Файл: Шумоподобные сигналы в системах передачи информации..pdf

их взаимокорреляции с ожидаемым. Действительно, если на вход фильтра подается помеха sn (/), то отклик будет определяться инте­ гралом

Следовательно, на выходе согласованного фильтра полностью воспро­ изводится в реальном масштабе времени с точностью до постоянного множителя TJas или 0,5Tsasasn функция взаимокорреляции двух сигналов: мешающего sn (t), реально действующего на фильтр, и того сигнала s (t), с которым этот фильтр согласован.

Если согласованный фильтр работает на детектор, т. е. в схемах оптимального обнаружения и распознавания сигналов со случайными начальными фазами, то на выходе последнего будет воспроизводиться модуль огибающей ФВК двух сигналов.

Следовательно, ФВК дает наиболее полную характеристику взаи­ модействия или взаимного влияния разных сигналов в схемах, опти­ мальных для приема на фоне флюктуационных помех. Таким обра­ зом, по селекции мешающих сигналов согласованный с ШПС фильтр с детектором дает те же результаты, что и квадратурный коррелятор.

2.5.4. Прохождение помех

Как видно из схем, помеха действует на входе и выходе согласо­ ванного фильтра длительное время в отличие от коррелятора, где она проходит через перемножитель на интегратор только с момента начала действия копии ожидаемого сигнала. В связи с этим можно восполь­ зоваться простыми выражениями для стационарного отклика линей­ ных звеньев, наблюдаемого при действии на их входе стационарного случайного процесса. Тогда энергетический спектр помехи на выходе согласованного фильтра будет равен

Функция распределения помехи на выходе фильтра обычно принимает­ ся нормальной. Наибольшее практическое значение имеет дисперсия

74

помехи на выходе фильтра. Она зависит от того, как определяется аб­ солютное значение его коэффициента усиления.

Если взять фильтр с усилением, нормированным к единице, когда отклик на сигнал в момент t = Ts определяется (2.5.16), то получим

Отсюда видно, что в согласованном фильтре также накапливается помеха. Однако отклик на сигнал накапливается быстрее и отношение максимума отклика на сигнал к среднеквадратичному значению помех на выходе фильтра до детектора в момент t = Ts при отсутствии сигна­ ла и к среднеквадратичному значению помех, действующих на выходе фильтра вместе с сигналом, равно

что также выражается отношение сигнал/помеха на выходе коррелято­ ра (2.4.22).

Помеха длительно действует на выходе согласованного фильтра,

решения, когда с выхода согласованного фильтра напряжение подается на пороговое устройство. Сказанное выше относится к исследованию прохождения помехи через согласованный фильтр, который является линейным звеном. В этих условиях прохождение сигнала и помехи через него можно рассматривать независимо. Во многих случаях в оптималь­ ные схемы, использующие согласованные фильтры, входит детектор (см. рис. 2.5.1). В этих условиях нужно рассматривать отклик на выходе нелинейного звена, которое выявляет огибающую помехи или смеси сигнала с помехой (детектора). При действии только помехи на выходе детектора, как известно [2.3], получим отклик, описываемый функцией распределения Релея, которому подчиняется огибающая нормального процесса, каковым является помеха на выходе согласованного фильтра. При коэффициенте передачи детектора, равном единице, получим

Следовательно, при случайной фазе сигнала, когда на выходе согла­ сованного фильтра включается детектор так же, как в квадратурном корреляторе, отклик на помеху имеет тот же знак, что и отклик на

75

сигнал, и математическое ожидание этого отклика не равно нулю. Ха­ рактер отклика на выходе фильтра и детектора показан на рис. 2.5.3. Прохождение помехи через согласованный фильтр с детектором можно трактовать так же, как вычисление модуля оценки взаимокорреляции между помехой и сигналом. Но это не дает особых преимуществ при анализе результатов и их истолковании. Поэтому в дальнейшем будем

t

Рис. 2.5.3.

пользоваться более удобным и лучше отражающим физический смысл методом анализа прохождения помехи через фильтры, использованным выше и основанным на линейных преобразованиях случайных процес­ сов.

