Файл: Электрические измерения. Общий курс учебник.pdf

цостей 1 . ложно считать, что закон распределения суммарной слу­ чайной погрешности нормальный.

Погрешность результата измерения может быть найдена на осно­ вании одного ряда наблюдений. В особо точных измерениях произ­ водится несколько рядов наблюдений, дающих возможность оценить погрешность среднего арифметического (см. § 7). В дальнейшем будем исходить из наличия одного ряда наблюдений.

На практике обычно число наблюдений в одном ряду невелико (например, 10—20), вследствие чего полученное по опытным данным значение о является весьма приближенным. Для того чтобы полу­ чить более достоверную оценку погрешности (границ доверительного интервала) при сравнительно малом числе измерений п, вводят не­ который коэффициент t (п), предложенный английским математи­ ком В. С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом

плотность распределения вероятности появления величины t имеет вид:

г І )

1 Центральная теорема теории вероятностей формулируется так: если имеется достаточно большое число независимых случайных величин, то сумма пх будет подчиняться нормальному закону распределения даже тогда, когда случайные величины не подчиняются нормальному закону . При этом предпо­ лагается, что ни одна пз этих слагаемых величин существенно не преобладает над остальными. Практически центральная предельная теорема может приме­ няться при 4—5 слагаемых.

50

Вид этой функции должен быть известен. Погрешность косвен­ ного измерения величины х зависит как от случайных, так и от си­ стематических погрешностей прямых измерений величин А, В, С, ...

Будем предполагать, что прямые измерения были правильными, т. е. систематические погрешности прямых измерений исключены. Для оценки случайной погрешности измерения величины х необ­ ходимо знать параметры точности (например, а результатов измере­ ния) величин А, В, С, ... Нахождение средней квадратической по­ грешности о косвенного измерения производится по формуле

Следует отметить, что формула (38) справедлива при условии не­ зависимости прямых измерений величин А, В, С, ... Рассмотрим некоторые частные случаи применения формулы (38):

1. Функциональную зависимость х от однородных величин A vi В можно представить так:

X — аА -f- ЬВ,

где а и Ъ — постоянные положительные или отрицательные безраз­ мерные коэффициенты. В этом случае формула (38) примет вид:

2. Функциональная зависимость между величиной х и непосред­ ственно измеряемыми разнородными величинами А и В выражается формулой

х-Аа-Въ,

где а и Ъ — положительные или отрицательные показатели степени. Находя частные производные — , ^ на основании формулы (38),

получим

Аналогичным путем можно найти выражения для а и для других функциональных зависимостей.

9. Суммирование погрешностей

Погрешность измерения, т. е. отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины, образуется вследствие наличия погрешностей средств измерения, метода измерения и отсчитывания показаний средства измерения.

Результирующая погрешность средства измерений складывается из отдельных составляющих, которые могут быть определены рас­ четным или экспериментальным путем. Число составляющих за­ висит от ряда факторов: принципа действия и конструкции средства измерений, наличия факторов, влияющих на работу средства изме-

52

рений (например, изменения окружающей температуры, колебаний напряжения вспомогательных источников питания), и др. В некото­ рых случаях число составляющих результирующей погрешности может достигать нескольких десятков. Выше были даны определе­ ния систематических и случайных погрешностей, из которых сле­ дует, что критерием отнесения погрешности к систематической или случайной является характер изменения погрешности, устанавли­ ваемый при повторных измерениях физической величины в предполо­ жении, что последняя не изменяется за время измерений. Однако на практике это условие часто невыполнимо.

Необходимо отметить еще одно важное обстоятельство. Некоторые составляющие систематической погрешности известны и, казалось бы, могли быть учтены введением поправки к показаниям прибора. В качестве примера можно указать на погрешность прибора от из­ менения окружающей температуры. Но в процессе эксплуатации прибора значение окружающей температуры может быть не известно, и, следовательно, есть основание рассматривать данную составляю-" щую как случайную величину. Но если систематические погрешности известны и имеются необходимые данные для их расчета, они могут быть учтены введением поправки к результату измерения, вычислен­ ной путем алгебраического сложения систематических составляю­ щих .

Погрешность метода измерения может быть систематической, на­ пример, погрешность, обусловленная потреблением мощности при­ борами. Эту погрешность можно учесть введением поправки. Но мо­ жет быть погрешность метода случайной величиной, например, по­ грешность квантования измеряемой величины (см. гл. 9). Погреш­ ность отсчитывания зависит как от принципа действия и конструкции приборов, так и от органов чувств наблюдателя. В дальнейшем эту погрешность учитывать не будем, полагая ее незначительной. Рас­ сматривая составляющие погрешности измерения как случайные величины, при определении результирующей погрешности видим, что они могут складываться по правилам суммирования случайных ве­ личин. Следует отметить, что некоторые составляющие могут быть коррелпрованы, т. е. изменяться по вполне определенным законам под действием какого-либо внешнего фактора, например, изменяться одинаково. Коррелированные погрешности должны суммироваться алгебраически, причем коэффициент корреляции на практике обычно принимается равным -f-1 или — 1 . Если же погрешности вызываются причинами, не имеющими явной связи, то их корреляция принимается равной нулю. В дальнейшем будем рассматривать суммирование некоррелированных составляющих. Будем считать, что результирую­

интервал. Если доверительный интервал выбран по правилу «трех сигм», то ± ô i m практически означает возможные предельные значе­ ния составляющих.

Возможны следующие подходы к решению задачи суммирования погрешностей.

53