Файл: Теория и техника передачи данных и телеграфия учебник..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 267
Скачиваний: 1
Так как |
|
2 jB{j,n) |
= ^iel = Mmu, |
то |
|
|
|
|
|
НО, |
|
|
= |
|
|
= л |
|
|
|
||
Свойство |
5.4. |
Плотность |
ошибок |
при любых л и m не может |
|||||||||||
быть меньше |
вероятности |
ошибочного приема |
элемента |
р, т. е. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
v (/и, п) ;; |
/?. |
|
|
|
|
|
|||
Это свойство является непосредственным следствием свойств |
5.2 |
||||||||||||||
и 5.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим некоторые свойства плотности ошибок первого |
|||||||||||||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению с учетом свойства 5.3 |
получим |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
JPU, |
|
п) |
|
|
|
|
|
|
|
|
О - я) |
= 4_ " |
' o U , |
„ |
|
= |
-, |
о , п |
• |
(5- |
24) |
|||
Так |
как |
при |
|
|
п |
Я ( > 1 , |
п) |
|
|
1 ~Р(0, |
п.)' |
|
|
||
|
любом |
распределении ошибок вероятность |
|||||||||||||
Я (О, Я ) > Я ( 0 , « + |
1), |
TO |
v ( l , « ) > v ( l , Д + |
1), |
т . е . плотность |
||||||||||
первого порядка не возрастает с увеличением |
п. |
|
|
||||||||||||
Для |
гипотетического канала, |
в |
котором |
расстояния |
между |
||||||||||
соседними ошибками |
превышают |
некоторую |
величину |
/г„ |
|||||||||||
v(l,n)=l;/i |
|
при |
|
п<Сп,\. |
|
Так |
как |
в |
этом случае Р(\,п) |
= |
|||||
= Р(>1, |
л), |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
/Я (у, я) = |
0. |
|
|
|
|
|
||
Для |
канала с |
независимыми |
ошибками |
|
|
|
|
||||||||
|
|
v ( | , „ ) = - i = » |
|
|
|
= |
Т ^ Г , |
|
|
где q ~ 1 — /?.
На рис. 5.14 показана зависимость v ( l , п) от п при различ ных значениях р для каиала с независимыми ошибками. Не трудно убедиться, что при малых пр значения v ( l , п) достаточно близки к 1/п и в этом смысле канал с независимыми ошибками
при |
пр <<; 1 весьма |
близок к |
ранее |
рассмотренному |
гипотетиче |
|||||||||
скому каналу с одиночными ошибками. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
На рис. 5.15 |
в виде графиков |
приведены |
значения |
v ( l , я ) , |
по |
||||||||
лученные экспериментально для различных каналов. |
|
|
|
|||||||||||
|
Статистические |
значения |
v ( l , п) |
вычислялись |
по |
формуле |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v ( 1 , Я) |
= |
|
. |
: , |
|
|
|
(5.25) |
||
|
L |
|
|
V |
' |
Я # ( > 1 , П) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
2 |
e i = Мош |
— общее |
число |
ошибок в |
выборке |
Z; |
|||||||
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В ( > 1 , п) — число |
комбинаций |
с одной |
и более |
ошибками. |
|
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НҐ |
|
|
р=ю~г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
10-г |
|
1 |
/ |
|
р=/0'3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ю4 |
|
/0і |
|
10е |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
5.14. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Из рис. 5.15 "видно, что значения |
' ' ( І . я ) |
для |
реальных |
||||||||||
каналов |
существенно превышают |
величину |
1 я. Тот |
факт, |
что |
|||||||||
в области малых |
значений |
пр |
величина |
v ( ] , п) > |
1 п, можно |
|||||||||
объяснить лишь |
группированием ошибок. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
По величине v ( l , п) |
при некотором фиксированном |
значении |
я можно судить о степени группирования ошибок в дискретном канале, если считать, что увеличение доли ошибок высших крат ностей идентично увеличению степени группирования. Однако плотность v ( l , я) является функцией двух аргументов я и р. По этому для сценки степени группирования ошибок целесообразно найти такой параметр, который не зависит от я и р. Это можно сделать, используя свойство плотности ошибок v ( l , я ) , заклю
чающееся в том, что в области малых |
пр значение l o g v ( l , я) |
почти линейно зависит от l g n как для |
канала с независимыми |
ошибками, так и для реальных дискретных каналов. Сказанное иллюстрируется графиком, изображенным на рис. 5.15, а также подтверждается другими экспериментальными данными приво димыми в работах [53, 57, 58].
Так как v ( l , l ) = l по определению, то наклон прямой однознатно характеризует величину v ( l , п) в области малых пр и, следовательно, степень группирования ошибок в дискретном ка нале связи.
