Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Р и с . 2. П р е о б р а з о в а н и е а н а ­ л о г — к о д п р и ч е т ы р е х р а з р я д ­ н о й ц и ф р о в о й з а п и с и . ( Т р е х ­ р а з р я д н о е ч и с л о п л ю с з н а к . )

а — п — с т у п е н и э т а л о н н о г о н а ­ п р я ж е н и я .

буквами а—о. Из рисунка видно, что четырехразрядное кодирование вносит гораздо меньше искажений во входной сигнал, чем двухразряд­ ное; погрешности квантования по уровню, характеризующиеся вели­ чиной заштрихованных участков на рис. 1 и 2, во втором случае зна­ чительно меньше, чем в первом.

Помимо этих погрешностей, важным показателем качества кван­ тования по уровню является динамический диапазон записи, обеспе­ чиваемый квантованием с заданным числом разрядов. Динамический диапазон D записи 1 характеризуется выражением

# = 20 l g - ^ L ,

где утзх и ymin — соответственно максимальное и минимальное напря­ жение, которое может быть отображено при данном количестве раз­ рядов.

Пока сигнал не превысил уровень а (см. рис. 1), он будет кодиро­ ваться как нуль, т. е. будет фиксироваться отсутствие сигнала. Сле­ довательно, величина ymin равна абсолютным значениям уровней а или Ъ, т. е. равна х / 2 . С другой стороны, как бы ни был велик сигнал, при двухразрядном кодировании (с учетом знака) он не может быть передан числом, большим по абсолютному значению, чем единица.

иногда до 18 разрядов. При обработке обычно используют 10 -f. 15разрядные числа. Такая разрядность обеспечивает удовлетворитель­ ную точность представления записи, необходимую прежде всего при регистрации слабых сейсмических сигналов на фоне помех. Динами-

12

ческий диапазон 60 -f- 90 дБ, обеспечиваемый 10—15-разряд- ным кодированием при обработке, оказывается вполне доста­ точным.

Рассмотренный способ квантования записи по времени с равно­ мерным шагом At иногда называют эквидистантным кодированием. Из других способов кодирования, применяемых в сейсморазведке, следует упомянуть так называемое кодирование в точках экстрему­ мов, при котором считываются и запоминаются времена регистрации всех экстремумов на сейсмической записи, а также величины («ампли­ туды») экстремумов. Способы обработки записи, кодированной таким образом, отличаются от способов обработки эквидистантной записи. В дальнейшем мы обработку записей, кодированных в точках экстре­ мумов, рассматривать не будем.

В Е К Т О Р Н Ы Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Я С Е Й С М И Ч Е С К И Х С И Г Н А Л О В

В некоторых случаях целесообразно переходить от представления цифровых сейсмических записей как последовательностей дискретных чисел к их геометрическим представлениям в форме векторов в много­ мерном пространстве. Последовательность из п элементов, описыва­ ющая сигнал, может быть представлена в виде вектора в «-мерном пространстве таким образом, что каждый элемент последовательности представляет собой координату вектора в n-мерной ортогональной системе координат. Например, в последовательности, состоящей из трех элементов, первый элемент будет равен абсциссе вектора, отобра­ жающего данную последовательность, второй элемент — ординате и третий— аппликате. Поясним это на примере. Пусть сигнал описы­ вается последовательностью, состоящей из двух элементов: xt — 2,5. Такой сигнал может быть изображен вектором х на плоскости, как это показано на рис. 3.

л е н н о г о д в у м я от­ счетами .

13

вектором у в трехмерной системе декартовых координат, как это пока­ зано на рис. 4.

