Файл: Электрические измерения. Общий курс учебник.pdf

Систематические погрешности. Систематические погрешности разделяются на постоянные, т. е. погрешности, сохраняющие при повторных измерениях свой знак и величину, и переменные погреш­ ности, изменяющиеся по определенному закону. Примером постоян­ ной систематической погрешности может быть погрешность, обуслов­ ленная несоответствием действительного значения меры, с помощью которой производится измерение, ее нормальному значению. При­ мером переменной систематической погрешности может быть по­ грешность от постоянного изменения напряжения вспомогательного источника питания (разряд аккумулятора или элемента), если ре­ зультат измерения зависит от величины этого напряжения. . Дл я учета и исключения систематических погрешностей необходимо рас­ полагать возможно полными данными о наличии отдельных видов погрешностей и о причинах их возникновения. Систематические по­ грешности могут быть исключены или значительно уменьшены уст­ ранением источников погрешностей или введением поправок, уста­ навливаемых на основании предварительного изучения погрешно­ стей, путем поверки мер и приборов, используемых при измерении, введением поправочных формул и кривых, выражающих зависимость показаний приборов от внешних условий (например, температуры) и т. д. Систематические погрешности могут быть также исключены путем нескольких проведенных определенным образом измерений. Одним из таких приемов является метод замещения. Возможны и другие приемы исключения систематических погрешностей. Приме­ нение того или иного способа устранения систематических погреш­ ностей зависит от требуемой точности, условий проведения экспери­ мента, наличия поправочных формул и других причин.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий практические приемы учета п умень­ шения систематических погрешностей измерения. Допустим, что необходимо намерить с возможно большей точностью э. д. с. некоторого источника постоян­ ного тока, имеющего внутреннее сопротивление около 20 О.м. Дл я измерения имеется вольтметр постоянного тока класса точности 0,5, имеющий пределы из­ мерения 0—1,5 — 15—150—1500 В . Шкала прибора имеет 150 равномерных делений с зеркальным отсчетом. Ток полного отклонения указателя прибора равен 3 мА. Измерение производится в помещении с нормальными для работы

Анализируя возможные причины появления составляющих погрешности измерения, можно установить следующее. Имеется систематическая составляю­ щая погрешности метода измерения, вызванная потреблением мощности вольт­ метром. Так как ток отклонения указателя прибора на отметку шкалы 1,0 равен 2 мА, то составляющая этой погрешности может быть приблизительно равна — 0,04 В. Погрешность результата измерения может быть значительно уменьшена введением поправки, равной +0,04 В, т. е. за значение э. д. с. элемента следует принять величину 1,015 В .

Случайные погрешности. Случайные погрешности обнаруживаются при многократном измерении искомой величины, когда повторные измерения проводятся одинаково тщательно и, казалось бы, при од­ них и тех же условиях. Случайные погрешности нельзя исключить

45

опытным путем, но их влияние на результат измерения может быть теоретически учтено путем применения при обработке результатов измерений методов теории вероятностен.

7. Вероятностные оценки ряда наблюдений

Оценка ряда наблюдений. При выполнении повторных наблюдений имеется в виду соблюдение правильности измерений, под которой понимают качество измерений, отражающее близость к нулю си­ стематических погрешностей в их результатах. При этом условии наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряе­ мой величине на основании ряда наблюдений, есть арифметическое среднее из полученных значений, определяемое как

Отклонение менаду каждым из отдельных значений и средним арифметическим, т. е. их разности рг — ах — Л с р ; р2 == а2 — Асѵ; Рп —• ап — ^ср> называется случайным отклонением результата наблюдения и может иметь как положительный, так и отрицатель­ ный знак.

Одним из свойств среднего арифметического является то, что алгебраическая сумма случайных отклонений результатов наблюде­

результата наблюдений. При неограниченно большом числе наблюде­

способов. Наиболее распространена оценка в виде среднего квадратического отклонения результата наблюдений, под которым понимают параметр функции распределения результатов наблюдении, характе­ ризующий их рассеивание и равный корню квадратному из диспер­ сии .результата наблюдения с положительным знаком.