2.5.5. Прохождение смеси сигнала и помехи

Поскольку фильтр является линейной цепью, то отклик на смесь можно рассматривать как сумму откликов на сигнал и помеху

Ух (0 = Уs (t) + yn (О-

Особенности откликов ys (t) и уп (t) были рассмотрены выше (2.5.12), (2.5.26). В момент t — Ts соотношение между пиковым значением от­ клика на сигнал и среднеквадратичным отклонением от действия по­ мехи такое же, как в корреляторе, и функции распределения помехи и смеси на момент t = Ts будут такими же, как в схемах с коррелято­ рами. Поэтому, если фильтр используется в схеме приема сигнала с из­ вестной фазой, то качество работы такой схемы, т. е. вероятности оши­ бочных решений, будут такими же, как в схеме с коррелятором (2.3.7), (2.3.9). Однако основной интерес представляет использование согласо­ ванных фильтров в схемах для сигнала со случайной фазой. При этом в схеме имеется детектор и ее работа характеризуется процессами, наблюдаемыми на выходе детектора. Если положить, что детектор

76

идеально выделяет огибающую подаваемого на него напряжения [2.3], то достаточно выяснить вероятностные характеристики огибающей (амплитуды) смеси (колебания), наблюдаемой на выходе согласован­ ного фильтра.

На выходе фильтра имеет место случайный процесс ух (t), который можно рассматривать как процесс со случайной амплитудой и фазой

мальной помехи, подчиняется обобщенному закону Релея. Опустив преобразования, которые можно найти, например, в [2.3 и 2.4], при­ ведем выражения для w (Yx), где Yх = Y (t = Ts):

Отсюда вытекает, что для момента t = Ts функции распределения для огибающей смеси на выходе согласованного фильтра (2.5.27) и отклика квадратурного коррелятора (2.4.45) полностью совпадают. Выше было отмечено аналогичное совпадение для отклика на помехи.

В схеме распознавания сигналов со случайной фазой отклики двух каналов, содержащих согласованные фильтры и детекторы, вычитают­ ся. При действии сигнала (без помех) отклик на выходе вычитающего устройства можно получить как разность модулей функций автокор­ реляции и взаимокорреляции. При наличии помех из отклика канала с сигналом, где наблюдаются отклонения огибающей, вычитается на­ капливающийся под действием помех и боковых выбросов ФВК отклик другого канала. Результирующий отклик имеет сложный характер и будет рассмотрен в гл. 5. Здесь отметим только, что в момент t — Ts вероятностное описание этого отклика на основании изложенного выше такое же, как отклика на выходе схемы с двумя квадратурными кор­ реляторами. Следовательно, результаты по обнаружению и распозна­ ванию сигналов у схем с фильтрами и корреляторами для сигналов со случайной фазой совпадают. В обоих случаях вероятности ошибок будут выражаться одними и теми же формулами, которые были при­ ведены выше.

2.5.6. Особенности схемы с согласованными фильтрами при приеме последовательности сигналов

Согласованный фильтр оказывает значительное влияние на любые ШПС, и отклик фильтра, повторяя ФАК сигнала, мало похож на дей­ ствующий на его входе сигнал. При этом особенно существенно то, что длительность отклика Ту всегда больше, чем длительность сигнала Ts, примерно в два раза:

77

Следовательно, отклик на выходе согласованного фильтра начинает проявляться в момент начала действия сигнала, т. е. при t >> 0. К мо­ менту окончания действия сигнала в фильтре осуществляется накопле­ ние его энергии и отклик достигает максимума. В последующие момен­ ты времени, при t = Ts, сигнал на входе фильтра уже прекратился, а отклик сохраняется, постепенно, в соответствии с видом ФАК, спа­ дая до нуля к моменту времени t == 2TS. При этом происходит погло­ щение энергии, запасенной в фильтре при действии сигнала. Сказан­ ное подтверждается изображенными на рис. 2.4.1 и 2.4.2 функциями автокорреляции некоторых сигналов и рис. 2.5.2, где даны отклики со­ гласованных фильтров. Но если сигнал не одиночный и за ним следует такой же или другой сигнал, то очевидно, что на интервале времени от Ts до 2TS на затухающий отклик предшествующего (первого) сигнала накладывается появляющийся и накапливающийся отклик на сле­ дующий (второй) сигнал и т. д. Взаимодействуя, эти отклики дадут результирующий, протекание которого будет существенно зависеть от того, какие сигналы содержатся в последовательности. Для того чтобы избежать этих наложений в схемах с согласованными фильтра­

