Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

2.1. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ

Летательный аппарат можно рассматривать как прямую уп­ ругую балку (стержень) переменной жесткости с незакрепленны­ ми концами. При составлении дифференциального уравнения по­ перечных колебаний корпуса аппарата, вообще говоря, следует учитывать силы внутреннего неупругого сопротивления и про­ дольные усилия, вызванные тягой двигателя и силой тяжести. Однако для упрощения задачи часто принимают, что внутреннее сопротивление отсутствует, и не учитывают продольные усилия. Тогда дифференциальное уравнение поперечных колебаний пря­ мой балки записывается в виде [5]:

J ( х ) — момент инерции поперечного сечения балки относи­ тельно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к

Существенное влияние на упругие колебания летательного ап­ парата при его полете в плотных слоях атмосферы оказывают аэродинамические силы. Для упрощения задачи часто предпо­ лагают, что эти силы не зависят от деформаций аппарата, т. е. определяются только движением соответствующего абсолютно жесткого летательного аппарата. Составляющими силы тяжести, перпендикулярными оси летательного аппарата, обычно пренеб­ регают.

Для примера составим упрощенное выражение F (х, t), соот­ ветствующее указанным допущениям. При этом будем считать угол атаки аппарата малым, что позволит принимать нормаль­

Здесь через Ry(x) обозначена производная от погонной подъем­ ной силы Ry(x) по углу атаки.

599

При вращении летательного аппарата каждый элемент его по­ верхности приобретает дополнительные углы атаки аДх).

Так как дополнительная скорость ѵ, вызванная вращением аппарата, равна

{х ~ х т) ~

инаправлена перпендикулярно продольной оси аппарата, то при­ ращение местного угла атаки определяется формулой

а'(х)

X — хг db

V dt

Соответствующая составляющая погонной подъемной силы

Пусть Ry(x, б) — нормальная к оси аппарата сила, вызванная отклонением органов управления. Так как эта сила сосредоточе­ на в точке с координатой XdP, можно записать

где Л(х —Xdp)— дельта-функция, определяемая соотношениями:

Суммируя (14.2), (14.3) и (14.4), найдем, что погонная на­ грузка приближенно определяется выражением

F ( x , J ) = R l ( x ) [ a + ^ ^ ^ + y * b A ( x - x dp). (14.5)

2.2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ

Для определения деформации продольной оси аппарата необ­ ходимо решить линейное дифференциальное уравнение в частных производных (14.1), описывающее упругие колебания балки.

При решении уравнения (14.1) необходимо учитывать как на­ чальные условия, определяющие форму деформированной оси балки в начальный момент времени, так и граничные условия, учитывающие способ закрепления балки. Начальные условия при ^ 0 имеют вид

600

В нашем случае, когда рассматривается балка со свободны­ ми концами, граничные условия имеют следующий вид:

где L — длина балки, т. е. корпуса летательного аппарата.

Эти граничные условия учитывают, что в концевых сечениях балки со свободными концами перерезывающие силы и изгибаю­ щие моменты равны нулю.

Так как уравнение (14.1) является линейным, то его решение находят как сумму решения соответствующего однородного урав­ нения

удовлетворяющего начальным и граничным условиям (14.6) и (14.7), и частного решения исходного неоднородного уравнения (14.1), удовлетворяющего тем же граничным условиям и нуле­ вым начальным условиям.

Решение задачи можно несколько упростить, если, восполь­ зовавшись преобразованием Лапласа, преобразовать по перемен­ ной t левую и правую части уравнения (14.1). Тогда получим уже обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором иско­ мая функция у(х, р) зависит от одной независимой переменной X, а переменная р рассматривается как параметр *.

Члены р\і(х)%(х) +р.(х)ф(х) в последнем выражении учиты­ вают начальные условия (14.6) в соответствии с известной фор­ мулой

L \ у { п ) ) = р п у ( р ) — р п ~ х у { Щ — • • • — /п/<''-'2)(0) — 0<я-і)(О).

Для преобразования по Лапласу функции у(х, t) введено обозначение

СО

~У = У (X, р) — L {у (X, t)} = j у {X, t) e~pid t.

601

Изображение поперечной погонной нагрузки в нашем приме­ ре имеет вид

F(x, р) =

определяющего свободные колебания балки, которые возникнут, если в начальный момент t = 0 балка деформирована. Решение этого уравнения удовлетворяет граничным условиям (14.10), ког­ да параметр р2 принимает вполне определенные числовые значения

Рп2- Они называются собственны­ ми значениями, а соответствую­ щие им решения ф„(х, р ) — соб­ ственными функциями. В нашей задаче имеет смысл рассматри­ вать только отрицательные соб­

ственные значения р„2 = —Я„<0, которым соответствует колеба­ тельный процесс. В этом случае

рп= ± і Ѵ^п = ±

Величина <оп представляет п-ю собственную частоту колеба­ ний балки, которая как тело с распределенными параметрами имеет бесчисленное множество собственных частот, определяе­ мых собственными значениями рп2. Собственная функция Фп(х, (On) определяет п-ю гармонику деформированной оси бал­ ки (рис. 14.1)

602