Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Скачать файл (23,01Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Рассмотрим некоторые частные случаи перемножения матриц. В теории цифровой обработки сейсмических данных часто исполь зуется такое действие, как умножение матрицы-строки на матрицустолбец. Напомним, что такая операция осуществима только в том случае, когда первый сомножитель (матрица-строка) имеет столько же столбцов, сколько второй сомножитель (матрица-столбец) имеет строк. Следовательно, матрица-строка типа 1 X п может умножаться на матрицу-столбец типа п X 1. Произведение таких матриц будет иметь только одну строку и только один столбец, т. е. будет предста влять собой скаляр. Формулу умножения матрицы-строки на матрицу-столбец

(	в \
(А,А,...А„)-1	\ = А1В1+АгВ,	+ ...АпВ,	= ^А,В,	(1.7)

поясним числовым примером

(1, 0, - 3 ) - ^ l j = l - 2 + 0 - l = 3 - 4 = - 1 0 .

Если каждый из сомножителей, т. е. матрицу-строку и матрицустолбец, рассматривать как векторы, то, как это вытекает из выраже ния (1.7), их произведение есть не что иное, как скалярное произве дение двух векторов (1.4).

При умножении матрицы-строки типа 1 X т на прямоугольную матрицу типа т X п получают матрицу-строку типа 1 X в:

(3, —		= ( 3 - 2		— 1-0, 3 . ( - 1 ) - Ы ) =		(5, - 4 ) .
При умножении прямоугольной матрицы типа т					X	п на матрицу-
столбец п X	1 получают		матрицу-столбец типа m. X			1:
5	l)	J 2) =	(	5-2 + 1 - ( - 2) \ = /	8
- 2	З / Л - 2 /		V—2-2+3-(—2)У		1-10
Транспонированием матрицы называют замену в исходной матрице
строк столбцами,		например

A-[Z ZYZh (1-8>

где А иАТ — соответственно исходная и транспонирования^ чятрмт,т В результате транспонирования матрицы-строки получают мат рицу-столбец, а при транспонировании матрицы-столбца получают

матрицу-строку.

Инверсированной (обратной) матрицей (А* или А"1 ) называется матрица, которая, будучи умножена либо справа, либо слева на исход ную матрицу А, дает единичную матрицу Е, у которой элементы, имеющие одинаковые индексы, равны единице, а все остальные равны нулю:

А*-А = А-А*=Е.

(1.9)

Для вычисления инверсированной матрицы выполняют следу ющие действия: 1) транспонируют исходную матрицу; 2) заменяют каждый элемент транспонированной матрицы определителем, полу ченным в результате вычеркивания строки и столбца, в которых рас положен данный элемент; 3) этот определитель сопровождают зна ком «+», если сумма индексов элемента четная, и знаком «—», если она нечетная; 4) делят полученную матрицу на определитель исход ной матрицы.

Поясним это на числовом примере. Исходная матрица / 1 о\

Л - [ - 1	2,
Транспонированная матрица
1	- 1
л
т " \0	2

Произведем замену элементов транспонированной матрицы

2 (Г

v - ( - i ) 1,

Отметим, что в рассматриваемом примере (матрица типа 2 X 2) вместо подсчета определителя используется тот элемент матрицы, который сохраняется после вычеркивания соответствующих строки и столбца, с соблюдением указанного выше правила знаков. Подсчитав определитель исходной матрицы А —1-2—(—1)-0 = 2, получаем инверсированную матрицу

/ 1	0 \
\ 2	2 /

Проверим правильность произведенной инверсии

1 0\ О 1/ '

1 (Г О 1,

Поскольку в обоих случаях умножения {А А* и А*А) была полу чена единичная матрица Е, следует сделать вывод, что инверсирование было произведено правильно.


М А Т Р И Ч Н О Е П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е ПРОЦЕССОВ		О Б Р А Б О Т К И
Обработка сейсмических данных с помощью		вычислительной
машины осуществляется по схеме,	показанной на рис. 5. На вход
используемой для обработки ЭВМ	подается сейсмическая запись

в цифровой форме, представляющая собой последовательность дис кретных ЧИСеЛ X = Х0, Xi, хг, . . ., Хп _ t .

	В результате преобразования, выполняемого на ЭВМ по заданной
программе, на выходе машины получают новую		последовательность
У =	Уо1 У U У Zi • • -1 Ут-\-
	Преобразование входной последовательности х в выходную после
довательность у в общей форме можно отобразить выражением
	у = Ь (х),	(1.10)
где	L — оператор обработки, представляющий	собой совокупность

математических операций, обеспечивающих преобразование одной последовательности х в другую у.