При сбросе изменится прохождение через фильтр помех. Отклик на помеху на выходе фильтра будет нестационарным случайным про­ цессом с возрастающей дисперсией. Однако в схемах с согласованны­ ми фильтрами, особенно в начальный период работы системы, когда наиболее существенно сказывается вид функций авто- и взаимокор­ реляции, так как стробирование момента принятия решения еще не осуществляется, выполнить сброс невозможно. Обычно в схемах с фильтрами по тем или иным причинам сброс не производится, тогда при действии последовательности сигналов отклик будет зависеть от характера последовательности.

Прохождение через согласованные фильтры последовательности шумоподобных сигналов существенно отличается от прохождения по­ следовательности простых сигналов. Как известно, при приеме после­ довательности простых сигналов происходит «наложение» откликов. Это приводит к необходимости расширения полосы фильтров по отно­ шению к оптимальной для одиночного сигнала и к потерям энергии (до 2 дБ) [6.11.

Благодаря «сжатию» ШПС и особому виду их ФАК и ФВК также происходит «наложение» откликов, но это приводит к другим послед­ ствиям, а именно к изменению характера и уровня боковых выбросов, в том числе и при наиболее простом случае, когда передается последо­ вательность одинаковых ШПС. Могут быть и другие комбинации.

Методика получения отклика на последовательность может быть показана на одном характерном случае. Поскольку фильтр является линейной системой, если рассматривать отклик непосредственно на выходе фильтра, т. е. до детектора, то отклик может быть найден как

78

сумма откликов на каждый из сигналов. Отклик на каждый из членов суммы имеет значение, отличающееся от нуля, в пределах интервала времени, равного 2TS, поэтому можно для каждого интервала времени от t = Ts до t --- 2TS ограничиться суммированием двух откликов. При этом

где tx — время, отсчитанное от конца действия любого из сигналов последовательности или, другими словами, от момента максимума од­ ного из главных выбросов. Функцию (2.5.31) часто называют периоди­ ческой автокорреляционной функцией (ПФАК) в отличие от рассмот­ ренных ранее функций для одиночного сигнала, которые называют импульсными или апериодическими функциями автокорреляции (АФАК). Ранее для краткости изложения термин «апериодическая» и обозначение «АФАК» не использовались.

Огибающая ПФАК В s пер (£і) будет определяться амплитудой от­ клика. Выражения (2.5.30) и (2.5.31) дают правило получения ПФАК по известным АФАКОднако нужно иметь в виду, что для получения огибающей ПФАК требуется знание АФАК с точностью до фазы ее высокочастотного множителя. Поскольку у большей части сигналов фазы в выбросах отличаются на я, то это можно учесть условно, от­ ражая фазу в знаке огибающей. На рис. 2.5.4 для иллюстрации дано вычисление огибающей ПФАК для ШПС в виде УИ-последовательности, состоящей из 15 элементов, сформированной по коду, указанному на рисунке. Как видно из рис. 2.5.4, периодическая функция автокорре­ ляции существенно отличается от апериодической. Вид ПФАК для ряда сигналов дан в гл. 3.

Аналогичные результаты получаются также в том случае, когда на фильтр действует последовательность сигналов, с которыми он не согласован. Результат определяется функцией взаимокорреляции, ко­ торую также называют периодической и обозначают ПФВК. Может быть большое количество вариантов различных ФВК, некоторые из них даны в гл. 3. Здесь остановимся только на особенностях таких функций, рассмотрев их на простейших примерах.

Предположим, что на фильтр, согласованный с М-последователь- ностью, использованной на рис. 2.5.4, действует продолжительный гармонический сигнал. Причем несущая этого сигнала точно соответ­ ствует несущей ШПС, на который настроен фильтр. Вид огибающей ПФВК для такого сочетания дан на рис. 2.5.5, б; для сравнения там же

79