Файл: Якушев А.И. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 305
Скачиваний: 2
Систематические погрешности, постоянные в пределах партии, па форму кривой не влияют, а вызывают смещение центра груп пирования относительно середины поля допуска па величину, равную алгебраической сумме систематических погрешностей. Погрешности, закономерно изменяющиеся, увеличивают диапазон рассеяния и оказывают влияние на форму кривой распределения. 11а рис. 18 показано совместное влияние случайных и одного систе матического доминирующего фактора (например, равномерного износа инструмента, при котором размер каждой последующей детали больше размера предыдущей детали). По оси ординат отло жены размер],I деталей, а по оси абсцисс — промежутки времени Т1? Т2, Tt, через которые производилось определение поля рас сеяния сомг и среднего квадратического отклонения амг. Так как
Рис. 18. Теоретическая точностная диаграмма процесса меха нической! обработки при равномерном износе режущего ин струмента (ЛСр — среднее значение размера)
износ инструмента за время, необходимое для изготовления неболь шого количества деталей, отбираемых для определения мгновенного распределения, незначителен, то погрешности размеров случайны и подчиняются закону нормального распределения. Но для всей партии деталей, изготовленных в этих условиях при одной наладке с момента установки инструмента до его затупления или разладки станка, кривая суммарного распределения может быть плосковершинной (кривая А на рис. 18).
Под влиянием доминирующего, систематически действующего фактора центр группирования относительно начального положения смещается на величину 0,5со', а поле общего рассеяния размеров всей партии деталей увеличивается до со0о = сомг -f- to'.
Из рис. 18 видно, что для устранения брака необходимо было провести подналадку технологического процесса ранее времени Tt.
Рассеяние случайных величин характеризуется также диспер сией DX ~ try.
Определение вероятного процента деталей в партии, имеющих погрешности, величины которых лежат в каком-либо заданном интервале. Ветви теоретической кривой нормального распределе ния (см. рис. 16, б) уходят в бесконечность, асимптотически при
83
ближаясь к оси абсцисс. Площадь, ограничиваемая кривой и осью абсцисс, равна вероятности того, что случайная величина (напри мер, погрешность размера) лежит в интервале от — до со. Она принимается равной 1 (или 100%) и определяется интегралом
СО |
х 2 |
|
—1__ \ |
e ~ w d x = 1 |
(44) |
а\ 2л J
—СО
(начало координат расположено в точке, совпадающей с центром группирования).
Так как подынтегральная функция четная и кривая симметрична относительно максимальной ординаты, можно написать
|
|
ОО Х2 |
|
|
- 4 — |
\ e ~ ^ d x = 0,5. |
(45) |
|
о^2л |
о |
V |
|
' |
|
|
Для выражения случайной величины х в долях |
ее о примем |
||
= 2, откуда х |
za, dx — adz. |
|
В этом случае абсцисса на рис. 19 будет выражена в долях а. Если принять за пределы интегрирования 0 и г, то интеграл
в выражении (45) будет функцией 2, т. е.
|
|
_ г2 |
|
|
(2) ; |
V 2л |
е |
2 dz. |
(46) |
о |
|
|
||
Функция Ф0 (г) называется нормированной функцией Лапласа. |
||||
Заметим, что |
|
|
|
|
Фо(0) = 0; |
Фй( |
- 2) = |
- Ф 0(г); |
|
Ф0(— со) = — 0,5; |
Ф «(+ оо) = 0,5. |
|
||
Из формулы (46) и рис. 19 видно, что площадь, ограниченная |
||||
отрезком — zL+ 2j оси абсцисс, кривой |
плотности |
вероятности и |
двумя ординатами, соответствующими границам отрезка, пред ставляет собой вероятность попадания случайной величины zL в данный интервал.
84
Для функции Ф() (z) в приложении 2 приведены данные, поль зуясь которыми можно определить вероятность того, что случай ная величина х, выраженная через а, будет находиться в пределах того или иного интервала ± z,a . Например, из приложения 2 нахо
дим, что при Zj — |
3 (т. е. при случайной величине х |
За) Ф„ (3) — |
||
- 0,49805 или |
Ф0 ( - 3 ) - Ф0 (3) |
2Фп (3) |
0,9973. Так как |
площадь, ограниченная кривой Гаусса и осью абсцисс, равна 1, то площадь, лежащая за пределами значений х ■- - ± За, равна 1. —
— 0,9973 - 0,0027 и расположена симметрично по 0,00135 (или по 0,135%) справа и слева относительно оси у (см. рис. 19). Следова тельно, с вероятностью, весьма близкой к единице, можно утвер ждать, что случайная величина X не будет выходить за пре
делы ± 3 а . Поэтому при распределении случайной |
величины по |
закону Гаусса поле рассеяния, равное |
|
<нт = (кг (т. е. от — За до + За), |
(47) |
принимают за практически предельное поле рассеяния случайной величины. При этом вероятность выхода случайной величины за пределы значений ± 3 а равна 0,0027.