Определение |
5.2. Если существует предел |
|
|
|
Р^О |
a log га |
(5.26) |
|
|
то дискретный канал будем называть каналом с логарифмиче-
О К И - Л И ' Н Р Й Н О Й плотностью, а величину а=1 - (~а — показателем группирования ошибок дискретного канала.
п
Ю' - - - -
|
to |
so то |
500 |
|
Рис. |
5.15. |
|
В |
реальных каналах р всегда |
конечно, |
поэтому на величину |
v ( l , п) |
влияют как комбинации с многократными ошибками, воз |
никающими вследствие неоднородности канала, так и комбина ции с многократными ошибками, имеющими конечные вероят ности появления и в канале с независимыми ошибками (одно родном канале). Использование предельного перехода в опреде лении дает возможность выделить влияние на величину v ( l , п) лишь комбинаций с многократными ошибками, появляющимися вследствие неоднородности канала, т. е. наличия в нем группи рования ошибок.
Экспериментально установлено [53], что для большинства реальных каналов функция v ( I , п) может быть аппроксимиро вана формулой
|
H h |
n |
) |
= - - ^ |
/ - |
' |
(5.27) |
|
|
|
|
1 — qn |
|
|
|
где со — некоторая |
константа |
( ( K < c o < : i ) . |
|
|
|||
Подобной зависимости соответствуют экспериментально по |
|||||||
лученные значения |
п), |
изображенные |
на рис. 5.15. |
||||
Определим предел а для каналов, в которых плотность оши |
|||||||
бок вычисляется по формуле |
|
(5.27): |
|
|
|
||
flM0gv(l, |
П) |
|
со log q |
а |
|
||
|
d log « |
|
|
1 |
qn |
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
.. |
d l o g v ( l , n ) |
|
|
|||
|
Р^О |
|
|
dlogn |
|
|
|
Следовательно, |
подобные |
каналы |
также |
являются |
каналами |
||
с логарифмически-линейной |
плотностью и в этом случае показа |
||||||
тель группирования |
а = 1 — со. |
|
|
|
|
||
При значениях |
tip < [ 1 |
для вычисления |
|
можно ис |
|||
пользовать упрощенную |
формулу |
|
|
|
|||
|
v ( l , / * ) ^ _ r W . |
|
(5-28) |
||||
Относительная погрешность Д в данном |
случае равна [53] |
||||||
|
Л < " |
|
п |
Р- |
|
|
На основании экспериментальных результатов, полученных при исследовании реальных каналов, установлена следующаязакономерность: при п < 5 1 1 значения плотности порядка т огра ничены сверху и снизу, т. е.
—< v (/п, я ) - < —
п' ' \пу
где Ь — некоторая константа ( 0 < 6 < 1 ) .
Существование нижней границы было доказано ранее; нали чие верхней границы является фактом, установленным экспери ментально. Более того, для большинства реальных каналов при
т/п<0,\ |
значения v(in, |
п) весьма |
близки к верхней границе (при |
|
Ъ — 1 — а ) , если величина(яг/я)'~я |
хотя бы в несколько раз больше |
|||
р. Другими словами, |
при указанных выше ограничениях |
спра |
||
ведлива |
формула |
>(,л,п)^(-^У~\ |
|
|
|
|
(5.29) |
5.4.4. |
Методика |
расчета |
вероятностей |
Р(т, |
п) и Р ( > т, |
п) |
|
|
для реальных каналов |
связи |
|
|
|
Вероятности приема п-элементной комбинации с т ошибками |
||||||
Р(т, п) |
и с т |
и более |
ошибками Р(^т, |
п) |
необходимы |
для> |
расчета достоверности, обеспечиваемой корректирующими кода ми и системами передачи дискретных сообщений. Поэтому воз можность достаточно точного расчета данных вероятностей яв ляется обычно одним из критериев пригодности той или иной модели в инженерной практике.
