Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 369

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ризованных волн. При тепловом излучении мы имеем дело с неполяризованными колебаниями, которые всегда можно разложить на две оси.

В таком случае число колебаний будет в два раза больше и рав­

няется

Дифференцируя, получим, что в интервале частот

о С'

 

от v до v-f-dv

число колебаний будет равно

 

^ V d v .

 

с'

Теперь мы воспользуемся точкой зрения, рисующей «другуюсто­ рону медали». Полость заполнена колебаниями с частотой v, иначе

говоря, фотонами с энергиями

e=/iv. Число ^-Vd\

 

можно

,

-

8nv2

,

рассматривать как число фотонов

в объеме полости, а

-~г-dv—

как плотность фотонного газа. Мы приблизились к ответу на важ­ ный вопрос: чему равна плотность электромагнитной энергии в полости? Если бы фотоны всех энергий возникали одинаково часто,

то оставалось бы умножить г на

dv и мы получили бы плот­

ность энергии для частот интервала

dv. Однако частицы газа не

распределены равномерно по энергиям. Поэтому искомая формула имеет вид

ffi'vdv = ^p-e№ (e)dv, .

где W(є) — вероятность создания фотона с энергией є.

Таким образом, плотность электромагнитной энергии для волн (фотонов) с частотой v выражается формулой

wv = — eW (є).

Поток энергии через единицу площади, т. е. вектор Пойнтинга К, будет, согласно стр. 292, в с раз больше до,. Что же касается потока энергии р, излучаемого единицей площади тела, находящегося в равновесии с полем, то он должен быть в четыре раза меньше век­ тора Пойнтинга: р—-^-К. Между w и р имеется связь: Р=— wc.

Какого же происхождения коэффициент 1/4? Не желая задержи­ ваться на этом, в общем мало существенном обстоятельстве, про­ ведем следующее упрощенное рассуждение.

Каждая площадка излучает поток энергии р, идущий во все сто­ роны в пределах полусферы, т. е. телесного угла 2л. Таким образом, среднее излучение внутрь единичного телесного угла равно р/2я. Из геометрических соображений ясно, что излучение равно нулю вдоль площадки и максимально вдоль нормали. Если бы падение интенсивности излучения происходило равномерно, то для получе­ ния среднего значения р/2л надо было бы, чтобы вдоль нормали излу­ чение равнялось р'л.

Теперь рассмотрим сферу, заполненную излучением. В центре сферы имеется площадка, через которую проходит поток энергии К. Но, с другой стороны, на эту площадку падает излучение со всех

участков сферы, равное (р/я) 4л. Следовательно, р = -j К-

Итак, от формулы объемной плотности электромагнитного излу­ чения мы перейдем к выражению испускательной способности чер­ ного тела, умножая wv на с/4:

pv =

^ e U 7 ( e ) .

Дальнейшая задача исследования этой функции связана с оцен­ кой вероятности распределения энергии W(e). Исторически первая формула для pv была предложена в 1911 г. независимо друг от друга Рэлеем и Джинсом. Она имеет вид

2nkT , с*

Эта формула получена в предположении равномерного распределе­ ния энергии по степеням свободы, т. е. независимости W от е. Она верна для больших длин волн и высоких температур.

Другая возможность в отношении W (є) — это использование закона Больцмана, который так хорошо оправдывался для молеку­

лярных газов; тогда W (г) = e-f/kT.

Однако уравнение для испу­

скательной способности, носящее

имя Вина,

р = - i - A v e - f c v / * r .

как и формула Рэлея — Джинса, не совпадает с опытом, как это видно из рис. 189.

Где же ошибочное звено в проведенных рассуждениях? Его надо искать в незаконном распространении статистических соображений, лежащих в основе закона Больцмана, на совокупность фотонов. Ведь мы же подчеркивали, что фотоны дают нам одностороннюю точку зрения на электромагнитное поле. Реальность поля не может быть исчерпана представлением его в виде собрания частиц. Есте­ ственно поэтому, что у фотонов «своя статистика». Она носит назва­ ние статистики Бозе — Эйнштейна.

Чтобы получить новую функцию распределения частиц по энер­ гиям, заменяющую закон Больцмана, достаточно учесть, что вол­ новой характер поля делает лишенным содержания представление о различии между тождественными частицами. На этой новой основе и строится статистика Бозе — Эйнштейна (см. стр. 655), которая приводит, как сейчас будет показано, к следующему закону распре­ деления фотонов по энергиям:

W ( є ) = ehv/kT_l

'

следовательно, формула для испускательной способности абсолют­ но черного тела принимает вид

2л У2

hv

P v ~ с2

ehv/kT _ { -

Эта формула была впервые получена Планком и носит его имя. Блес­ тящее совпадение теоретической формулы с опытом и характер

с/элей-3)Жто.