Как следует из приведенного определения, для нахождения среднего квадратического отклонения необходимо знать закон рас­ пределения случайной погрешности. В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей является нормальный закон (Гаусса), который ба­ зируется на двух аксиомах:

1)при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто;

2)чаще всего встречаются меньшие погрешности, а большие погрешности встречаются тем реже, чем они больше.

46

Математически нормальное распределение случайных погрешно­ стей может быть представлено следующей формулой:

(31)

где р (о) — плотность вероятности случайной погрешности Ô; о* — среднее квадратическое отклонение.

Характер кривых, описываемых уравнением (31) для двух зна­ чений о, показан на рис. 17. Из этих кривых видно, что чем меньше о", тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем

ряда наблюдений (или срединная погрешность). Вероятной погреш­ ностью называется такая погрешность, относительно которой при повторных измерениях какой-либо величины имеются Случайные погрешности, одна половина которых по абсолютной величине

Наряду с погрешностями о и е, применяется еще средняя ариф­

где I pu означает аосолютную величину остаточной погрешности. Можно также установить связь а и а. Оказывается, что

о'

1Деление суммы квадратов остаточных погрешностей па п — 1 вместо п приближает вычисляемое значение а к его теоретическому значению. Чем больше я, тем ближе вычисленное значение о к его теоретическому значению.

47

Погрешность среднего арифметического. Как ранее указывалось, среднее арифметическое ряда измерений Аср является лишь наиболее достоверным (следовательно, приближенным) значением измеряемой величины. IIa основании экспериментальных результатов можно дать вероятностную оценку погрешности среднего арифметического. (Погрешность среднего арифметического является случайной вели­ чиной.) Если случайные погрешности распределены по нормальному закону, Л с р также имеет нормальное распределение со средним квад-

ратическим отклонением оѵ'|/п. Для уточнения значения Аср можно выполнить Лг рядов измерений, на основании которых может быть вычислено среднее арифметическое результата измерений по сред­

ностью. Доверительный интервал выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются

погрешность по абсолютной величине будет больше За. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем За, будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным ос­ нованием утверждать, что все возможные случайные погрешности

Закон равномерной плотности. Кроме нормального закона рас­ пределения случайных погрешностей, в практике электрических из­ мерений сравнительно часто встречается закон равномерной плот­ ности. При измерении какой-либо величины прибором всегда суще­ ствуют некоторые границы неопределенности, например, определяе­ мые основной погрешностью прибора. В пределах этих границ не­ возможно установить опытным путем значение измеряемой величины, которое в пределах границ может быть различным, причем эти зна­ чения могут оказываться равновероятными.

48

На рис. 18 показан симметричный закон равномерной плотно­ сти. Аналитически он может быть записан так:

В практике измерений встречаются и другие законы распреде­ ления, которые могут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных.

8. Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений

Погрешность результата прямых измерений. Измерения физиче­ ских величин могут быть произведены с различной точностью. Иногда оказывается вполне достаточным знание приближенного значения измеряемой величины, полученного, например, по показанию при­ бора низкого класса точности. В некоторых научных исследованиях при измерениях, преследующих цель определения точности изготов­ ления какой-либо детали и др., оказывается необходимым дать оценку погрешности результата измерения или установить границы искомого параметра. Эти оценки могут быть получены на основании обработки результатов наблюдений. При выполнении точных изме­ рений имеется в виду их правильность, т. е. близость к нулю систе­ матических погрешностей. Как следует из § 7, для оценки случайных погрешностей необходимо знать закон их распределения. При из­ мерении какой-либо величины чаще всего имеется несколько источ­ ников случайных погрешностей, например, основная погрешность прибора, погрешность отсчета, неучтенные отклонения окружающей температуры от нормальной и др. Если соблюдены условия возмож­ ности применения центральной предельной теоремы теории вероят-

49