Изложим методику расчета этих вероятностей, используя рассмотренные ранее статистические свойства последовательно
сти ошибок реальных каналов связи. Так |
как |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 у Я ( у , п) |
тР{т,п)+ |
S |
/ Я ( у , я ) |
|
||
чіт |
п)= |
-^~т- |
= |
|
j ~ m + 1 |
|
|
= |
|
v |
' ; |
я Я ( > я г , я) |
я Я ( > я г , я) |
|
|
|
|||
~Р(^т, |
|
я) - |
— |
PQtm + |
1, я ) + Я ( > я г + 1 , |
я ) v |
я ) |
||
^ |
|
|
|
Я ( > / я , я ) |
|
|
|
- |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (т, п) |
|
|
|
|
|
|
Р (>т |
+ |
1, я) = |
~ |
Р (>яг, |
я), |
(5.30> |
||
|
|
|
|
v (т \-\, я) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
' |
я |
|
|
|
Формула |
(5.30) справедлива |
для любых яфгО, |
Я ( > 0 , |
я ) = 1 |
|||||
по определению, |
поэтому |
|
|
|
|
|
тV (I — 1, Я)
Я ( > / и , я) = П |
v (І, Я) |
t J l |
• |
(5-31> |
1 - І |
— |
|
|
Вероятность приема комбинации точно с /я ошибками Р(т, п\
определяется |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Я (/га, я) = Я ( > т о , |
я) - Я ( > я г |
+ |
1, я ) |
= |
|
|||||
|
» v ( [ ' - | , / l ) - - — - |
m + l |
|
v(/ — 1, Я) — |
и |
^ |
||||||
- п |
, |
|
- п |
|
( . |
^ |
|
, _ г |
|
|||
|
i _ i |
у ( * , я ) - - ^ - |
i - l |
|
v ( t , я) |
|
|
— |
|
|||
|
|
v(/», п) - |
яг |
\ |
|
,. |
|
< |
J |
ч |
* — |
I |
|
|
— |
I » |
' ( |
( - U |
|
|
— |
||||
= |
1 |
- |
|
П |
|
, . |
ч і — 1 |
|||||
|
|
|
яг I * |
* |
|
|
Следовательно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ • |
і |
* |
1 |
— 1 |
|
|
Р {т, |
п) = |
|
|
*>-»(*.«> jтi v (I — 1, Я) __«_ |
(„3 2 ) |
||||||||||
|
|
|
>(/Я+1, Я ) - - ^ - |
|
, _ |
i |
v ( i , л ) _ |
L |
_ |
|
|
||||
Из формулы (5.32) можно получить рекуррентную формулу, |
|||||||||||||||
иногда более |
удобную при расчете вероятностей Р(/п, п): |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Я(яг + |
1, л) |
= |
|
|
|
|
|
|||
/ |
, г> |
|
/ І і |
\ |
v |
( т , |
|
П ) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
^ |
' |
|
я |
|
, р ( Л | я ) < |
( 5 > 3 3 ) |
||
|
v |
|
7 |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
для |
определения |
>>(т,п) |
|
при |
/и > |
1 |
использовать |
|||||||
формулу |
(5.29) и свойство |
5.3, |
то |
получим |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
РО\,п.) |
= |
п}-лр; |
|
|
|
|
(5.34) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
І |
- i Y ~ " |
|
І |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
P ( > m , я) = |
я ' - > П y |
|
L |
/ _ |
J |
L |
_ . |
|
(5.35) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
/ |
|
я |
|
|
|
Следует |
обратить внимание, что формулу |
(5.35) |
для |
каналов |
с независимыми ошибками и каналов с малыми значениями а
использовать |
нельзя, |
так |
как |
в |
этом |
случае несправедлива |
||||||
аппроксимирующая формула |
(5.29) |
для v ( m , я ) . В то ж е время |
||||||||||
формула (5.31) |
справедлива |
|
для любых |
каналов. |
|
|
||||||
На рис. |
5.16 |
приведены |
экспериментальные |
и |
расчетные |
|||||||
данные |
по |
вероятностям |
Р(^т, |
|
я) для некоторых каналов. |
|||||||
Расчет |
проводился |
по |
формуле (5.35) |
на ЭВМ |
«Минак-22». |
|||||||
Затраты |
машинного |
времени |
на |
вычисление |
вероятностей |
|||||||
Я ( > / я , |
я) для одного канала при п — 7, |
15, 31 , 63, |
90, 127, 200, |
|||||||||
255,511 |
и т = 1 -ь 100 |
составляют |
приблизительно |
одну ми |
нуту. Результаты расчета достаточно хорошо совпадают с
экспериментальными |
данными. |
Следовательно, расчет по фор |
|||||
муле (5.35) |
вероятностей Р(^т, |
п) удобен |
в инженерной прак |
||||
тике при использовании ЭВМ . |
|
|
|
|
|||
Из формулы (5.31) можно получить верхнюю границу |
|||||||
вероятности |
Я ( > Л 1 , |
я), выражаемую |
более |
простой формулой. |
|||
Так как |
v ( i , я) >--> (/— 1, я ) , |
то |
|
|
|
||
|
1 • |
1 |
ч І—І |
.. |
, |
|
|
|
v ( f — 1, Я) |
|
|
ч |
|||
|
|
_ |
Я |
< У ( ^ - 1 , Я ) |
|||
|
/• |
\ |
І — \ |
^ |
v (/ Я) |
||
|
v(t, |
Я) |
Я |
|
v |
' |
' |
|
|
|
|
|
|
|