Файл: Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие.pdf

Уровенная поверхность силы тяжести — это поверхность, в каждой точке которой нормаль к поверхности коллинеарна на­ правлению силы тяжести. Геоид представляет собой тело, огра­ ниченное уровенной поверхностью силы тяжести, совпадающей

споверхностью океанов (невозмущенной приливами и волнами)

ипродолженной под материками (рис. 1.2). Поверхность геоида непрерывна, замкнута и не имеет резких перегибов и складок. Так как направление силы тяжести зависит от притягивающе-

го действия неравномерно распределенных внутри Земли масс, то поверхность геоида является весьма сложной и не может быть описана математически. По этой причине геоид заменяет­ ся более простым телом таким, чтобы его поверхность возможно меньше отличалась от геоида, а проведение вычислений на этой поверхности не представляло значительных трудностей.

В первом приближении Землю можно считать шаром, объем

удовлетворяет требуемой точности расчета, в других, например, при подготовке летных испытаний и анализе результатов пуска баллистических ракет такое приближение вносит большую по­ грешность в определении точек падения головных частей.

В большинстве случаев с достаточной для практики точ­ ностью геоид заменяется эллипсоидом вращения, полученным вращением эллипса вокруг малой оси. Такой надлежаще ориен­ тированный эллипсоид, наилучшим образом приближающийся к поверхности реального геоида, носит название общего земного эллипсоида (см. рис. 1.2).

21

Общий земной эллипсоид определяют исходя из следующих условий:

1)центр эллипсоида совпадает с центром массы Земли, а плоскость его экватора с плоскостью экватора Земли;

2)объемы эллипсоида и геоида равны;

3)сумма квадратов отклонений (по высоте) поверхности общего земного эллипсоида от поверхности геоида должна быть

минимальна.

Определение размеров общего земного эллипсоида является одной из основных задач геодезии. К настоящему времени эта задача полностью не решена, так как не на всех материках еще проведены соответствующие измерения (геодезические, астроно­ мические и гравиметрические), служащие исходным материалом для решения указанной задачи. Все имеющиеся размеры общего земного эллипсоида являются приближенными и в той или иной степени отличаются от размеров действительного общего земно­ го эллипсоида. В дальнейшем будем исходить из следующих приближенных значений параметров, определяющих размеры общего земного эллипсоида:

— большая полуось (радиус экватора) а = 6 378 137 м;

а298,25

общего земного эллипсоида.

. Поверхность даже самого точного по размерам общего зем­ ного эллипсоида, правильно ориентированного по отношению к Земле, может отклоняться от поверхности геоида по высоте на десятки метров. По мнению ряда ученых, наибольшие значения этих отклонений находятся в пределах ±150 м. В некоторых случаях с целью уменьшения ошибок замены геоида общим зем­ ным эллипсоидом вводят понятие о референц-эллипсоиде.

Референц-эллипсоидом называется эллипсоид вращения с со­ ответствующими размерами, определенным образом ориентиро­ ванный относительно Земли и к поверхности которого относятся результаты геодезических работ на рассматриваемой части зем­ ной поверхности (в данном государстве). На ориентировку ре­ ференц-эллипсоида налагаются следующие условия:

а) наибольшая близость поверхности референц-эллипсоида к поверхности геоида лишь на рассматриваемой части земной поверхности;

б) параллельность оси вращения референц-эллипсоида и оси вращения Земли (совпадение его центра массы с центром массы Земли не обязательно).

На территории СССР за размеры референц-эллипсоида мож­ но принять размеры эллипсоида Красовского, а именно: боль­ шая полуось а = 6 378 245 м; сжатие а = 1/298,3. Центр эллипсои­ да Красовского удален от центра массы Земли на некоторое расстояние.

22

Системы координат, определяющие положение точки на земной поверхности

Для определения положения точки на земной поверхности, математического описания гравитационного поля Земли и ряда других задач используют следующие системы координат.

Долгота К— двугранный угол между плоскостями начально­ го (Гринвичского) меридиана и местного меридиана, проходя­ щего через точку М. Восточные долготы, т. е. долготы точек, расположенных восточнее Гринвичского меридиана, считаются положительными, а западные — отрицательными.

Широта геоцентрическая <рц — угол между плоскостью эква­ тора и радиусом-вектором г, проведенным из центра Эллипсоида через точку М. Северные широты, т. е. широты точек, располо­

В этой системе точка М на поверхности эллипсоида Красовско­ го имеет следующие две координаты: геодезическую долготу %, которая определяется так же, как и в геоцентрической системе координат, и геодезическую широту <рг, представляющую собой

23

угол между плоскостью экватора и нормалью к поверхности эллипсоида в точке М.

Геодезическим азимутом направления называется угол ф, отсчитываемый по часовой стрелке от северного направления р геодезического меридиана данной точки до заданного направ­ ления I.

Геоцентрическая и геодезическая широты связаны между со­ бой соотношением

sin (<рг — ?ц) = е2 sin <рг cos <рц,

где е — эксцентриситет меридианного эллипса общего земного эллипсоида.

Гравитационное поле Земли

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона каждая частица массой М притягивает другую частицу массой т с си­ лой гравитационного притяжения (тяготения) GT, определяемой зависимостью

(1-1)

где f — гравитационная постоянная; г — расстояние между частицами.

При полете летательного аппарата на него действуют-силы притяжения Земли и других небесных тел. В непосредственной близости Земли силы притяжения небесных тел чрезвычайно малы по сравнению с силой притяжения Земли (так, силы при­ тяжения к Луне и Солнцу приводят к незначительному измене­ нию ускорения силы притяжения и отклонения отвеса; влияние остальных небесных тел еще меньше). В связи с этим в дальней­ шем нами рассматривается только гравитационное поле Земли.

Сила притяжения является консервативной, т. е. имеющей силовую функцию. Силовая функция материальной точки мас­ сой М называется ньютоновским потенциалом и равна

где г — расстояние от материальной точки до рассматриваемой точки пространства.

Ньютоновский потенциал произвольного тела массой М мо­ жет быть записан в виде

м.

где г — расстояние от частицы, имеющей массу dm, до рассмат­ риваемой точки пространства.

24

В первом приближении, если считать, что масса Земли со­ средоточена в точке или распределена внутри шара так, что плотность во всех точках, равноудаленных от центра шара, оди­ накова, потенциальная функция Земли записывается в виде (1.2). В этом случае величина г является расстоянием от центра Земли.

Используя свойство силовой функции, можно определить проекции силы притяжения частицы единичной массы на оси некоторой системы координат O xyz:

ли М постоянно и для приближенных расчетов может быть при­ нято равным: fAl = 3,986004 • ІО14 м3/с2.

Нормальный потенциал Земли. В общем виде задача опреде­ ления потенциальной функции U для реальной Земли, имеющей сложную форму и неравномерное распределение масс, оказы­ вается весьма трудной. В гравиметрии принято потенциал Зем­ ли представлять в виде бесконечного ряда

в котором присоединенные полиномы Лежандра определяются выражениями:

Я20(sin Тц) = — sin2 cpu

главными сферическими функциями нулевого, второго и четвер­ того порядков, получают удобную формулу для потенциала

25