Формула (1.10) отображает переход от х к у как при одинаковых, так и при разных аргументах у ж и у.В первом случае аргумент у опе ратора L такой же, как у хи у; во втором случае оператор должен быть функцией двух переменных — аргумента входной и аргумента выход ной функции.

С точки зрения векторных представлений процесс обработки сейсмических данных можно рассматривать как преобразование вход ного вектора х с компонентами х0, х ь х2, . . ., хп_х в выходной вектор у с компонентамиу0 , уt, у2, . . ., ут-\- Такой подход к рассмотрению процесса обработки позволяет конкретизировать формулу (1.10),

сделав ее пригодной для

реализации

с помощью

ЭВМ. Представив

входной вектор х в форме матрицы-строки типа 1 X п, умножим послед

нюю на

прямоугольную

матрицу

преобразования

типа

п X т.

В результате

перемножения

получим

матрицу-строку

типа

1 X т,

описывающую

вектор у:

^01

^02

• •

(m-1)

]

k10

к-ix

к 1 2

. .

•

(m-1)

^XQX-^Xc) .

• xn-l)

к 2 0

к<ь\

^-22

• •

•

k<i

(m-1)

; (У0У1У2

Ут-l)-

•k(n-i) о &(Л-1)

1^(Л-1)2 •

• k(n-l) (m- 1)

( l . H )

Р и с .

Схема

о б р а б о т к и

с е й

с м и ч е с к и х з а п и с е й .

Такая же операция преобразования может быть описана как умножение прямоугольной матрицы преобразования на вектор, пред ставленный в форме матрицы-столбца; результатом перемножения будет матрица-столбец, описывающая выходной вектор:

^-оо	k0i	к		^0
^-оо	k0i	""02	• •	^0
		""02	• •
	к1Х	к12	. .	^1 (я - 1)
^20	к21	к22	• .	^2
\к(т-1)	O^(m-l)	lk,(m-l) 2		. к (m-l) (n-l)

( X„ ^ { Vo

Ух

X., У2 (1.12)

Численные значения элементов матрицы преобразования рассчиты ваются применительно к требуемому режиму обработки. Покажем ис пользование формул (1.11) и (1.12) на примерах некоторых простей ших операции по обработке сейсмических данных.

Усиление входного сигнала в к раз осуществляется использова нием квадратной матрицы преобразования: первая строка матрицы преобразования содержит в первом столбце элемент к, остальные элементы равны нулю, в следующей строке элемент к смещается на один шаг, остальные элементы равны нулю, и т. д.

/А	0	0			/Уо	= кх0\
0	к	0	0	хг	Ух	=
0	0	к	0	w	У2	=
\о	0	0	J	w	Ч/з	=

Как видно из приведенного расчета, в данном случае получаем выходную последовательность, все элементы которой равны соответ ствующим элементам входной последовательности, увеличенным в к раз.

Введение временного сдвига на миллисекунд с точки зрения аналоговых приемов обработки идентично пропусканию входного сигнала через «идеальную» (т. е без искажений формы сигнала и отра

жений) электрическую линию задержки, создающую временное								запаз
дывание	входного сигнала на At				миллисекунд. Эта операция			осуще
ствляется	использованием			прямоугольной матрицы преобразования
	0	0	0	0	А	Уо =	0
	i	0	0	0	А	Ь'i =	*o
	0	1	0	0 •	:V Уг =		Х\
	0	0	1	0	\х5/	Уз =	Х2
	0	0	0	1)	\х5/
	0	0	0	1)

Как видно из приведенного примера, в данном случае-получаем выходную последовательность, элементы которой повторяют элементы

входной последовательности, но задержанные во времени на один интервал временного квантования, т. е. на время, равное At милли секунд.

П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е С Е Й С М И Ч Е С К И Х З А П И С Е Й В Ч А С Т О Т Н О Й О Б Л А С Т И . Д И С К Р Е Т Н Ы Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я Ф У Р Ь Е

Обратимся вначале к представлению о непрерывных сигналах х (t) и их комплексных спектрах X (со). Функции х (t) и X (со) свя

заны	парой	интегральных	преобразований	Фурье:
			оо
		Х И	= - ^ г [x(t)e-^dt,		(1.13)
			— со
			со
		x{t)=	\ X(co)e^dco,		(1.14)
			-00
где i	— мнимая единица; со — 2л/ — круговая частота.
Формулы		(1.13) и (1.14) устанавливают		однозначное	соответствие

между представлением х (t) сигнала во временной области и его пред ставлением X (со) в области частот.

По аналогии с (1.13) и (1.14) дискретным временным последователь ностям xt = х0, Xi, . . ., хп_г соответствуют в области частот последо вательности Х(о = Xi, Х 2 , . • ., XQ, связанные с xt парой дискретных преобразований Фурье: