р .) Так как уравнение (14.11) является линейным, то сумма этих гармоник определяет форму балки:
оо |
|
У(х, /?)= 2 А пІР)<?п{х, %)• |
(14.12) |
п=1 |
|
Это выражение является общим решением уравнения (14.11), удовлетворяющим граничным условиям (14.10), но пока не удов летворяющим начальным условиям (14.6).
Для того чтобы найти решение неоднородного уравнения (14.9), используем выражение (14.12) и определим коэффициен
ты А п (р) таким образом, чтобы |
решение (14.12) |
удовлетворяло |
бы и неоднородному уравнению |
(14.9). Решение, |
найденное та |
ким образом, обязательно будет удовлетворять и начальным ус ловиям, так как они входят в функцию Ф(х, р) и учитываются поэтому автоматически.
Для определения коэффициентов А п (р) подставим решение
(14.12) |
в |
неоднородное уравнение |
(14.9). Учитывая тождество |
|
|
d x 2 |
L |
E J (X) |
d x 2 |
Юл) 1 - |
^ |
(х) <р„ (х , (оп) = 0 , |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
получим |
2 |
A n(p)(p2jr®n)\>‘(x)(?n(x, |
шп) = Ф{х , р)- |
|
|
П=*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Используя свойство ортогональности собственных функций *, |
можем |
записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
(р2 + щ) Ап{р) j'S-x:) ?«(-*, |
vn) d x = \ |
Ф {х, |
р)<?а{х, un)dx. |
|
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
Из |
этих равенств |
определяют |
искомые |
коэффициенты А п: |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J [ф (х, |
р) <?п (х, Ш„) d x |
|
|
А ( Р ) = -----S - Д -------------------------■ |
(>4.13) |
|
|
|
JР- (х) Tn { X , |
<л„)dx |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Общим |
решением |
уравнения |
(14.9) |
является |
выражение |
(14.12) |
, в котором коэффициенты А п (р) |
определяются формулой |
(14.13) |
. Таким образом, решение уравнения |
(14.9) сводится к |
* Собственные функции |
ср п (х, соп) |
ортогональны с |
весом |
ц(х), если при |
любых іфИ |
справедливо соотношение |
|
|
|
|
L
J <Р( (X, <■>,•) <?k(X, Шй) (J.(x)dx = 0.
о
Рис. 14.2. К примеру приближен ной оценки частоты упругих ко лебаний ракеты
задаче отыскания |
собственных |
частот |
и собственных |
функций, |
которая является очень сложной. При произвольных |
зависимос |
тях E J (х) и р(х) |
эта задача не решается в общем виде и при |
ходится использовать приближенные численные методы. |
Общее решение уравнения |
(14.9) удается получить только в |
|
|
простейших случаях, например, |
|
|
когда |
балка |
однородная, т. е. |
■ с : |
т |
EJ (х) = const |
И |
|.і(х) = const. |
Ѣ6 |
T T |
|
|
|
|
|
|
Исследование этой частной |
|
//7 |
задачи можно найти в соответ |
88 |
|
ствующей литературе, в частно |
|
|
сти, в |
[5]. |
|
|
|
|
2,03 |
3,35 w |
5,08 х,М |
Здесь |
приведем |
лишь |
при |
|
ближенную формулу для |
час |
|
105 |
705 |
|
тоты свободных |
колебаний од |
|
|
|
нородной балки |
|
|
|
|
|
3 0I5 |
|
|
|
|
ч о |
1 0 3 |
5,08 х м |
<2п±ѵ№ л г |
а i/с, |
|
|
|
|
п |
Ш |
у |
(X |
' |
которую можно использовать для оценки частоты упругих колебаний корпуса летательно
го аппарата, вычислив по формулам сопротивления материалов средние по длине корпуса значения EJ и ц.
Для примера рассмотрим ракету с указанным на рис. 14.2 распределением массы и жесткости
Рс0= |
105-2,03 + |
705-1,02 + 141-2,03 |
110 |
, |
------ |
:------------- |
|
1-------------— = 113 |
кг/м; |
ср |
|
|
5,08 |
|
|
' |
(Д/)ср=105 |
88 -2,03+ 146-1,02+ |
117-2,03 |
, , , |
1Пч Тт 2 |
----- ---- |
:-------- |
:------------- |
:---- |
111 ■10ь Н • М2 |
|
|
|
|
5,08 |
|
|
|
|
|
2- ^ у |
Г — |
= 269 |
1/с = 42,8 |
Гц. |
2.3. ВЛИЯНИЕ СИЛ ВНУТРЕННЕГО НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
При составлении исходного дифференциального уравнения (14.1), описывающего упругие поперечные колебания прямой балки, не учитывались силы внутреннего неупругого сопротивле ния, которые демпфируют эти колебания. Учет сил внутреннего сопротивления чрезвычайно сложен. В первом приближении мож но предположить, что силы внутреннего сопротивления пропор циональны скоростям деформации. При такой постановке задачи в выражении (14.13) для коэффициентов А п (р) получают вместо
множителя ---------- |
> характеризующего незатухающие колеба- |
Р 2 + |
«>2п |
ния, множитель |
1 |
соответствующий затухаю- |
, |
щим колебаниям |
Р + 2іпшпр + и>\ |
|
|
|
|
|
|
I Ф |
(х, Р) Ъ (X, оі„) dx |
АпІР)-- |
1 |
|
(14.14) |
Р2 + |
|
|
|
(■*> “я) 4* |
|
I Iх W |
Относительный коэффициент демпфирования £п имеет поря док сотых долей единицы; примерное его значение равно 0,07.