В общем случае относительное количество деталей А % в партии, имеющих погрешность, выходящую -за пределы z1a и z2c, можно определить по формуле
А % — 100— [Ф0(22) — Ф0 (zi)] 100. |
(48) |
Пример. Определить относительное количество валиков (табл. 2), кото рые могут иметь погрешность размеров, выходящую за пределы — 0,03 .мм + + 0,03 мм (случай первый) и — 0,015 мм +0,015 мм (случай второй). Величина эмпирического среднего квадратического отклонения S = 0,015 мм.
Таблица 2
Рассеяние размеров деталей при обработке их на токарно-ренольверном станке
|
|
Значение |
Интервалы действитель |
середин |
|
ных размеров |
мм |
интерва |
|
|
лов |
|
|
х . , мм |
От 11,915 до 11.925 |
11,920 |
|||
Св. 11,925 |
» |
11,935 |
11,930 |
|
» |
11.935 |
» |
11,945 |
11,940 |
» |
11,945 |
» |
11,955 |
11,950 |
» |
11,955 |
» |
11,965 |
11,960 |
> |
11,965 |
» |
11,975 |
11,970 |
» |
11,975 |
» |
11,985 |
11,980 |
» |
11,985 |
» |
11,995 |
11,990 |
» |
11,995 |
» |
12,005 |
12,000 |
|
X=11,96 |
|
— |
Частота
и
2
6
20
48
56
34
20
12
2
II to О о
Отклонение от среднего
=+ —х мм
—0.04
—0.03
—0.02
—0.01
0.00
+0,01
+0.02
+0.03
+0,04
|
т? |
о |
|
|
' |
|
|
1 |
о -чГН |
О II |
|
Н |
|||
|
|
' |
|
Относитель ная частота (частость)
ni
N
0.01
0.03
0.10
0.24
0,28
0.17
0.10
0.06
0,01
v J L = i
" N
85
С л у ч а й |
1-й |
|
|
|
|
|
|
ОД! |
0 |
_ О ,0 3 |
|
|
Zl" |
U,015“ |
’ |
22' |
0,иД |
Пользуясь |
таблицей функции |
Ф0 (z), |
находим |
||
|
Ф0 (2) = 0,4772; |
Ф0 (— 2) = — 0,4772; |
|||
’ А г— 100 — [Ф0 (2) — Ф0 (— |
2)] 100=100 — 2Ф0 (2) 100 = 4,56%. |
||||
С л у ч а й |
2-й |
0,015 |
, |
. |
0,015 |
|
|
||||
|
Z l_ |
0,015 |
|
22 “ |
0,015 |
|
|
Ф0 (1) = 0,3413; |
|
||
|
Л* = 100 [Ф0 (1 )-Ф 0 ( - |
1)] 100 = 31,74%, |
При наличии неустранимых систематических погрешностей количество деталей, погрешность размеров которых выходит за установленные пределы, увеличится.
§ 18. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
Методику статистической обработки результатов измерения рассмотрим на примере, характерном для машиностроения, когда определяются дискретные значения измеряемой величины.
Из большой партии (генеральной совокупности) валиков 012_OjO7, обработанных на токарно-револьверном станке, возьмем выборку объемом N 200 шт. Измерим валики на приборе с ценой деления шкалы 0,01 мм. Примем, что точность отсчета равна 0,005, т. е. равна половине цены деления шкалы. Измерение валиков необхо димо производить в одном и том же сечении (расположенном на определенном расстоянии от торца детали), соблюдая постоянство условий измерения. Расположив полученные действительные размеры di в порядке возрастания их значения, получим ряд слу чайных дискретных величин. Разность между наибольшим и наименьшим размерами валиков определит величину поля рассея ния ш действительных размеров. Для нашего примера ю = daапо —
— dnanм = 12,005 — 11,915 = 0,09 мм (см. табл. 2).
Для упрощения расчетов поле рассеяния результатов наблю дений при N > 25 разбивают на к интервалов. Число интервалов рекомендуется брать в пределах 8—15. Для нашего примера поле рассеяния разделим на 10 интервалов. Подсчитаем число детален, имеющих размеры, ограничиваемые пределами каждого интер
вала. Получим частоты пг, п2, |
..., щ, а по формуле (34) — соответ- |
|
Л , |
П о |
п ь |
ственно частости -0; |
0 ; ... ; |
0 . |
Далее находим среднее арифметическое значение действитель ных размеров х но формуле
- _ x 1n L- lr x 2n 2- j - . . . - ^ x h n k |
л |
>ц |
(49) |
~ «1 +"2 + ... + "ft |
2 |
Х\Ту : |
где к — число интервалов группирования.
