Файл: Методическое пособие по выполнению курсовой работы 2016 года.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Границы тактовых интервалов для первой реализации x1(t) обозначены 0, T , 2T , ..., (n 1)T , nT , ..., и эти же моменты времени обозначены

на графиках других реализаций. На рис. 5 видно, что границы тактовых интервалов у разных реализаций не совпадают, т. е. любой момент времени на интервале 0...T может с равной вероятностью оказаться моментом

начала такта для других реализаций: x2 (t) , x3(t) , x4 (t) и т. д.

Таким образом, интервал времени tсдв между точкой (t 0) и началом тактового интервала есть случайная величина, равномерно распреде-

ленная на интервале 0...T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График плотности вероятности этой

 

 

w( tсдв)

 

 

 

 

 

 

случайной величины изображен на рис. 6.

 

 

 

 

 

 

 

Корреляционная функция BX (t1, t2 ) для

1/T

 

 

 

 

 

 

 

 

1/T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сигнала X (t) определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

tсдв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BX (t1, t2 ) X (t1) X (t2 ) .

(6)

 

0

 

 

T

 

 

 

Рис. 6. График плотности

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим B

(t , t

2

) для двух случаев:

 

вероятности w( tсдв )

 

 

X

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) τ t2 t1 > T ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) τ t2 t1 T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если τ t2 t1>T ,

то моменты времени t1

и t2

в каждой реализации

принадлежат разным тактовым интервалам. При этом случайная величина

X (t1) X (t2 ) будет равна произведению двух независимых случайных ве-

личин X (t1) и X (t2 ) . Как известно, математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических

ожиданий сомножителей, т. е. X (t1) X (t2 ) X (t1) X (t2 ) . Поскольку дан-

ный процесс X (t) является центрированным (т. е. X (t1) X (t2 ) 0),

то

из (6) при τ t2 t1>T следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BX t1,t2 X (t1) X (t2 ) X (t1) X (t2 ) 0 0 0.

(7)

Если τ (t2 t1) < T , то моменты времени t t1 и t t2 для одной час-

ти реализаций ансамбля X (t) будут принадлежать одному тактовому ин-

тервалу, а для другой части реализаций ансамбля X (t) моменты времени t t1 и t t2 будут принадлежать соседним тактовым интервалам.

27

На рис. 5 проведены две вертикальные линии, пересекающие все реализации, левой линии соответствует момент времени t t1 , а правой ли-

нии – момент времени t t2 . Расстояние между вертикальными линиями обозначено через τ (t2 t1) < T . Все реализации из ансамбля случайного

процесса X (t) в данном случае можно разделить на две группы: A и B .

В группу A введем все реализации, у которых моменты времени t1 и t2 принадлежат одному тактовому интервалу. В эту группу из четырех реа-

лизаций (рис. 5) попадут реализации: x1(t) и x4 (t) .

В группу B введем все реализации, у которых моменты времени t1 и t2 принадлежат разным (соседним) тактовым интервалам. В эту группу

попадут реализации x2 (t) и x3(t) .

Математическое ожидание случайной величины X (t1) X (t2 ) по всему

ансамблю случайного процесса X (t) получим, если вначале раздельно

найдем математические ожидания этого произведения по реализациям группы A и по реализациям группы B, а затем найденные математические ожидания усредним по обеим группам. Тогда

(по Aи B ) (по A ) (по B )

X (t1) X (t2 ) X (t1) X (t2 ) X (t1) X (t2 ) P( A) X (t1) X (t2) P(B), (8)

где P( A) и P(B) – вероятности того, что реализация войдет, соответствен-

но, в группу А или группу В. (по A)

Определим X (t1) X (t2 ) . Для любой реализации xk (t) , попавшей в груп-

пу A, произведение xk (t) xk (t) h2 . Например:

если k 1, то произведение xk (t) xk (t) ( h) ( h) h2 ;

если k 4 , то произведение xk (t) xk (t) h h h2 и т. д.

Таким образом, получим

по А

(9)

X (t1) X (t2 ) h2.

28

w( t)

по В

Величина

 

определяется аналогично, но при этом надо учи-

 

X (t1) X (t2 )

тывать, что у реализации группы B моменты времени t1 и t2 принадлежат

разным тактовым интервалам, поэтому случайные величины X (t1) и X (t2 ) из группы B будут независимы, что позволяет написать:

 

 

(по B )

(по B ) (по B )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (t1) X (t2 )

X (t1) X (t2 ) = 0 · 0 = 0.

(10)

Подставляя (9) и (10) в (8), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X (t ) X (t

2

) h2

P( A) 0 P(B) h2 P( A) .

(11)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для определения вероятности P( A) на каждой реализации (рис. 5)

введем интервал t , равный расстоянию от момента t t1

до ближайшего

момента времени, при котором может произойти изменение знака реализации. На рис. 5 видно, что каждая реализация имеет свою величину этого интервала и поэтому интервал t есть величина случайная. Если момент времени t 0 перенести в точку мо-

мента времени t t1 , то по смыслу

величина интервала t заменится на

1/T

 

 

величину интервала tсдв на рис. 5.

