Файл: Электрические измерения. Общий курс учебник.pdf

Арифметическое суммирование. Результирующая погрешность определяется по формуле

где \8іт\ — абсолютное значение составляющей суммарной погреш­ ности.

Полученное экспериментальным путем значение результирующей погрешности не может превысить значения, вычисленного по формуле (39), так как погрешности складываются алгебраически. Вероятность достижения значения, вычисленного по формуле (39), очень мала. По этой причине арифметическое суммирование дает заведомо сильно завышенное значение О^.

ляющих. При таком подходе результирующая погрешность вычис­ ляется по формуле

Если составляющие подчинены нормальному закону распределе­ ния, то, как известно из теории вероятностей, при композиции нор- ѵ мальных законов получается нормальный закон. Доверительная вероятность суммарной погрешности при нормальном законе ее распределения, как известно из теории вероятностей, может быть представлена формулой

/г ~ —

где о% — суммарное среднеквадратическое отклонение; Ф означает функцию Лапласа и имеет вид:

X

5

Если доверительный интервал для всех составляющих выбран по одному правилу, например, «трех сигм», то, принимая во внима­ ние, что

доверительная вероятность результирующей погрешности, вычислен­ ной по формуле (41), будет

р = ф (ртЬ0 , 9 9 7 3 -

54

Суммирование погрешностей при их законах распределении, отличных от нормального. По причине различных законов распределения составляющих результирующей погрешности доверительная вероятность может оказаться зна­ чительно меньшей, чем при нормальном законе распределения составляющих. При суммировании случайных погрешностей с различными законами распределе­

возможность гарантировать заданную довери­ тельную вероятность, т. е. следует пользо­ ваться формулой

ный на рис. 19.

Если Р — доверительная вероятность результирующей погрешности при симметричном законе распределения

Задаваясь величиной Р, можно найти значение ( ô 2 ) и значения ± ô 2 . На основании формулы (42) может быть определен коэффициент

1 4

Чт

i = 1

В табл. 3 приведены значения k% для различного числа «слагаемых в пред­ положении, что все составляющие распределены по равномерному закону. До­ верительная вероятность была принята равной 0,9973.

Композиция этих двух законов известна в теории вероятностей. Так как она вы­ ражается через ф у н к щ ш Лапласа, можно вычислить значения для различных отношений ö m (доверительная граница симметричного равномерного закона) к о (среднее квадратическое отклонение нормального закона) и Р = 0,9973. Результаты расчета сведены в табл. 4.

55

конов распределения составляющих и их числа поправочные коэффициенты из­ меняются сравнительно в широких пределах. Основная трудность в применении формулы (42) заключается в том, что законы распределения составляющих не всегда известны, и, следовательно, значение fe2 не может быть найдено. В этом случае при уверенности хотя бы в том, что законы распределения (или некоторые из них) отличаются от нормального, может быть рекомендовано принятие при­ ближенного значения fcv, равного 1,4. Вероятностная оценка результирующей погрешности средства измерения будет, очевидно, приближенной, однако дове­

цией времени, то вследствие инерционности средств измерения и дру­ гих причин 1 возникает составляющая общей погрешности, называе­ мая динамической погрешностью средства измерения. Она может быть определена как разность между погрешностью средства изме­ рений в динамическом режиме и статической погрешностью, соответ­ ствующей значению величины в данный момент времени. Динамиче­ ская погрешность зависит как от свойств средств измерения, так и от характера изменения во времени измеряемой величины. По этой причине динамическая погрешность средства измерения не может быть нормирована аналогично тому, как это делается в статическом режиме. Динамическая погрешность может быть нормирована лишь для конкретных зависимостей х — F (t), например для синусоидаль­ ного, линейно изменяющегося или изменяющегося по какому-либо другому закону входного сигнала.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением динамической по­ грешности средства измерения, обусловленной лишь его инерцион­ ностью, а также в предположении линейности звеньев средства из­ мерения, т. е. наличия звеньев, описываемых линейными дифферен­ циальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Способы определения динамической погрешности. Если средство измерения разбить на звенья, как это было указано в § 3, то динами­ ческий режим каждого звена может быть описай линейными диффе­ ренциальными уравнениями и для конкретной структурной схемы средства измерения может быть получена система дифференциальных

56

соответствует рис. 4. В этом случае система дифференциальных урав­ нений мЬжет иметь вид:

Решить уравнение (44) нельзя, так как его правая часть неизвестна (измеряемая величина). Один из возможных путей определения ди­

родействующим самопишущим прибором (см. гл. 5) и записанная функция выражается аналитически, т. е. экспериментально нахо­ дится решение уравнения (44). Тогда, пользуясь уравнением (44), может быть найден входной сигнал х и определена результирующая погрешность как разность хп (t) — х (t). Если при этом статическая погрешность средства измерения незначительна, то полученная раз­ ность в первом приближении будет равна абсолютной динамической погрешности средства измерения. При этом способе нахождения ди­ намической погрешности удобно пользоваться передаточной функ­ цией средства измерения. Передаточная функция средства измерения

Обычно при составлении дифференциальных уравнений звеньев для упрощения формул и удобства их исследования пользуются без­ размерными координатами и коэффициентами. Например, вместо

мерения; в качестве безразмерной независимой переменной выбирают величину т таким образом, чтобы т являлась безразмерной величи­ ной (относительное время) и т. д. 1 Вопрос формы записи дифферен­ циальных уравнений звеньев не является принципиальным и в рас­

57

It p и M с p. Допустил, что для исследуемого средства измерения уравне­ ние (44) имеет вид:

ГДР ?/, ;/і и Р — безразмерные координаты и коэффициенты. Передаточная фупкцпя н этом случае

Если записанный быстродействующим самопишущим прибором выходной сигнал может быть аппроксимирован уравнением

Пользуясь формулами (47) и (48), находим динамическую погрешность (ста­ тической погрешностью пренебрегаем). В данном случае относительную дина­

Рассмотренный теоретически-экспериментальный способ нахож­ дения динамической погрешности средства измерения имеет достоин­ ство, заключающееся в том, что полученный результат дает возмож­ ность анализировать влияние параметров звеньев на динамическую погрешность и находить оптимальные их значения.

Однако при применении этого способа на практике иногда встре­ чаются большие трудности или вообще данный метод применить нельзя. Получается неправильный результат, если какие-либо со­ ставляющие измеряемой величины (например, высокочастотные) не проходят через средство измерения и, следовательно, не фиксируются регистрирующим устройством. Существенные трудности возникают при наличии в средстве измерения нелинейных звеньев, т. е. таких звеньев, динамический режим которых описывается нелинейным диф­ ференциальным уравнением. Метод не применим, если записанный выходной сигнал не может быть аналитически выражен элементар­ ными функциями и если измеряемая величина представляет собой случайный процесс. В этих случаях исследование динамической по­ грешности может производиться методами теории случайных функ­ ций, рассматриваемых в специальных курсах.

Следует отметить, что в лабораторных условиях всегда остается путь экспериментального исследования динамической погрешности,

58