Файл: Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

содержащая всего один ненулевой элемент. Из рис. 6 видно, что лишь в точке t = 0 косинусоиды суммируются без сдвига фаз и дают единственную ненулевую ординату; во всех остальных точках t = = ± 1 , ± 2 . . . сумма отсчетов косинусоид равна нулю.

22

Дискретные преобразования Фурье обладают рядом особенностей отличающих их от интегральных преобразований (1.13), (1.14).

1. Если непрерывной функции х (t) соответствует спектр X (со),, заданный в интервале — сог р , согр (рис. 7), т. е.

периоды располагаются справа и слева от главного на расстояниях

провести и некоторую другую кривую, представляющую собой функ­ цию х (t) с гармоническим заполнением, имеющим частоту со — 2л/At. Спектр такой кривой будет совпадать с первым побочным периодом

23-

20:/At

с

С(ы)

24

2 — ф и к т и в н а я с и н у с о и д а с з е р ­

главный период побочные периоды не накладываются; если же |сог р |

> л/At, то такое наложение происходит. Участки побочных периодов, накладывающиеся на главный период на частоте | со | s£ л/At, носят название зеркальных частот. Явление наложения зеркальных частот на главный период периодического спектра можно пояснить на при­ мере (рис. 10). Пусть компонента X (coj) исходного спектра X (со) имеет частоту щ ^>n/At. Из рис. 10 видно, что дискретность этой компоненты через интервал At приводит к появлению фиктивной сину­ соиды с частотой со2 < я / Л £ , которая будет суммироваться, с тем или иным фазовым сдвигом, с реальной компонентой главного пери­

постоянного множителя) спектру X (to) исходной непрерывной функ­

вить исходную функцию x(t). Если же |сог р | <Ся/Д£ и произошло на­ ложение зеркальных частот, то ни на каком участке оси со мы не най­ дем такого периода периодического спектра Ха, который совпадал бы с X (ы). ЭТО в свою очередь лишает нас возможности восстановить исходную непрерывную функцию х (t) точно. Она может быть вос­ становлена лишь с погрешностями, причем величина погрешностей определяется интенсивностью спектральных составляющих в области зеркальных частот.

представляет собой важную границу: если ненулевые ординаты глав­ ного периода спектра X (со) не выходят за пределы этой границы, то возможно точное восстановление функции х (t); если же выходят за пределы — то такое точное восстановление невозможно. Частоту Q = ±n/At иногда называют найквистовой частотой.

3. Рассмотренные особенности спектров дискретных функций позволяют сформулировать теорему Котельникова, или теорему от счетов: если спектр X (со) некоторой непрерывной функции х (t) задан в ограниченной полосе частот — ю г р =S со ^ сог р , то функцию х (t) можно полностью восстановить по ее отсчетам, заданным через интервал At <С_л/<огр (имеется в виду восстановление функции в про­ межутках между отсчетами). Эта теорема лежит в основе выбора

25

величины шага дискретизации At. Из теоремы вытекает, что если самая высокая частота в спектре X (со) функции х (t) равна

то максимально возможным шагом дискретизации является такой шаг At = л / с о г р , при котором у спектральной компоненты X (со г р ) на частоте с о г р получаются два отсчета на период.

В зависимости от фазового сдвига рассматриваемой спектральной компоненты, определяемого формулой (1.21), эти два отсчета попадут

ненте X (со г р ) спектра. В первом случае (отсчеты попали на макси­ мумы) компонента X (со г р ) будет восстановлена полностью; во вто­ ром — ее амплитуда будет занижена до нуля, остальные случаи являются промежуточными. Казалось бы, это ставит под сомнение теорему Котельникова: раз не обеспечивается точное воспроизведение компоненты спектра на частоте с о г р , значит не может быть точно воспроизведен и весь спектр.

На самом деле это противоречие кажущееся. Теорема сформули­ рована для функций, имеющих спектр, ограниченный в полосе частот от •— с о г Р до с о г р . Такой спектр, как известно, могут иметь только бесконечно протяженные функции z (t). С другой стороны, беско­ нечно протяженные функции имеют непрерывный спектр. Это озна­ чает, что компонента спектра на частоте меньше | с о г р ) на бесконечно малую величину уже будет восстановлена без ошибок. Следова­ тельно, и вся функция х (t) будет восстановлена точно.

Таким образом, для абсолютно точного соблюдения теоремы Котельникова необходимо, чтобы функция х (t) была бесконечно протяженной, а условие (1.23) соблюдалось строго. При этих усло­ виях выбирать шаг дискретности меньшим, чем At = нет никакого смысла. Между тем сейсмические трассы являются огра­ ниченными во времени функциями; в еще большей степени это отно­ сится к отдельным сейсмическим сигналам. Такие функции не могут иметь ограниченного спектра; лишь с той или иной степенью при­ ближения можно говорить о том, что их спектр задан в конечном интервале от до Поэтому и теорема Котельникова при­ менима к сейсмическим сигналам лишь с той или иной степенью приближения.

Выше были рассмотрены принципиальные возможности восста­ новления исходной непрерывной функции по ее дискретным отсчетам, реализуемые только при идеализированном способе интерполяции между отсчетами, а именно при аппроксимации исходной непрерыв­ ной функции рядом Котельникова [38, 85]. Практически же обра­ ботка записи выполняется с помощью таких способов, в которых реализуется (или подразумевается) более грубая аппроксимация исходной функции, например линейная интерполяция между от­ счетами или замена гладкой кривой ступенчатой функцией (см. рис. 1 и 2). Это приводит к дополнительным погрешностям, связанным с дискретизацией лишь косвенно, через посредство принятых способов обработки. Установлено, что для огра-

26