Файл: Каган Б.М. Цифровые вычислительные машины и системы учеб. пособие.pdf

чения 0 и 1. Набор таких устройств, предназначенный для представления в машине многоразрядного числа (слова), называется регистром. На рис. 2-1 схематично представлена структура такого регистра для представ­ ления п-разрядного двоичного числа. Отдельные запо­ минающие элементы регистра пронумерованы на рисун­ ке цифрами от 0 до п—1 (всего п разрядов).

Требования к точности вычислений определяют выбор числа разрядов. Вообще говоря, в ЦВМ путем соответст­ вующего увеличения числа разрядов может быть получе­ на любая точность вы­

10, а в ряде случаев с 15—16 десятичными разрядами для уменьшения потери точности от ошибок округления.

В ЦВМ применяют две формы представления чисел: представление чисел с фиксированной запятой («естест­ венная форма») и представление чисел с плавающей за­ пятой («полулогарифмическая форма»).

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте

\относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, изображаемых в данной разрядной сет­ ке машины. Обычно запятая фиксируется перед старшим разрядом или после младшего. В первом случае в раз­ рядной сетке машины могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше единицы, во втором— только целые числа.

Для кодирования знака числа используется «знако­ вый» разряд (нулевой на рис. 2-1). Нуль в этом разряде соответствует плюсу, а единица — минусу.

На рис. 2-2 в качестве примера показана разрядная сетка машины («формат данных») для представления 32-разрядных (включая знак) чисел с фиксированной за­ пятой для случаев закрепления запятой перед старшим и после младшего разряда.

На разрядной сетке указан вес каждого разряда. На­

58

ибольшее положительное число, представимое в разряд­ ной сетке, показанной на рис. 2-2, а, равно:

0,1 1 ... 1 = 1 — 2"31,

31единица

анаименьшее число:

В разрядной сетке (рис. 2-2, а) могут быть представ­ лены числа в диапазоне

от — (і — 2-31) до — 2~31 и от + 2-31 до + (і — 2-31),

Кроме того, в разрядной сетке могут быть представ­ лены также коды «положительного» и «отрицательного» нуля (см. § 2-4). Числа

М < 2 -31

не могут быть изображены в разрядной сетке и прини­ маются равными нулю («число выходит за разрядную сетку вправо»).

С другой стороны, все числа

М > 1

также не могут быть представлены в принятой разряд­ ной сетке. Такое число «выходит из сетки влево» («пере­

59

полнение разрядной сетки»), и его старшие разряды (разряды слева от запятой) теряются, а результат вы­ числений оказывается неверным. Поэтому обычно при переполнении происходит автоматическая остановка ма­ шины либо формируется соответствующий сигнал преры­ вания программы.

В случае запятой, фиксированной справа от младше­ го разряда, разрядная сетка на рис. 2-2,6 позволяет представлять положительные и отрицательные целые двоичные числа, модуль которых

не могут быть представлены в этой разрядной сетке и принимаются равными нулю («число выходит за разряд­ ную сетку вправо»).

При выполнении на машине вычислений с использо­ ванием представления чисел с фиксированной запятой необходимо, чтобы все исходные данные и получающие­ ся в процессе вычислений промежуточные и конечные величины не выходили за диапазон чисел, представимых в данной разрядной сетке. В противном случае в вычис­ лениях могут возникнуть грубые ошибки. Для этого при программировании задачи величины, участвующие в вы­ числениях, берутся с соответствующими масштабными коэффициентами.

Масштабирование оказывается более простым и при­ вычным для научно-технических расчетов, если все чис­ ла по модулю должны быть меньше единицы, т. е. запя­ тая фиксирована перед старшим разрядом числа. В этом случае удается сравнительно просто автоматически контролировать переполнение разрядной сетки при де­ лении, не производя самой операции (делимое больше делителя).

В случае запятой, фиксированной после младшего разряда, опасность представляет переполнение разряд­ ной сетки при умножении, контроль которого до совер­ шения операции по величине операндов более сложен.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить

60

ее быстродействие, но создает некоторые трудности при программировании. Первые ЦВМ были машинами с фик­ сированной запятой, причем запятая, как правило, фик­ сировалась перед старшим разрядом числа. В настоящее время представление чисел с фиксированной запятой ис­ пользуется как основное и единственное лишь в сравни­ тельно небольших по своим вычислительным возможнос­ тям машинах, применяемых для управления технологи­ ческими процессами и обработки измерительной инфор­ мации в реальном масштабе времени.

В машинах, предназначенных для решения широкого круга вычислительных задач, основным является пред­ ставление чисел с плавающей запятой, практически не требующее масштабирования данных.

Однако в таких машинах часто наряду с этой формой представления чисел используется также и представле­ ние с фиксированной запятой, поскольку операции с та­ кими числами выполняются за меньшее время. При этом в большинстве случаев формат чисел с фиксированной запятой служит для представления целых двоичных чи­ сел (запятая фиксируется справа от младшего разряда числа) и выполнения операций над ними, что, в част­ ности, необходимо для операций «адресной арифмети­ ки» над кодами адресов (см. гл. 5).

Представление числа с плавающей запятой в общем

Обычно число 5 совпадает с основанием или целой степенью основания системы счисления, которая исполь­ зуется для представления в ЦВМ мантиссы q.

Порядок р может быть положительным или отрица­ тельным целым числом, которое указывает положение запятой в числе х.

Мантисса q — обычно правильная двоичная дробь. Поэтому распространена следующая форма представле­

61

Рассмотрим в качестве примера машину, в которой слова имеют длину 32 двоичных разряда. Пусть число х — 2Pq изображается в машине двоичным словом

которому соответствует формат данных, показанный на рис. 2-3, а.

Разряды ßoßx ... ß6 отводятся под изображение по­ рядка числа р, при этом разряд ß0 изображает знак по-

Ja a /c м а а т и ссь/

/( числа)

11

Зная мантиссы

изображение мантиссы q числа. Разряд ао служит для

Неравенство показывает, что двоичное число нор­ мализовано, если в старшем разряде мантиссы стоит единица.

62