86
Из выражения (49) видно, что х равно сумме произведений
значений середин интервалов ^на их частости . Величину х иног
да называют средневзвешенной. Она определяет эмпирический центр группирования. Степень приближения х к истинному зна чению рассмотрена ниже.
В данном примере средний арифметических! размер
-- 11,9 2- 2 + 11,93-6 |
12-2 |
11,96 мм. |
200 |
|
|
|
|
Разность между действительным размером (или значением сере дины интервала ,г;) и средним арифметическим размером х назы вается его отклонением от среднего (остаточной погрешностью). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулю.
Рассеяние значений случайных величин в выборке относительно эмпирического центра группирования характеризуется эмпири ческим средним квадратическим отклонением s, определяемым по приближенной формуле
2 (Xi~ |
(5°) |
При выборке объемом, меньшим 25, целесообразно определять уточненное эмпирическое среднее квадратическое отклонение по формуле
|
|
h |
|
|
|
s = |
щ |
|
(51) |
|
V С и —хУN - 1 |
- |
||
|
|
г = i |
|
|
При N |
25 разница между величинами s и s, |
найденными по |
||
формулам (50) и (51), мала. Поэтому при N ^ |
25 пользуются фор |
|||
мулой (50). |
|
|
получим |
|
Для рассматриваемого примера (табл. 2) |
s = ] / ( — 0,04)2 •0,01 + (— 0,03)2 •0,03 + . . . + (0,04)2 •0,01 ^ 0,015 мм.
Размерность s, как и о, совпадает с размерностью случайной величины, для которой они определены.
Чем меньше величина s, тем выше точность изготовления (или измерения), т. е. тем меньше величины случайных погреш ностей изготовления (измерения). Поэтому параметр s исполь зуется, как в данном примере, в качестве меры точности процесса изготовления или при повторных измерениях одной и той же величины в качестве меры точности метода измерения.
Исключение нз совокупности результатов наблюдений грубых ошибок. Вследствие невнимательности контролера, а также вслед ствие других причин, нарушающих нормальные условия полу
87
чения опытных данных, могут иметь место грубые ошиоки, кото рые резко отличаются от среднего результата данной серии наблюдений. Причины появления таких ошибок (в отсчете по казаний измерительного прибора, в неправильном использова нии измерительного средства и т. и.) должны быть выявлены
иустранены. Наблюдение, которое может быть грубой ошибкой, исключают из общих результатов и определяют новые значения х
иs. Имеется несколько критериев для определения грубых оши бок (Ирвина и др.). При предварительных расчетах за грубые ошибки можно принимать погрешности (отклонения от х), превы
|
|
|
шающие |
по |
абсолютной |
||
|
|
|
величине 3s. |
|
|
||
|
|
|
Гистограмма и эмпири |
||||
|
|
|
ческая кривая распределе |
||||
|
|
|
ния. Характер |
рассеяния |
|||
|
|
|
значений случайной вели |
||||
|
|
|
чины, |
которой |
в рассмат |
||
|
|
|
риваемом примере являет |
||||
|
|
|
ся действительный размер |
||||
|
|
|
валика (см. табл. 2), более |
||||
|
|
|
наглядно |
определяется |
|||
|
|
|
гистограммой, |
состоящей |
|||
|
|
|
из прямоугольников, |
или |
|||
|
|
|
эмпирической кривой (ко |
||||
7 = 1 1 ,9 6 |
|
|
торую |
также |
называют |
||
0\ |
|
0 ,0 7 |
полигоном) распределения |
||||
иХ |
Поле дописка |
КВнаи6=12,00 |
(рис. 20). |
|
|
|
|
&наин~1%УЗ |
/ ,Середина поля допуска |
По оси абсцисс откла |
|||||
Рис. 20. Гистограмма и |
эмпирическая |
дываются |
интервалы |
дей |
|||
кривая распределения значений случайной |
ствительных размеров |
ва |
|||||
|
величины |
|
ликов в миллиметрах, |
а по |
оси ординат — высоты пря моугольников (для гистограммы) или отрезки (для кривой), вели чины которых при равных интервалах пропорциональны числу деталей (2, 6, 20... 2) в каждом интервале, т. е. пропорциональны
частотам ni или частостям ^ .
Проверка гипотезы о законе распределения. Для анализа результатов измерения случайных величин необходимо знать, какому теоретическому закону распределения вероятностей слу чайной величины соответствует эмпирическое распределение. Для этого, исходя из формы эмпирической кривой, из эмпири ческих значений параметров и факторов, влияющих на ее вид, выдвигается гипотеза о соответствии ее тому или иному теорети ческому закону распределения.Соответствие эмпирического распре деления предполагаемому теоретическому распределению уста навливается при помощи критериев Колмогорова и др. [6,