Файл: Семенов Н.А. Техническая электродинамика учеб. пособие для электротехн. ин-тов связи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 238

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Корни функций

Беоселя vnm и ее производной v„ m ;

 

Т а б л и ц а 9.4

 

 

критические частоты волн

в круглом

волноводе при veilwmc

 

 

Я-волны

 

 

Е- волны

 

п—т

V

/ к Р а

п—т

vnrn

ГГц-см

 

пт

ГГц-см

 

 

1 — 1

1,8412

8,7849

0—1

2,4048

11,4743

2—1

3,0542

14,5728

 

 

 

0 - 1

3,8317

18,2824

1-1

3,8317

18,2824

3—1

4,2012

20,045

 

 

 

4 - 1

5,3176

25,372

2—1

5,1356

24,504

1—2

5,3314

25,438'

0—2

5,5201

26,338

5—1

6,4156

30,611

3—1

6,3802

30,442

2—2

6,7061

31,997

 

 

 

0—2

7,0156

33,474

1—2

7,0156

33,474

определяется

рекуррентными

соот­

ношениями

для

функций

Бесселя:

J'o(x) =

—- М*);

V0m

= V b

 

откуда

f£"

=

f*im .

(9 . 46)

Радиус

волновода

а

выбирается

таким, чтобы

обеспечить

прохожде­

ние нужной

волны

с допустимым

затуханием

* и

дисперсией

(fs&

« 1,25 fK p).

При этом

следует

иметь

ввиду, что все волны, помещенные

втаблице выше данной, также мо­ гут распространяться в таком вол­ новоде.

П о п е р е ч н ы е с о с т а в л я ю ­

щ и е

п о л я

определяются по

общим

ф-лам

(8.15) и (8.17).

Напомним,

что в цилиндрической

 

 

системе

координат

поперечный Рис.

9.18

 

градиент:

 

 

д $

 

 

grad яр е л — + Є„

(9.47)

 

д ф

 

 

 

 

Следовательно, для Е-волн, используя

(9.42), получаем:1 )

р Е0 erJ

пЫг) cos nq>-

Jn (x r) sin n ф

 

 

 

%r

 

e

^(xr)cosnq i + er

— Jn(%r)smny

.(9.48)

Для Н-волн, учитывая ф-лу (9.44), находим:

Н, = — i-^-H0\er

/ ; ( х г ) c o s п ф — е — / „ ( х ^ э ш п ф

 

X

L

Ф Х '

 

і —• Н0I

— е ф J'n (х г) cos п ф — er

— / „ (х г) sin п ф

(9.49)

X L

 

 

X ^

 

где поперечный волновой коэффициент % =

%пт~const.

 

Полученные формулы позволяют строить эпюры поля и опреде­

лять структуру тока

в стенках волновода

кругового сечения для

любой волны. Простейшими волнами с круговой симметрией поля

(п = 0) являются

волны типа

E0i

и Нои их поля имеют всего по

три координатных

составляющих.

 

 

В о л н а £oi (рис. 9.19)

является низшим типом

среди £-волн.

Она содержит компоненты Еъ

Ег

и Я ф . Продольная

составляющая

Ez достигает наибольших

значений на оси волновода. Осевая сим-

Рис." 9.19

О'о'о'о'о „О

•

••,••> * •

О " О ОЙО.О

Jo,lo\^ ?

,

! _ > / і К 1

_ - Уо/о\р^-

_°_ у

 

 

чО '

 

 

 

о \о\°(оГ о

 

 

 

„ О'О/О.О.О о

 

Рис. 9.20

метрия поля этой волны позволяет поворачивать волновод вокруг оси oz без изменения структуры поля, что используется во враща­ ющихся соединениях волноводов.

*) Производная функции Бесселя рассчитывается по рекуррентному соотно­ шению (9.46) или по формуле: J n (x) = Jn-i(x)—(n/x) Jn(x).

В о л н а #оі (рис. 9.20) имеет

несколько

более

сложную

струк­

туру поля. В соответствии с ф-лами

(9.44),

(9.49)

и (9.46)

ее ком­

поненты определяются

соотношениями:

 

 

 

 

Я г

=

і(Р/5Соі) Н'ьМХлг)

е1

( ш ' - р г ) ;

 

 

£ ф =

-

і (kZjtol)

H n h

(xoi г)

e' { v * - * \

 

(9.50)

где xoi = v Qi 1а = 3,8317/а.

У стенок волновода при /-=а существует лишь одна составляю­ щая поля НГ, поэтому в стенках существуют лишь кольцевые токи

7Ф .

Отсутствие

продольных токов делает

волну #оі мало

чувстви­

тельной к поперечным щелям. Возможен, например,

небольшой за­

зор между двумя секциями волновода.

 

 

с n~^z 1,

О с н о в н а я

в о л н а Л и

(рис. 9.21),

как и все

волны

имеет

пять не равных нулю

компонент поля. Сходство структуры

Волна //ff _

Рис. 9.21

Рис. 9.22

поля основных волн — Н Ц в круглом и #10 в прямоугольном волно­ водах определяет их аналогию как волн, имеющих наинизшую кри­

тическую частоту: для их реализации требуются наименьшие

разме­

ры волновода.

 

В о л н а Ец (рис. 9.22) имеет ту же критическую частоту,

что и

#01, что существенно при организации волноводной связи.

 

ПАРАМЕТРЫ ВОЛН

 

Параметры в, Л, v и и зависят только от критической частоты и определены в параграфе 9.1. Получена также универсальная ф-ла (8.42) для составляющей коэффициента затухания а д . Найдем те-

перь расчетные формулы для мощностей и доминирующей состав­

ляющей коэффициента затухания а П р .