сЗт

JDiQ.?<?c(co$nada€7rf

с жспфим-екяом)

0 / 2 2 4

5 0 Г & 9

М,

Рис.

189.

 

отклонений от правильных результатов теоретических

формул Вина

и Рэлея — Джинса иллюстрируются рисунком 189.

 

Из формулы Планка вытекают как следствие рассмотренные выше законы Вина и Стефана — Больцмана. Для доказательства первого

из этих законов надо решить задачу на экстремум, т. е. найти ко­ рень уравнения

Для доказательства второго положения надо найти

S Pv dv.

Предоставляем эти вычисления читателю.

§ 166а. Стимулированное излучение

Вернемся еще раз к полости, внутри которой существует элек­ тромагнитное поле, находящееся в равновесии со стенками поло­ сти. Но теперь рассмотрим эту систему с микроскопической точки зрения. Излучателем фотонов являются возбужденные атомы. Остановим наше внимание на фотонах hv. Газ этих фотонов находится

в равновесии с атомами, излучающими и поглощающими

свет с ча­

стотой v, т. е. с атомами,

обладающими энергиями Е2

и Е1г

где

£2—

Ei~hv.

 

 

 

 

Когда равновесие установилось, числа атомов /V,, находящихся

на

уровне Ех, и атомов N2,

находящихся на уровне Е2,

будут

не­

изменными. Так как распределение атомов по энергиям удовлетво­ ряет закону Больцмана, то

Равновесие в системе носит, разумеется, динамический характер, т. е. атомы переходят с нижнего уровня на верхний и обратно, а фотоны то поглощаются, то излучаются. Поскольку имеет место равновесие, числа переходов вверх и вниз -за единицу времени рав­ ны друг другу.

Два процесса представляются очевидными. Первый из них — это поглощение фотона, которое происходит при попадании фотона на атом, находящийся на нижнем уровне £ \ ; атом при этом «воз­ буждается», т. е. переходит на уровень Е2. Число таких событий можно записать в виде

BNXW (є).

Здесь В — коэффициент пропорциональности, и наша запись ут­ верждает, что число переходов атомов снизу вверх (число поглоще­ ний фотонов) пропорционально числу атомов с энергией Ег и числу фотонов с энергией е.

Второй процесс, существование которого очевидно, это само­ произвольные (спонтанные) переходы атомов с верхнего уровня на нижний. Положение атома на уровне £ 2 неустойчиво, и поэтому по­ степенно они будут переходить на нижний уровень. Число таких переходов в единицу времени должно быть пропорционально числу

возбужденных атомов в системе

AN,,

где А — другой коэффициент пропорциональности.

Если приравнять AN2 и BNXW(г), то для W(г) мы получим за­ кон распределения Больцмана, т. е. ту же статистику, которой под­ чиняются атомы. Но это предположение, как мы видели в предыду­

щем параграфе, приводит к

резкому противоречию с опытом. Зна­

чит,

кроме двух процессов,

которые мы описали, есть какой-то

еще,

участвующий в создании равновесия.

Эйнштейн указал сразу же после опубликования Планком его формулы, что все станет на место, если допустить, что падение фотона с энергией hv на возбужденный атом стимулирует его излу­ чение с этой же'частотой. Причем вероятность этого процесса долж­ на быть такой же, как и вероятность поглощения, т. е. число актов стимулированного излучения в единицу времени равно

BNM (є).

Приравнивая теперь число переходов вверх и вниз, мы получим

AN2

-(- BN2W

(є) = BNXW (є),

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

W (в) = .

.

 

 

Предельные значения №(е), а именно

W(t)~ekT/hv

для

малых

hv/kT (Рэлей — Джине)

и

W(г)=е~Нх1кт

для больших hvlkT, нам

известны. Это заставляет

нас

положить

А = В.

Таким

образом

демонстрируется путь к формуле статистики фотонов

Мы видим, что спектр черного тела удается объяснить лишь введением представления о стимулированном излучении.

Можно показать, что стимулированное излучение должно су­ щественно отличаться от спонтанного. Спонтанно излученные фо­ тоны имеют разные направления и случайные фазы. Фотоны, воз­ никшие благодаря встрече фотона hv с возбужденным атомом, имеют ту же фазу и то же направление, что у первичного фотона. Благо­ даря этим особенностям стимулированного излучения можно до­ стигнуть фантастических мощностей световых потоков в устройствах,

которые называются лазерами, или генераторами

стимулированного

излучения (см. §. 206).

 

§1666. Люминесценция

Олюминесценции говорят в том случае, если молекулы могут быть приведены в возбужденные состояния без увеличения их сред­ ней кинетической энергии, т. е. без нагревания.

Люминесценция не подчиняется закону Кирхгофа. Интенсив­ ность люминесценции по определению превосходит интенсивность

Смотрите также файлы