Файл: Якушев А.И. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения учебник.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 306
Скачиваний: 2
Сравнение характеристик эмпирического и теоретического рас пределений случайных величин. Параметры х, s и s2, оггределенные по данным выборки, дают лишь приближенную характеристику теоретического распределения. Между математическим ожиданием
MX, |
средним квадратическим отклонением ад-, дисперсией DX |
и их |
эмпирическими аналогами х, s и s2 необходимо проводить |
четкое разграничение: первые рассматриваются как постоянные, но неизвестные величины, характеризующие теоретическое распре деление (генеральную совокупность), а вторые, являясь случай ными величинами и будучи определены из выборочных наблюде ний, дают лишь приближенную оценку MX, ох и DX. Чем больше объем выборки, тем меньше разница между MX ах, ах и s, а также
DX и s2.
По результатам выборок и их объему можно установить границы, внутри которых с определенной, заданной исходя из эксплуата ционных требований вероятностью будут находиться значения MX, cf.y и DX, характеризующие результаты многократных изме рений. Эти границы определяют так называемый доверительный интервал. Соответствующая этому интервалу заданная вероятность
называется надежностью |
или доверительной |
вероятностью |
р. |
|||
При законе нормального |
распределения |
(когда |
N > 20) довери |
|||
тельные |
интервалы, например, для |
MX |
с вероятностью |
Р — |
||
= 0,9973 |
определяются |
границами |
X ± |
За^, |
где a Y — среднее |
|
квадратическое отклонение для распределения средних арифме тических величин X , определяемое по формуле
ах |/7у7~Г
Следовательно, границами доверительного интервала будут З.ц
Х± \ПхГ=1'
Вобщем случае при большом объеме выборки и различной веро ятности р доверительные интервалы для M X определяют по фор муле
X — Z G j < MX < Ж+ ZOj. |
(52) |
Обычно задаются вероятностью р, равной 0,90; 0,95; 0,99 или
0,999, что соответствует значениям z : 1,645; 1,960; 2,576 и 3,291.
Пример. Для рассмотренного выше распределения погрешностей изго товления валиков при N = 200 шт. (см. табл. 2), которое принимаем за нормальное,
_ s |
0,015 = 0,001 мм. |
0^~|/ЛжГТ |
(/199 |
При Р = 0,90 доверительный интервал для MX по формуле (52) будет
11,96-1,645-0,001 < М Х < 11,96 + 1,645 - 0,001
ИЛИ
11,958 < М Х < 11,962.
89
При р = 0,999 получим больший доверительный интервал:
11,96-3,291 - 0,001 < Л/Л' < 11,96 + 3,291-0,001
или
11,957 < MX < 11,963.
Для выборок малых объемов множитель z должен быть заме нен множителем £р, который находят по таблицам распределения
Стьюдента [35]. Значение |
зависит от объема выборки, т. е. от |
N — 1. Пользуясь этими таблицами, можно определить, например, |
|
что при N = 20 и вероятности 0,90 |
коэффициент t$ — 1,73; при |
том же значении N и вероятности 0,999 t$ — 3,88 и т. д. |
|
Таким образом, если бы значения х = |
11,96 и s — 0,015 были получены |
при выборке объемом 20, а не 200 шт., как это было принято в предыдущем примере, то при вероятности, равной 0,90, границы доверительного интервала
при |
|
0,015 = 0,003 мм |
О— —-— ........ 0,015 |
||
S |
|
|
х \f N — 1 |
| 19 |
~4ДГ |
были бы следующими: |
|
|
11,96-1,73 •0,003 < |
MX < |
11,96 + 1,73 •0,003 |
или |
|
11,965. |
11,955 СЛОГ < |
||
При вероятности 0,999 получим |
|
|
11,96 —3,88 ■0,003 < |
MX < |
11,96 + 3,88 •0,003 |
или |
|
|
11,948 < |
MX < |
11,972. |
При уменьшении объема выборки п увеличении требуемой вероятности величина доверительного интервала будет возрастать, т. е. границы возмож ных значений величины MX будут расширяться.
Аналогично могут быть определены доверительные интервалы для зна чений ах -
§ 19. СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИИ
Для проведения расчетов условимся считать погрешностью Ах; отклонение от среднего значения величины а+ Следовательно, погрешности могут быть + Дхг и —Ах.ь а диапазон изменения погрешности равен 2Аа+ Например, для валиков 0 12_.0.07 наи большие допустимые отклонения от среднего размера (11,96) могут быть равны +0,045 и —0,045.
Для повышения точности измерений рекомендуется произво дить не одно, а ряд измерений одной и той же величины X при одних и тех же условиях. Как уже отмечалось, результат изме рения в общем случае может отличаться от среднего значения изме ряемого параметра па величину систематических и случайных погрешностей измерения. Значения вероятных границ, в которых будут находиться статистические характеристики х, s и s2 много кратных измерений, определяются доверительными интервалами.
90
Систематические погрешности должны суммироваться: посто янные — алгебраически, т. е. с учетом знака; переменные — по наибольшим абсолютным величинам и с тем знаком, при котором суммарная погрешность по абсолютной величине будет наиболь
шей.
На основании равенства (47) можно считать, что при нормаль ном распределении с вероятностью, равной 0,9973, предельная случайная погрешность измерения будет
Дат = ± Зо ^ ± 3s. |
(53) |
Из теории вероятностей известно, что дисперсия суммы несколь ких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т. е.