 

 

 

 

 

М о щ н о с т ь

в о л н ы

Нпт- Согласно выражениям (8.25)

(9.49)

имеем

 

 

 

 

2я а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

= Z" ^\H±\4S

= ^ZB^H^^14'2(Xr)cos"n4>

 

+

 

s.

 

 

Х

о о

 

 

 

 

 

и2

{%г ) sin2 П ф

1

Г <Іф dr.

 

 

 

 

+ — J \

 

 

Интегрирование соэ2 /гф и зіп2 Иф

по ф от 0 до 2 я дает множи­

тель я . Перейдем

к новой

переменной

х = уг,

которая

достигает на

' границе волновода

значения %« = v '

. В этом

случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

(1 при n = 0

 

 

 

_

 

 

 

_

'

(0 при я ^ О

Для любых цилиндрических функций Z„(X), являющихся реше­ ниями уравнения Бесселя (9.39), известен неопределенный интег­ рал:

 

К2

(х) +

^Zl(x)

 

Xі

x2

 

J

 

 

xdx = —

 

 

+ ^ - z „ ( x ) z ; w

+ z;2w

Так

как ]'n(v'nrr)

= 0 и Xnm=v'nm/a

>П 0 Л У ч а е м

типа

Нпт:

 

 

 

 

 

 

р = "(1 + 6o„)£tV4 Z Н2 (I

-

П2

 

 

'2

 

В 0

 

..'2

 

 

2vnm

 

\

 

vnm

(9.51)'

мощность волны

(9.52)

В частности, для волны типа Я ц после подстановки численных значений, имеем:

Р =

4 1 , 6 7 & р а 4 ^ Я 2 .

 

(9.53)

 

ZB 0

т и п а .

Яц . Из рис.

П р е д е л ь н а я м о щ н о с т ь в о л н ы

9.21 видно, что максимум электрического поля этой

волны нахо­

дится на оси волновода.

Действительно,

при г = 0

составляющие

£ ф (при ф = 0) и Ег

(при ф = я/2)

физически тождественны. В это

точке / j (%r) =Ji(%r)/(%r)

=0,5. Поэтому

из ф-л

(9.49) находим:

I Emax I = V% I

1'=о = ^ 2 | £ г | г

= 0

= ^ г - т г 1 ^ о | -

 

ф=^0

ф=я/2

^

Хп

Подставляя отсюда

Я 0 в ф-лу (9.53)

И Заменяя

Етах НЭ £п

получаем для волны Я ц :

 

 

 

 

 

пред

1,990-10 а 2

/ К

— £ 2

 

(9.54)

 

 

7

Проб*

 

К о э ф ф и ц и е н т

 

з а т у х а н и я

 

в о л н

 

Нпт.

Для

определе­

ния сспр вычислим

Л п Р

по ф-ле (8.44)

с учетом

(9.44)

и

(9.49) (на

стенках волновода

г = а и %a =

v'nm):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ріпр

= # 5 < £ ( | Я г [ 2

+

| я Ф ]•) d t = RsHI

f f J2 (Z a)cos2 n ф +

+ ^

i„ (x a) sin2

n ф] ad Ф

=

я (1 4- бо я ) atfs

Я 2 J 2

 

( v ^ ) f 1 +

 

 

Подставим полученное выражение и ф-лу

 

(9.52)

 

в

 

(8.45):

 

а п р

= Я1 п р /(2Р)

=

Я 5 (

 

+ п» р2 a2)/ [a»Z„fe {і (

 

-

 

 

п2 )].

 

Выражение, стоящее в круглых скобках в числителе,

 

преобразуется

следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ п2

н a2 =

v;2 m у.2 а2

 

 

 

2„2

 

 

2

 

2

)

а

2

+ JPaW.

 

+ (fe2 — х2 ) п2 а'

 

/

 

• п

 

Определим

теперь

 

коэффициент

затухания.

Заменим

./?s =

=0,5/Cni^oZBo|inpiA,

x / ^ , = fKp/(f

и

будем

 

считать

 

ц = 1

внутри

волно­

вода.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*пр

 

 

2а

 

\ /

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К о э ф ф и ц и е н т

з а т у х а н и я

в о л н ы

На. Для

 

этой

волны

второе слагаемое в квадратных скобках ф-лы (9.55) равно 0,4184.

Сильное увеличение затухания при /->-/кр

определяется делителем

У К в ф-ле (9.55), а

рост его с увеличением частоты — множите­

лем

/гД~ V К р о м е

того, выражение

в квадратных

скобках

уменьшается

 

от 1,42

при

 

 

 

 

f = f K p

до 0,42

при

/-*»оо. ...

 

 

 

 

Под

действием всех

этих

 

 

 

 

факторов кривая аП р име­

 

 

 

 

ет пологий

минимум,

ко­

 

 

 

 

торый

простирается

от

 

 

 

 

2/кр

до

7ifKp

(рис.

9.23).

 

 

 

 

К о э ф ф и ц и е н т з а ­

 

 

 

 

т у х а н и я в о л н ы # 0 1 •

 

 

 

 

У волн

типа

 

Нрт в

круг­

 

 

 

 

лом волноводе аП р моно­

 

 

 

 

тонно уменьшается с рос­

 

 

 

 

том частоты, достигая при

 

 

 

 

/ ^ 4 / к р весьма

малых зна­

 

 

 

 

чений

(рис.

9.23).

Фор­

 

 

 

 

мально

это

 

объясняется

 

 

 

 

исчезновением

при

п = 0

 

 

 

 

второго

слагаемого

в

 

 

 

 

квадратных

 

скобках

ф-лы

(9.55);

поэтому

на

высоких

частотах

а п р

меняется

как M / / 2

~ l / - 1 > 5 . Такое уменьшение

затуха-

213

Смотрите также файлы