 

 

 

1/T

 

Следовательно, величина интервала

 

 

 

 

Δt

t есть случайная величина, имею-

 

 

0

Δt τ

T

щая ту же плотность вероятности

 

 

 

w( t) , что и случайная величина

Рис. 7. Плотность вероятности

tсдв , т. е. равномерную (рис. 7).

 

случайной величины t

На рис. 5 видно, что для всех реализаций группы A выполняется не-

равенство

 

 

 

t τ ,

(12)

где τ – известная детерминированная величина τ t2 t1.

Неравенство (12) является формальным (математическим) признаком

того, что реализация x1(t) или x4 (t) принадлежит группе A.

Для реализа-

ций группы B аналогичным признаком является выполнение неравенства

t τ .

(13)

29

Таким образом, вероятность P( A)

равна вероятности выполнения не-

равенства (12), т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( A) P( t τ).

 

 

 

 

 

 

 

(14)

Зная плотность вероятности w( t)

(рис. 7), можно найти величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P( t τ) : P( A) P( t ) = w( t)d ( t) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

1

d ( t) =

1

T

 

 

1

(T

τ) =1

τ

.

(15)

 

 

 

=

T

T

d ( t) =

T

 

T

 

 

 

τ

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении интеграла (15) верхний предел интегрирования, рав-

ный , заменяем конечной величиной T ,

 

так как при значениях t T

подынтегральная

функция w( t) (рис. 7)

 

равна

 

нулю.

Таким

образом,

P( A) P( t τ)

равна

той части площади прямоугольника,

которая

на рис. 7 обозначена штриховкой. Аналогично, используя неравенство

(13), можно найти величину P(B) . Подставляя величину P( A) P( t τ)

в (11) при τ T , запишем корреляционную функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

BX (t1, t2 ) = X (t1)

X (t2 ) h

2

 

 

 

τ

 

 

(16)

 

 

 

 

 

1

T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

X

(τ)

 

 

Правая часть (16) зависит только от

τ t2 t1,

h2

 

 

 

т. е. BХ (t1, t2 ) BХ ( ) . Учитывая это свойство кор-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

реляционной функции, а также то, что

X (t) h

 

 

 

τ

 

(т. е. математическое ожидание не зависит от вре-

0

 

T

 

мени t ), делаем вывод, что рассматриваемый про-

 

 

 

 

 

Рис. 8. График BX (τ)

 

цесс

X (t)

является стационарным процессом в

 

широком смысле. Используя (7) и (16), можно по-

 

при τ 0

 

 

 

 

 

 

 

строить график функции BX (τ) при τ 0 (рис. 8).

На интервале 0...T график BX (τ)

имеет форму прямой линии, имею-

щей отрицательный наклон, проходящий через точку h2

на оси ординат и

точку T на оси абсцисс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейная зависимость графика (рис. 8) с отрицательным наклоном

объясняется тем, что аргумент τ входит в (16) в первой степени и перед

ним стоит знак «минус».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стационарность процесса

X (t)

позволяет продолжить кривую BX (τ)

в область отрицательных значений

τ < 0 ,

используя свойство симметрии

корреляционной функции стационарного процесса.

 

 

 

 

 

30

Аналитическое выражение для корреляционной функции BX (τ) , справедливое как для значений τ > 0 , так и для значений τ < 0 , имеет вид

 

 

 

 

τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

1

 

 

 

 

 

 

при

 

τ

 

 

T ;

 

 

 

 

 

 

BX ( )

 

 

T

 

 

 

 

(17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

при

 

τ

Корреляционной функции BX ( )

соответст-

 

B

X

(τ)

 

вует график рис. 9.

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

5. Определим дисперсию заданного случай-

 

 

 

 

 

ного процесса X(t). Известно, что дисперсия ста-

T

0

 

T

τ

ционарного процесса равна значению корреляци-

 

 

 

 

 

 

онной функции при значении τ 0 , т. е.

 

Рис. 9. График

 

D X (t) BX (0) h2 .

(18)

корреляционной функции

 

BX (τ)

 

 

 

 

 

Из графика рис. 9 следует, что BX (τ)

удовлетворяет следующему

пределу

 

 

 

 

lim BX ( ) 0

,

(19)

 

 

 

 

что является необходимым и достаточным условием эргодичности данного стационарного процесса X(t).

Таким образом, рассматриваемый случайный процесс является не только стационарным, но и эргодическим процессом. Тогда вероятностные характеристики, такие как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, могут быть определены с помощью только одной реализации из ансамбля процесса X(t) путем соответствующих усреднений этой реализации по времени.

6. Для определения спектральной плотности мощности GX (ω) слу-

чайного процесса X(t) используется теорема Винера – Хинчина, которая справедлива только для стационарных центрированных процессов:

 

 

 

 

GX (ω)

BX ( )e iω d BX ( )(cosωτ i sin ωτ)dτ

 

 

 

 

(20)

 

 

 

 

 

 

 

 

BX (τ)cosωτdτ.

 

 

 

 

 

 

BX (τ)sin ωdτ 0 , поскольку BX (τ) является четной функцией

Имеем

аргумента τ , а sin ωτ – нечетная функция τ (произведение четной функции

31

Смотрите также файлы