D |
+ Жз |
-Ьхп) = |
Dxi -j- Dx, -(-... -f- Dxn. |
Учитывая, |
что Dx = |
о$, можно написать |
|
|
° ( х ! + х 2 + • • •х п ) ~~ |
^ ° * 1 + ° Х2 + • ‘ 'G 'Xn |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
Os = |
(54) |
Из уравнения (54) следует, что суммирование слагаемых слу чайных погрешностей, входящих в погрешность результата изме рения при их взаимной независимости и одинаковом распределе нии, должно производиться квадратически.
Укажем, что предельная погрешность Ди Y ряда средних арифметических будет
= |
(55) |
где Ацщ определяются по уравнению (53).
Предельная суммарная погрешность измерения или изготов ления, состоящая из систематических и случайных погрешностей,
As lim = 2- Aj сист dl V"Айш14“ АйшзЧ- •••“Ь Apm ni
где 2 А ;си0т — алгебраическая сумма систематических погреш ностей, проставляемая со своим знаком; Ацш1, АцШ2, ..., Дцтп — предельные случайные погрешности, входящие в As пш-
Эта формула справедлива, если законы распределения всех случайных погрешностей одинаковы (например, все погрешности подчиняются нормальному закону).
При определении наибольшей предельной погрешности (наихудший случай) у квадратичной суммы случайных погрешностей берется тот же знак, который имеет сумма систематических по грешностей SAjcjcj.
91
Пример [36]. Гладкий рабочий калибр-пробка для проверки отверстия ф 100Л измеряется на горизонтальном оптиметре. Применяются концевые меры 1-го класса точности по их номинальным размерам (т. е. без учета их действительных размеров). Требуется определить предельную погрешность измерения.
По ОСТ 1204 устанавливаем, что допуск на изготовление пробки равен 0,006 мм. Пределы допускаемой погрешности оптиметра принимаются рав ными ДИшп= ±0,0003 мм. Пределы допускаемой погрешности блока конце
вых мер находим исходя из допусков, входящих в блок концевых мер 1-го класса точности по ГОСТ 9038—59: Ali[IlM = ±0,0005 мм. Влиянием про
межуточных притирочных слоев смазки (толщиной 0,02—0,03 мкм) прене брегаем.
Определяем предельную погрешность, вызванную отклонением темпера
туры от нормальной. |
применении концевых |
мер |
Допустимые колебания температуры при |
||
1-го класса равны ± 3 ° С. Коэффициент линейного расширения калибра |
= |
|
= (11,5 ± 2) •10-6, концевых мер а2 = (11,5 ± |
1) •10““. Наибольшая возмож |
|
ная разность коэффициентов линейного расширения а = a lmax — сс.,ш1ц=
= 13,5 •10-« — 10,5 - 10-6 = 3 - 10-«.
Тогда предельная температурная погрешность
ДИга х ~ ± Iд 1а = ± ЮО •3 ■3 •10_6= ± 0,0009 мм.
Погрешность, вызываемую измерительным усилием, в расчет не прини маем, так как ее влияние мало. Будем считать, что систематические погреш ности устранены. Находим суммарную предельную случайную погрешность измерения:
Д2 Нт = ± У ДПшп + ДПшМ + ДНт Г = ± ] / 0,32- f 0,53+ 0,92 ± 1 МКМ,
что соответствует ~17% допуска измеряемой пробки [16].
ГЛ АВА V
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
Средства измерения, применяемые в машиностроении, можно разделить на две группы: измерительные инструменты и приборы; автоматические средства контроля. По назначению измерительные приборы делятся на универсальные и специальные. Специальные приборы предназначены для имерения одного или нескольких параметров деталей определенного типа (такие приборы описаны в главах, где рассматривается контроль типовых соединений дета лей). По числу параметров, проверяемых при одной установке детали, различают одномерные и многомерные измерительные средства, а по степени механизации процесса измерения — неавто матические (ручного действия), механизированные, полуавтомати ческие и автоматические.
§20. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
ИПРИБОРЫ
Измерительные инструменты. К этим инструментам относятся штангенциркули, предназначенные для измерения наружных и внутренних размеров (рис. 21), штангенглубиномеры, служащие для контроля глубины отверстий и пазов, штангенрейсмусы для разметки и измерения высоты (рис. 22) и микрометрические изме рительные инструменты.
В штангенинструментах применяется нониус — отсчетное приспособление в виде линейки со шкалой, по которой переме щается шкала нониуса. Оно позволяет отсчитывать дробные доли деления основной шкалы. Нониусы изготовляют с величиной отсчета 0,1; 0,05 и 0,02 мм (см. рис. 21, в).
Расчет нониуса производится следующим образом. По задан ной длине деления с основной шкалы, величине отсчета по нониусу г, количеству у делений основной шкалы, соответствующему одному делению шкалы нониуса (модуль нониуса), определяют число п делений! нониуса, длину деления Ъ шкалы нониуса и длину I шкалы нониуса:
п = ~\ 6 = ус-— г; |
l = nb = n(yc — i). |
Например, при i — 0,1 мм; |
с == 1 мм и у — 2 число делений |
п = 10, длина деления b — 1,9 мм и длина шкалы I — 19 мм.
93
