Файл: Каган Б.М. Цифровые вычислительные машины и системы учеб. пособие.pdf

значной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Помимо десятичной системы суще­ ствуют другие позиционные системы. Некоторые из них нашли применение в вычислительной технике.

Количество s различных цифр, упоіребляемых в по­ зиционной системе, называется ее основанием. Эти циф­

нием число десять.

В общем случае позиционной системы с основанием s любое число х может быть представлено в виде поли­ нома от основания s:

где в качестве коэффициентов егмогут стоять любые из s цифр, используемых в системе счисления.

Принято пользоваться эквивалентной (2-1), но более простой формой представления числа в виде последова­ тельности соответствующих (2-1) цифр:

X = гг ег- i • • • Ej е0, е_і е_2 • • •

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положи­ тельных степенях s, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Запятая опускается, если

значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы.

С учетом сказанного в десятичной системе счисления запись 6097, 108 означает число:

б -103+ 0 . 102+ 9- 101+ 7 - 10°+1 • 10_1-f0> 10 2 8-10 3.

В электронных вычислительных машинах применяют позиционные системы счисления с недесятичным осно­ ванием: двоичную, шестнадцатиричную, восьмеричную и некоторые другие. В дальнейшем для обозначения ис­ пользуемой системы счисления будем заключать число в скобки и в индексе указывать основание системы счис­ ления.

47

Наибольшее распространение в ЦВМ имеет двоич­ ная система счисления. В этой системе используются только две («двоичные») цифры: (нуль) и 1 (единица).

В двоичной системе любое число может быть пред­ ставлено соответствующей последовательностью двоич­ ных цифр

где а, могут быть либо 0, либо 1. Эта запись соответст­ вует сумме степеней числа 2, взятых с указанными в ней коэффициентами:

как следует из приведенного разложения его по степе­ ням числа 2, соответствует десятичному числу

(173,625)10.

Изображения некоторых чисел в десятичной, двоич­ ной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счис­ ления показаны в табл. 2-1.

Как видно из табл. 2-1, а также из только что рас­ смотренного примера, двоичное изображение числа тре­

ставления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий все­ го два устойчивых состояния. Такими элементами, на­ пример, являются реле, триггерные схемы и т. п. Для представления десятичного разряда потребовалось бы четыре таких элемента (см. § 2-5).

Помимо двоичной системы счисления в ЦВМ исполь­ зуются также другие системы с недесятичным основани­ е м — восьмеричная и шестнадцатиричная, имеющие ос­ нованием соответственно числа 8 и 16.

48

В восьмеричной системе употребляются восемь цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью цифр

(703,04)8 = 7.824-0-8’+ 3 -8 °+ 0 -8 '1+4-8_2 = (451,0625)10.

В шестнадцатиричной системе для изображения чи­ сел употребляется 16 цифр от 0 до 15. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших девяти. Обозначим первые десять цифр этой системы цифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр— латинскими буквами: десять—А, одиннадцать — В, двенадцать— С, тринадцать — D, четырнадцать — Е, пятнадцать — F.

Записи произвольного числа в шестнадцатиричной системе в виде последовательности цифр

(В2Е,4)и = В -162+ 2 -161 -f Е - 16° + 4- 16_1= (2862,25)t0.

Основание любой системы счисления, записанное в этой же системе, имеет вид 10 (число два в двоичной системе есть 10, число восемь в восьмеричной системе есть 10 и т. д.). Общие методы перевода чисел из одной системы в другую будут изложены в следующем параг­ рафе. Здесь мы ограничимся только рассмотрением пра­ вил преобразования восьмеричных и шестнадцатиричных

50