2.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ УПРУГОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Как было показано, поперечные колебания упругого летатель ного аппарата описываются решением (14.12) уравнения (14.9)
оо |
|
у{х, />)= 2 А пІР)Чп{х, соя), |
(14.15) |
п = 1 |
|
в котором коэффициенты А п (р) определены формулой |
(14.13) |
или (14.14). При составлении этого общего решения не учиты вался случай, соответствующий нулевому собственному значению р п —0, когда (оп~ 0. В этом случае уравнение (14.11) принимает вид
о*-1«)
Очевидно, что этому уравнению при рассматриваемых гранич ных условиях (14.10) удовлетворяют решения:
г/-і = А -і (р) = const; |
(14.17) |
Уи — А-х {р)-\- А0 (р) л. |
(14.18) |
Первое определяет поступательное движение в направлении оси у, одинаковое для всех точек балки; второе — вращательное вокруг некоторой оси, положение которой находится из началь ных условий. В нашей задаче это ось, проходящая через центр массы летательного аппарата. Как видно, решениям (14.17) и (14.18) соответствует движение летательного аппарата, как аб солютно жесткого тела под действием внешних сил F (х, t). Эти решения не представляют для нас интереса, так как выше уже были получены передаточные функции абсолютно жесткого ле тательного аппарата и притом с более полным учетом условий движения летательного аппарата, чем в настоящем параграфе. Воспользовавшись для получения окончательного результата правилом суперпозиции, можно будет впоследствии сложить ре,-
шение, полученное ранее для абсолютно жесткого летательного аппарата, с решением, найденным здесь для упругого аппарата.
Приступая к составлению передаточной функции упругого летательного аппарата, примем во внимание, что при анализе процессов стабилизации нас интересуют не смещения элементов продольной оси аппарата у(х, t), а угол поворота или угловая скорость того элемента продольной оси, у которого размещен ги роскопический измерительный прибор.
Угол поворота элемента продольной оси с координатой х = х г найдем, вычислив производную
{Jb |
y{x-t)\ |
=&(■**, |
|
или |
(р) = \ - ^ - у ( х , Р) |
|
L dx |
|
Учитывая (14.15), получим
х=х г
Используя выражение (14.14) и принимая начальные условия нулевыми, получим передаточную функцию, описывающую уп ругие колебания элемента корпуса летательного аппарата:
& г(Р ) |
_ |
Ѵ |
Ч |
______________ у-п |
|
|
|
(14.19) |
8 ^ |
|
|
|
Р2 + 2*п<»пР + “л |
|
|
L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (х, |
р) |
9п (х, |
“ л) dx |
|
Мл) |
|
|
1 8ІР) |
|
________ ГLd'tn |
(х , |
11х - х г |
(14.20) |
где |
|
|
d x |
\ Р (X) ?л |
(х > “ я) d x |
|
|
г |
|
Часто для упрощения анализа влияние аэродинамических сил на упругие колебания летательного аппарата не учитывают и рассматривают только деформации аппарата от сосредоточенной поперечной силы, создаваемой органами управления. В этом случае коэффициент хп записывается в такой форме:
r |
yS9n (Xdpj |
“я) |
Г |
й<(>л (х, шл) |
1 |
|
f |
Г |
“л) dx |
L |
dx |
L -х |
’ |
J И (х) <ел (х, |
|
|
г |
|
о
Полученные передаточные функции описывают лишь упругие колебания летательного аппарата. Чтобы рассмотреть полную ре-
акцию аппарата на отклонение органов управления, к переда точной функции 'öj (р)Іб(р) следует добавить, основываясь на правиле суперпозиции для линейной системы, соответствующую
передаточную функцию W& (р) абсолютно жесткого летательно го аппарата
|
(Р) |
w l(p ) + ^ |
|
(14.21} |
|
5 (Р) |
Р2 + |
|
|
+ “л |
Эта передаточная функция связывает угол отклонения управ ляющего органа с углом, измеряемым при помощи свободного гироскопа. Коэффициенты %п при этом зависят от координаты гироскопа хг-
|
& |
К(Т-,р+1) |
► 0-1 |
|
Рис. 14.3. Структурная схема про |
р( Т2р г+2£7р+1) |
|
|
дольного движения летательного ап парата с учетом первого тона упру гих колебаний
Передаточная функция, определяющая угловую скорость, из меряемую дифференцирующим гироскопом, имеет вид
ЪпР |
(14.22) |
Р2 + 25лшпР + |
“ л |
Из вида передаточных функций (14.21) и (14.22) следует, что блок-схема упругого летательного аппарата состоит из основного блока, характеризующего движение эквивалентного жесткого ле тательного аппарата, и одного параллельного блока для каждой из рассматриваемых гармоник (рис. 14.3). В технических прило жениях обычно достаточно учитывать лишь 1-ю гармонику или 1 и 2-ю гармоники упругих колебаний. Так, например, пренебре гая влиянием силы тяжести и вариаций скорости и учитывая только 1-ю гармонику колебаний корпуса, получим
Ъ'г(Р) _ |
К ( Т і Р + \ ) |
._________ *і________ |
5 (р) |
р (ПР2+ 2£7> + 1 ) |
р2 + 2^0чр + оф |
Таким образом, упругий летательный аппарат с достаточной для предварительных исследований точностью рассматривают как упругую балку со свободными концами, обладающую задан ными распределениями массы р(л) и жесткости E J(х) по длине. Для получения более точных результатов прибегают к физиче скому моделированию и эксперименту.