Для описания реального сейсмического сигнала требуется последо­ вательность, состоящая не из двух и не из трех, а из значительно большего количества элементов: например, для описания сигнала про­ должительностью 60 мс при временном квантовании записей в 2 мс потребуется последовательность, состоящая из 30 элементов. Для гео­ метрического изображения такой последовательности потребуется вектор в тридцатимерном пространстве. Конечно, вектор с числом компонент, большем трех, нельзя представить наглядно. Однако отсутствие наглядности представления векторов в многомерном про­ странстве не лишает смысла векторные представления сейсмических записей. Такие представления позволяют математически описать (независимо от размерности пространства) многие процессы обра­ ботки и определить пути машинной реализации этих процессов.

В теории цифровой обработки сейсмических данных наиболее часто используются две математические операции, осуществляемые над векторами, описывающими сейсмические сигналы: сложение век­ торов, дающее новый вектор, компоненты которого представляют со­ бой суммы одноименных компонентов векторов — слагаемых, и ска­ лярное произведение двух векторов, представляющее собой скаляр, равный сумме произведений одноименных компонентов векторов — сомножителей

двух векторов (1.3) мы встречаемся с суммированием парных произ­ ведений; как будет показано ниже, такая операция является типич­ ной для процессов цифровой обработки сейсмических данных.

Таким образом, любая последовательность, имеющая число эле­ ментов п > 1 , может рассматриваться как вектор; каждый же эле­ мент последовательности, взятый в отдельности, будет представлять собой скаляр.

М А Т Р И Ч Н А Я Ф О Р М А П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Я С Е Й С М И Ч Е С К И Х З А П И С Е Й

При обработке сейсмических данных приходится встречаться с последовательностями, каждый элемент которых представляет собой также последовательность. В определенных случаях такие сово­ купности последовательностей целесообразно рассматривать не по отдельности, а в виде матриц. Общая форма матрицы, состоящей из строк и столбцов, имеет следующий вид:

14

т X п (т — число строк, п — число столбцов). Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами и обозначаются двумя индек­ сами, первый индекс обозначает номер строки матрицы, в которой

Примером матрицы может служить запись многоканальной сейсмо­ граммы. Записи каждой трассы будут представлять собой столбцы матрицы, а значения сигнала, считанные со всех трасс в один момент

Такие матрицы широко применяются в теории цифровой обработки сейсмических данных; большинство обрабатывающих операций может быть описано с использованием только этих типов матриц.

И матрица-строка и матрица-столбец представляют собой после­ довательности, состоящие из скалярных элементов, а сами могут рассматриваться как векторы в многомерном пространстве. Матрицы типа m X п также представляют собой последовательности строк или столбцов, но каждый элемент таких последовательностей (т. е. строка или столбец) представляет собой уже не скаляр, а вектор.

Из алгебраических действий, производимых над матрицами, рас­ смотрим перемножение двух матриц, транспонирование и инверсиро-

15

вание (обращение) матриц, как наиболее часто употребляемые в тео­ рии цифровой обработки сейсмических данных.

Рассмотрим умножзние матрицы А на матрицу В. Прежде всего отметим, что подобная операция имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А имеет столько жз столбцов, сколько матрица В строк. Следовательно, если первым сомножителем является матрица типа т X п, то вторым сомножителем должна быть матрица п X р. Произведением будет матрица типа т X р.

Для того чтобы сформировать матрицу С, представляющую собой произведение матрицы А на матрицу В, необходимо определить эле­ менты матрицы С по следующему правилу: элемент матрицы С, стоя­ щий в i-й строке и j-u столбце, должен быть равен сумме парных про­ изведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие им элементы /-го столбца матрицы В. Следовательно, если матрица

то матрица С, равная произведению матрицы А на матрицу В, будет составлять

Поясним процесс перемножения двух матриц числовым примером:

чо

2 - 2

Операция перемножения двух матриц не является коммутатив­ ной — при перестановке сомножителей местами произведение изме­ няется: А-В Ф В- А. Для подтверждения этого повторим перемноже­ ние двух приведенных выше матриц, переставив местами сомножи­ тели

Как видим из приведенного примера, перестановка сомножителей привела к изменению получаемого произведения.

16