s = 0, i , . . . , 2” — 1, |
V 2П ’ |
2П |
|
и значениями которой являются числа
± С1 ± С2 ± • • • ± Сп'
Каждая последовательность (длины п), состоящая из -[-1 и — 1, соответствует одному и только одному ин тервалу (s/2n, ( s + 1)/2п). Таким образом,
I |
n |
п |
|
$ |
exp [ i 2 |
ГЛ(*)] ^ = 4 ^ 2 ехР 0 2 ± О |
’ |
0 |
1 |
1 |
у |
где внешняя сумма справа берется по всем возможным последовательностям (длины п) из -f 1 и — 1.
Теперь
П |
71 |
71 |
S « р О 2 ± » . )= п с +/ |
) - П с» |
|
/ |
л=1 |
ft=t |
2 М. Кац
I ГОС. ПУБЛИЧНАЯ к
1 г*ЛУЧ< ■т г х и и ч . |
АЯ I |
18 ГЛА ВА 1
и, следовательно,
i |
n |
С/Л (i)J |
|
п |
„ 1 |
exp [ i 2 |
dt = П cos Ch= |
П f e*Ckrft(t) df. |
|||
0 |
1 |
|
|
fe=1 |
fc=i 0 |
Полагая |
|
|
|
(3.1) |
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
1 - С * 2 ^ ) * - П с - - § , |
||||
|
0 |
1 |
|
fc=l |
z |
и так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
Hm V |
= 1 _ 2t, |
|
|
|
|
n->co |
, |
2fe |
|
причем сходимость в левой части равномерна на (0, 1), то мы имеем
1 i n
eix (1_2i>di = lim exp ^ix 2 — ^ dt — |
|
.r |
|
Um J ] cos ^ |
i i - - , : |
ft=i ft=i
ОТ В И Е Т А К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И СТ И ЧЕС КО Й Н Е ЗА В И С И М О С ТИ 19
Таким образом, мы установили другое доказатель ство формулы (1.3). Лучше ли оно, чем доказательство, данное в п. 1?
Данное доказательство более сложно, но в то же
время |
более поучительно, так |
как оно как-то связы |
||
вает формулу Виета с двоичными цифрами. |
|
|||
Какое же свойство двоичных цифр приводит к успеху? |
||||
4. |
1 |
1 (п раз). |
Рассмотрим |
множество |
тех t, |
2 |
2 |
|
|
для которых |
|
|
|
|
|
ri (0 — + 11 |
г2(0 — |
11 гз (0 — |
1• |
Одного взгляда на графики rlt г2 и г3 достаточно, чтобы установить, что это множество (за исключе нием, быть может, концевых точек) — просто интервал
( 4 - т ) -
Очевидно, что длина (или мера) этого интервала
1
равна -g и
J__JL JL J.
|
|
|
8 — 2 ' 2 ' 2 ' |
|
|
|
Это тривиальное |
наблюдение |
может быть |
записано |
|||
в следующей форме: |
|
|
|
|
||
H-{ri(*) = |
+ |
1, |
r2(t)= - |
1, |
ra(t)= - 1} = |
|
= И М 9 = |
-+ |
Ч |
И- {'‘а (0 = |
- |
1) Р{',з ( 0 = |
- Ч . |
где р обозначает меру (длину) множества, определяемо го выражением внутри скобок.
2*
20 ГЛ А В А 1
Читатель без труда сможет распространить это наблюдение на случай произвольного числа функций г.
Он получит следующий результат: |
если |
8г, . . . , 6 |
— |
||
последовательность, |
состоящая |
из |
1 |
и —1, |
то |
|
•••> гп (*) = *„} = |
|
|
|
|
= (АК (0 = М |
И {>-2 (0 = б2} |
. . . Р {/•„ (t) = 6 J . |
|
||
Мо?кет показаться, что мы всего лишь усложненным
способом записали |
равенство |
|
||||
( |
1 N П |
|
1 |
1 |
^ |
|
т ) |
= |
2 х т х — |
Х У (п Раз)’ |
|||
|
||||||
но в действительности это значительно больше. Полу ченный результат выражает глубокое свойство функций rh (t) (и, следовательно, двоичных цифр) и служит отправной точкой обширных и плодотворных исследо ваний. Именно это свойство лежит в основе доказа тельства п. 3. Формула (3.1) может быть теперь дока зана следующим образом:
1 71
j) ехр [г ^ |
= |
о1
= |
2 |
ех р ( г '2 cf46/i) p { r 1(0 = 61, .... rn (*) = 6„} = |
|
61, ..., йп |
- ! |
ПП
= 2l IIе1С,А П^{ги (0 = }=
61......... |
бп 1 |
1 |
ОТ ПИКТА К П О Н Я Т И Ю С Т А Т И С Т И Ч ЕС К О Й Н Е ЗА ВИ С И М О С ТИ 21
п
= |
2 |
П е“ квк I* |
(0 = |
=* |
|
Ль •••, 6Uft—1 |
|
|
|
- f l S ‘”А с к (о=м - П \ ‘“л т <“ ■ h=l 6k h=l 6
5. Герб или решетка? Элементарное исследование опыта с бросанием монеты начинается с двух пред положений:
■а) монета симметрична; б) последовательные бросания монеты независимы.
Первое предположение означает, что в каждом отдель ном бросании исходы Н (герб) и Т (решетка) равно вероятны1), т. е. “каждому из них приписывается
«вероятность» ~ . Второе предположение позволяет при
менить «правило умножения вероятностей». Это правило, грубо говоря, таково: если события А 1г . .., Ап незави симы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей появления отдельных собы тий. Другими -словами,
Вер. {Аг и А 2 и А3 . .. и А п} =
= Вер. {ЛД Вер. {Аг} . . . |
Вер. {Ап}. |
(5.1) |
1) Я и Т от английских «head» и «tail». —Прим, перев.
гг |
ГЛА ВА i |
Примененное к независимым бросаниям симметричной монеты, это правило позволяет сделать заключение о том, что вероятность появления последовательности (длины гг), состоящей из альтернативных исходов Н
иТ (например, Н Н Т Т . . .Т), равна
±х±х х±=±
Это напоминает выводы и. 4, и мы можем использовать функции rh(t) в качестве модели для опыта с бросанием монеты. Для достижения этой цели составим следующий словарь терминов:
символ Н символ Т
к-е бросание (к = 1 ,2 , ...)
событие
вероятность события
+1
-1
Гhit) (к = 1, 2, ...)
некоторое множе ство значений t мера соответству ющего множества значений t
Чтобы понять, как применять этот словарь, рассмотрим следующую задачу. Найти вероятность того, что при п независимых бросаниях симметричной монеты герб вы падает точно I раз. Используя словарь, мы переведем задачу, и она будет читаться в новой форме так:
