Файл: Электрические измерения. Общий курс учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 212

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теория движения подвижной части магнитоэлектрического галь­ ванометра. В качестве примера рассмотрим теорию движения под­ вижной части магнитоэлектрического гальванометра. Как было выведено в § 12, вращающий момент магнитоэлектрического изме­ рительного механизма выражается формулой

M = BswI.

В магнитоэлектрических гальванометрах используется магнитоиндукционное успокоение. Коэффициент успокоения Р можно пред­ ставить в виде суммы двух слагаемых Р = Рх + Р2, где Рх — коэф­ фициент успокоения рамки вследствие ее трения о воздух; Р2 — коэффициент магнитоиндукционного успокоения.

Коэффициент Рх не поддается изменению или регулировке в уже изготовленном приборе; в первом приближении момент успоко­ ения вследствие трения рамки о воздух пропорционален угловой скорости движения рамки, т. е.

Величина коэффициента Р2 может быть определена путем сле­ дующих рассуждений. При повороте рамки из положения покоя на угол а поток Ф, пронизывающий ее контур, изменится и, следо­ вательно, в обмотке рамки возникает э. д. с.

сІФ

п

da

,

е = — w —гг

= wBs

 

dt

 

dl '

поскольку при радиальном магнитном поле в зазоре, в котором

поворачивается

рамка,

Ф =

Bsa.

 

 

 

 

Э. д. с.

ев

обмотке

рамки

гальванометра,

если

рамка замкнута

на

некоторое внешнее

сопротивление,

создает

ток

 

 

 

 

 

.

е

 

 

wBs da

 

 

 

 

 

 

1 — r r + r w , ~

rr

+ r m d t '

 

 

где

r r и rB H

— сопротивления

обмотки

рамкіг и той

внешней цепи,

на

которую

она замкнута.

 

 

 

 

 

 

В результате взаимодействия этого тока с магнитным потоком

постоянного магнита

возникает тормозящий движение рамки момент

 

 

 

MP2

= wBsix=

 

Гг + Гвп dt

_р2<1*

 

 

 

 

 

 

 

z dt

 

Таким образом, суммарный тормозящий момент выразится следую­ щим уравнением:

МР = Mn + Mpt = - (Рх + Р2 ) g = - Р g ;

Необходимо отметить, что решающее влияние на значение сум­ марного коэффициента успокоения Р = Рх + Р2 оказывает коэффи­ циент магнитоиндукционного успокоения Р2.

Полагая момент трения Mf = 0 вследствие крепления рамки гальванометра на подвесе и подставляя значения вращающего мо-

174

мента M,

противодействующего

М% и тормозящего

Mі> в уравне­

ние (ПО),

получим

 

 

 

J C ^ + Pd^

+ Wa = BswI.

(112)

Уравнение движения (112) есть линейное дифференциальное урав­ нение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью. Для момента равновесия, когда рамка гальванометра от­ клонится на конечный угол ас , это уравнение примет вид:

 

 

 

Wac

=

ivBsI

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а с

wBs

т

 

 

,, . 0 .

 

 

 

= - ^ - / .

 

 

(113)

Можно уравнение (112) несколько упростить и решение сделать

более удобным для

анализа

путем введения безразмерных

координат

и коэффициентов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим у =

—.

Тогда,

учитывая

равенство (ИЗ),

получим

 

 

J (Ру

, P d y ,

 

 

 

В качестве независимой неременной вместо времени

t введем

угол т (в радианах) вектора, вращающегося с

круговой

частотой 1

 

 

 

со,,

у

J •

 

 

 

 

 

 

°~

 

 

 

т. е. положим т =

ю0£. Принимая

во

внимание,

что

 

a

 

dy

dy

dx

-|^/ W

dy

 

 

 

 

dhj

___ W

d2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение перепишем

так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 + 2 ß g

+

If =

i . -

 

(114)

Коэффициент ß в электроизмерительной технике носит специ­ альное название — степень успокоения.

Для решения уравнения (114) необходимо составить его харак­ теристическое уравнение. Последнее имеет вид:

хг + 2$х + 1 = 0,

а его корни

х 1 = = _ ß - f V ß 2 _ l ; х2= — ß — V ß2 — 1.

1 Далее, см. уравнение (118), будет показано, что ш0 есть круговая частота свободных, пли незатухающих, колебаний подвижной части гальванометра.

175

В зависимости от значения ß корни уравнения могут принимать различные значения, чем и будет определяться вид решения исход­

ного

уравнения, а следовательно, и характер движения

подвижной

части

гальванометра.

 

 

 

 

 

 

Необходимо

различать

три

характерных

случая:

 

1)

ß <

1 —

корни

мнимые

и разные — движение

подвижной

части гальванометра имеет колебательный характер;

 

2)

ß >

1 —

оба корня

вещественные

и разные — движение под­

вижной

части

носит

апериодический характер;

 

3)

ß

— 1 — оба корня

вещественные

и

равные, что

соответст­

вует граничному случаю апериодического движения подвижной части, представляющему для практики особый интерес.

Колебательное

движение.

Если ß < 1,

т. е. корни

мнимые п

разные, то согласно теории линейных дифференциальных

уравне­

ний с постоянными коэффициентами решение исходного

уравнения

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

у = 1+

ег^ ( d cosт У Т Н Р + Сгsin

т j / T ^ ß 5 ) ,

 

(115)

где Cj

и Cr — постоянные

интегрирования,

определяемые

началь­

ными

условиями.

 

 

 

 

 

Если в начальный момент времени подвижная часть гальваноме­ тра находилась в состоянии покоя, т. е. при т = 0 у = 0 и ^ = 0,

то из

уравнения (115)

следует,

что С\ =

—- 1 и

 

 

 

 

 

 

С =

ß

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V i — ß a "

 

 

 

 

Подставляя значения постоянных Сг и С2 в

уравнение

(115),

решение уравнения

(114)

можно написать

в

следующем виде:

 

ftp< » = 1 -

^

=

sin

(т V T ^ ß l

+

arctg

.

(116)

Из

уравнения (116) можно сделать следующие

выводы.

 

1.

Наличие во втором слагаемом в правой части этого уравнения

члена с экспоненциальным множителем е~$х показывает, что это

слагаемое с

течением времени стремится

к нулю, а угол отклонения

подвижной

части — к конечному углу

ус --= 1 (а — ас).

Теоретически это будет достигнуто через бесконечно большой промежуток времени. Принято считать отклонение подвижной части гальванометра установившимся, когда она достигает этого откло­ нения с некоторой погрешностью п в процентах. Обычно величина этой погрешности принимается равной ± (0,1 — 1,0)%.

2. Наличие в том же члене уравнения тригонометрической функ­

ции указывает, что подвижная часть до достижения

ею конечного

угла,

при котором у = 1, совершает колебательное движение (кри­

вая /

на рис. 119, а и б).

 

 

 

3.

Период колебательного

движения

подвижной

части \ может

быть

определен на основании

следующих

рассуждений.

176

Функция у = / (т) достигает наибольших и наименьших зна­ чений при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi

- ß2

 

 

 

 

 

где к — целое число: 0; 1, 2, 3 и т. д.

 

 

 

 

 

Максимальные

значения

функции

будут

при

нечетных

зна­

чениях

 

к.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, период ко­

 

 

 

 

 

 

 

лебаний

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

То — Ті

— г

~ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vi-ß».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Период

колебаний

в се­

 

 

 

 

 

 

 

кундах

 

составляет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

 

(117)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

ß =

0,

то

колеба­

 

 

 

 

 

 

 

ния

подвижной

части

неза­

 

 

 

 

 

 

 

тухающие

или

свободные.

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

(117),

выражаю­

б)

 

 

 

 

 

 

щее

в

этом

 

случае

период

 

~есе

 

 

 

 

 

свободных

колебаний

под­

 

 

 

 

 

 

 

вижной

части

(в

секундах),

 

 

 

 

 

 

 

превращается

в

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

 

(118)

 

 

 

 

,É>Î

 

 

 

 

 

 

 

(|)„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Апериодическое

движение.

 

 

 

 

 

 

 

При

значениях ß >

1

корни

 

 

 

 

 

 

 

характеристического

уравне­

 

 

 

 

 

 

 

ния

вещественные

и

разные:

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

=

_ ß + v

ß 2

— 1 ;

Рис.

119. Характер движения рамки галь­

 

x 2

=

- ß

- |/

ß 2

- l .

ванометра:

а — после

замыкания

цени;

 

 

б — после

отключения источника

На основании теории линейных дифференциальных уравнений

решение

уравнения

(114) может быть представлено

так:

 

 

 

 

 

 

y = l + e

- ß * (Cje-rfP^

+ C V v

^ z r { ) .

(119)

Постоянные Сх и Сг могут быть найдены из тех же начальных

условий:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ß - / ß » - l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 К ß 3 — 1

 

 

2 |/ ßa — *

 

 

Подставляя полученные значения для ^

в С2 в уравнение

(119),

получим

 

 

1

e -ßt [ ( _ ß +

| ^ ß « _ l ) e - t / p « - l _ | _

 

Уф>-і)

 

 

 

 

= 1 — ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 K ß a - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (P + V 'ßa — l ) e * ^ ß , - i . .

177

Вводя гиперболические

функции

 

 

 

 

 

 

sh X =

s—

;

cil X

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j / ( ß > i , = 1 -

г т

— ( е shr

У > -

1 + V ß 2

-

1 c h t T / ß 2

-

1).

Обозначим .

V 9

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] / ß 2 _ i =

s h6

и ß = c h 8 .

 

 

 

Окончательно

выражение

для

 

> и примет

вид:

 

 

Ѵ ( р > „ = 1 — - g l ^ -

sh

 

i т j /

l - ß2 +

arcth T - E _ J

] .

( 1 2 o)

На рис. 119, a и б кривая 77 показывает характер движения под­ вижной части гальванометра при апериодическом режиме. В этом случае подвижная часть гальванометра приближается к установив­ шемуся отклонению, не переходя его.

Режим критического успокоения. Если подобрать внешнее сопро­ тивление, на которое замкнута рамка гальванометра, таким, чтобы

степень успокоения ß =

1, то

корни

характеристического

уравне­

ния будут

вещественные

и

равные

 

хг

— х3 = —

1. В

этом

случае

интеграл уравнения (114)

имеет вид:

+ C 2 T ) .

 

 

 

 

y ( P = ]) = l + e - t

( C 1

 

 

 

Из начальных условий следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

С 1 =

С 2

= - 1 .

 

 

 

 

Решение

уравнения

(114)

имеет

вид:

 

 

 

 

 

ЮР = і) = 1 - е - * ( 1 + т ) .

 

 

 

Рассмотренному случаю

соответствует

кривая

77/

на рис. 119,

a и б. Из сопоставления

кривых І 7 /

и I I

видно, что при ß =

1 под­

вижная часть двигается апериодически и при этом наиболее уско­ ренно.

Этот пограничный случай апериодического движения принято называть критическим успокоением.

Суммарный коэффициент успокоения, отвечающий критичес­ кому успокоению гальванометра, называется коэффициентом крити­

ческого успокоения Ркр.

Его значение может быть определено из

выражения

 

2VJW

'г + 'вн.кр

178

Смотрите также файлы