Файл: Якушев А.И. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения учебник.pdf

Случайные погрешности (изготовления, измерения) являются случайными величинами: при наблюдении в одних и тех же условиях они могут иметь различные числовые значения в зависимости от случайных факторов. Примеры случайных (переменных) вели­ чии: размеры деталей при обработке, зазоры в подвижных соеди­ нениях, результаты повторных измерений одной и той же вели­ чины.

Случайные величины разделяются на дискретные и непрерыв­ ные. Дискретной (т. е. прерывистой) называется переменная вели­ чина, которая принимает множество обусловленных значений, могущих быть выписанными в определенной последовательности, например, значения действительных размеров валиков du d.2, ..., d.v в партии.

Непрерывной называется переменная величина, которая может принимать любое значение (иметь бесконечное число значений) в пределах рассматриваемого интервала. Непрерывные величины могут быть представлены в виде графиков, полученных при помощи самописца измерительного прибора, фиксирующего результаты непрерывного измерения какой-либо величины, например размера текущего радиуса поперечного сечения цилиндрической детали, вибрации машины и ее частей, температуры или влажности атмо­ сферного воздуха и т. д.

Появление того или иного числового значения случайной вели­ чины в результате массовых испытаний рассматривается как слу- - чайное событие, т. с. такое, которое может произойти или не про­ изойти. Характеризуется оно только тем, что оно возможно. Таким событием может быть, например, получение того или иного зна­ чения размера деталей, изготовляемых с заданным допуском; выбор наугад деталей с положительным отклонением размера от номинала (событие Л) или с отрицательным отклонением (собы­ тие Б) из партии деталей диаметром 10 dr 0,1. Отношение числа п случаев появления события А к N произведенных испытаний, при которых это событие могло появиться, называется относи­ тельной частотой или частостью события А:

При большом количестве испытаний N частость события А становится устойчивой и значение W (Л) будет колебаться около некоторого постоянного числа, Это число, меньшее единицы, называется вероятностью Р (Л) появления события А.

За приближенное значение вероятности Р (Л) события Л можно принимать частость, т. е.

По мере увеличения N частость со все большим приближением выражает вероятность. Частость W (Л) принципиально отлпча-

79

ется от вероятности Р (Л) тем, что представляет собой случайную величину, которая в разных сериях однотипных испытаний может принимать в зависимости от случайных факторов различные зна­ чения, тогда как вероятность Р (А) представляет постоянное для каждого данного события число, определяющее в среднем частость его появления в опытах.

§ 17. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Закон распределения вероятностей случайных величин уста­ навливает зависимость между числовыми значениями случайной величины и вероятностью их появления. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде таблицы или графика, показывающих, с какой вероятностью случайная величина X принимает то или иное числовое значение х-ъ.

Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины нельзя выразить в виде таблицы. Для характеристики такого закона в технике наиболее часто используют дифференци­ альную функцию распределения или плотность распределения вероятности рх (х), представляющую собой предел отношения веро­ ятности того, что случайная величина X примет значение, лежа­ щее в интервале от х до х + Ах к величине интервала Ах при Ах, стремящемся к нулю, т. е.

Закон распределения вероятностей задают также при помощи интегральной функции распределения Р (х), представляющей собой вероятность того, что случайная величина X окажется меньше задаваемого значения х, т. е.

Характер рассеяния большой совокупности эмпирических зна­ чений случайной величины примерно соответствует какому-либо теоретическому закону распределения. Так, рассеяние значений эксцентриситетов, несоосности, радиального и торцового биений, непараллельное™ или неперпендикулярности двух плоскостей (или оси и плоскости), дисбаланса и тому подобных величин, которые могут иметь только положительное значение, соответствует

закону эксцентриситета или закону Максвелла (рис. 16, а). Рас­ сеяние отказов (нарушений работоспособности) машин наиболее часто подчиняется закону Вейбулла или экспоненциальному закону.

Рассеяние значений случайной величины, изменение которой зависит от большого количества факторов, равнозначных по влия­ нию (когда пи один из факторов не имеет преобладающего зна­ чения), подчиняется закону нормального распределения вероят­ ностей (закону Гаусса). Этому закону с некоторым приближением может подчиняться рассеяние погрешностей изготовления илд

80

измерения линейных и угловых размеров, массы деталей, величин твердости, механических и физических свойств материала.

Случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, характеризуются следующими свойствами: малые но величине погрешности встречаются чаще, чем большие; отрица­ тельные и положительные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются одинаково часто; алгебраическая сумма отклонений от среднего значения равна нулю.

Рис. 16. Кривые плотности вероятности:

а — по закону Максвелла; б — нормального распределения (по закону Гауеса)

Кривая, изображающая плотность вероятности для нормаль­ ного закона распределения (рис. 16, б), определяется уравнением

величины х уравнение кривой нормального распределения будет иметь вид

Кривая плотности вероятности нормального распределения симметрична относительно максимальной ординаты. Параметр а представляет собой абсциссу, соответствующую оси симметрии кривой нормального распределения. При законе нормального распределения а равно математическому ожиданию MX случай­ ной величины X, определяемому по формулам:

для дискретной величины

81

где xi — возможное значение дискретной случайной величины; р (х-,) — вероятность значения xi дискретной случайной вели­

чины; для непрерывных величин

— СО

где рх (х) — плотность вероятности непрерывной случайной вели­ чины X.

Значение MX характеризует положение центра группирования случайных величин, около которого располагаются, например, размеры большинства деталей в партии. При отсутствии система­ тических погрешностей многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же усло­

Уi= i

для непрерывной величины

У—со

Среднее квадратическое отклонение о характеризует величину рассеяния значений случайной величины относительно центра группирования. Параметр о влияет на форму кривой распределе­ ния: при уменьшении величины о высота кривой увеличивается и кривая сжимается по оси абсцисс; при увеличении о кривая сплющивается, растягиваясь вдоль оси абсцисс (рис. 17).

82