Файл: Шумоподобные сигналы в системах передачи информации..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 192
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение табл. |
3.2.1 |
||||||
m |
I'll |
«Л |
"0 |
|
a2 |
a, |
"4 |
|
"e |
|
|
«10 |
"11 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1* |
A l i |
1 |
0 |
0 0 |
0 0 0 |
0 0 |
1 1 0 |
1 |
1 |
||||||||
|
1 |
ЛІа |
1 |
1 |
0 |
1 1 0 0 |
0 0 0 0 |
0 |
0 |
1 |
||||||||
1 о |
421* |
AI3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
là |
421 |
M 4 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1325* |
Af8 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
1325 |
AI« |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
/ п —номер последовательности по Питерсону |
[3.12]. В скобках указаны но |
|
мера «зеркальных» |
последовательностей, отмеченных знаком*. |
|
Mh—условный |
номер АІ-последовательности. |
|
ления программы для расчета корреляционных функций на ЭВМ, которая приводит к получению того же результата, что (3.2.3) [6.11]:
dj = —dj^dj-h ... dj_m, m > k 1, / = (m -f- 1) -f- N3. (3.2.4)
Число сомножителей обязательно будет четным.
В частном случае двух сомножителей, что соответствует двум
обратным связям в регистре сдвига, имеем |
|
dj = dj-mdj_h. |
(3.2.5) |
Рассмотрим пример получения последовательности М2 по правилу (3.2.5). Пусть m = 4, начальный блок 1000, тогда M-последователь ность будет равна 100011110101100, так как
d5= - r f 5 _ 4 d 5 _ 1 |
= rfid4 |
= - [ l . ( - 1 ) ] = 1, |
|
d6 = - A - 4 d e - i = ~аЛ |
= (—i) |
- i = i . |
|
d7 = —cf7 _4 d7 _i = |
d3de = |
—(—1) • (1) |
= 1 и т . д. |
Мы получили точно такой же результат, что и в предыдущем примере, когда M-последовательность строилась по правилу (3.2.3).
С ростом памяти m число символов последовательности УѴЭ резко увеличивается, практически удваиваясь при увеличении m на еди ницу (табл. 3.2.2). Уже ранее отмечалось, что изменение начального блока последовательности приводит лишь к циклическим перестанов кам одной и той же последовательности. При этом имеется 2т — 1 возможностей выбора начала последовательности. Общее число воз можных различных M-последовательностей максимального периода [правил кодообразования (3.2.3)] определяется из выражения (3.2.2)
Ns = ц> (2т — \)Іт.
Ш
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3.2.2 |
|
m |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
Л'э |
3 |
7 |
15 |
31 |
63 |
127 |
255 |
|
511 |
1023 |
2047 |
4095 |
8191 |
m |
|
14 |
|
15 |
16 |
|
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
16388 |
32767 |
65535 |
|
131071 |
|
262143 |
524287 |
1048575 |
||||
В табл. 3.2.3 приведено число |
N S M |
В зависимости от т. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3.2.3 |
|
m |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
2 |
2 |
6 |
6 |
18 |
16 |
48 |
60 |
176 |
m |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
19 |
NsM |
144 |
630 |
576 |
1800 |
2048 |
7710 |
7776 |
27594 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что в некоторых случаях увеличение памяти приводит не к увеличению, а, наоборот, к уменьшению числа различных возможных правил кодообразования. Так, например, при m = 7 N S M = 18, а при m = 8 N S M =16. Это имеет место по той причине, что числу 127 соответствует больше взаимно простых чисел, чем числу 255, так как 127 является простым числом, а 255 = 3 x 5 x 17. Это поло жение базируется на основе теории множеств [3.12].
В табл. 3.2.4 приводятся в качестве примера М-последователь- ности для m = 3, 4, 5, 6 и некоторые варианты при 7.
В том случае, когда в выражении (3.2.4) имеется наибольшее число коэффициентов а,-, равных нулю, генерирующее устройство получает ся наиболее простым, так как количество обратных связей будет ми
нимальным. |
|
|
|
МЛРП обладают тем свойством, |
что при перемножении |
последо |
|
вательности длиной N3{dj} |
на такую же последовательность, но сдви |
||
нутую вправо или влево на |
некоторое |
количество элементов |
k{dj+h}, |
получаем после изменения знаков у произведения на обратные перво начальную последовательность, но смещенную на другое число эле ментов, т. е.
{— djdJ+k} |
= [dj+l}, |
I ф k. |
(3.2.6) |
|
112
Т а б л и ц а 3.2.4
m = 3
1110010
1110100
m = 4
111100010011010
111101011001000
1111100011011101010000100101100
1111100110100100001010111011000
1111100100110000101101010001110
1111101110001010110100001100100
1111101000100101011000011100110
1111101100111000011010100100010
m
11000001000011000101001111010001110010010110111011001101010
11010101100110111011010010011100010111100101000110000100000
11010111000110011101100000111100100101010011010000100010110
11011010001000010110010101001001111000001101110011000111010
11010000011100001001000110110010110101110111100110001010100
11001010100011001111011101011010011011000100100001110000010
m — 7
111111100001110111100101100100100000010001001100010111010110110—».
»0000110011010100111001111011010000101010111110100101000110111000 1111111000111011000101001011111010101000010П011110011100101011 —>
>0011000001101101011101000110010001000000100100110100111101110000
111111100001010110001001111001010010010110101010000011001000011—>
>101011100110001101100110000001000111110100110100010111101101110
111111101110110111101000101100101111100010000001100110110001110-> >00111010111000010011000001010101101001001010011110010001101010000
1111111000000100000110000101000111100100010110011101010011111010^
>0001110001001011101101011011110110001Ю100101110111001100101010
3.2.3. Двумерные и одномерные функции
автокорреляции сигналов Хаффмена
Двумерная нормированная функция корреляции, характеризую щая влияние временного и частотного сдвига принимаемого сигнала по отношению к ожидаемому, может быть записана следующим обра зом:
J_ |
(3.2.7) |
|
J j=l |
113
где Хэ (т . — двумерная функция корреляции элемента последова тельности
|
|
|
|
л k |
|
С ( У ) = С 0 5 К / - 1 ) Й Т Э ] = С 0 5 ( / - 1 ) ^ |
|
||||
так как |
Тэ2п |
&Fk _ |
T32nk |
|
|
T9Q |
|
|
|||
2 |
|
2 |
2Т. |
|
|
где k = 0; 1/z; 2/z; 3/г; 4/z; ...; Na— |
числа, |
определяющие точность |
|||
расчетов (частоту рассчитываемых дискретных точек сечений |
вдоль |
||||
частотной оси); г — 1, 2, 3, 4, |
... ;/== |
1 —- Ng |
— номер элемента |
пер |
|
X(t,0)N3 127120 -
Рис. 3.2.1.
вой (опорной) последовательности; х, у — вторая (воздействующая) последовательность; і = 0 -т- N9 — номер сдвига принимаемой (воз действующей) последовательности относительно опорной.
Выражение (3.2.7) соответствует периодическому режиму работы. При апериодическом режиме суммирование производится в пределах от / = 1 + і до N9.
Рассмотрим свойства сечения ДФАК % (т, Q) вдоль временной оси при отсутствии частотных рассогласований, которая является в этом случае функцией автокорреляции.
Автокорреляционная |
функция |
M-последовательностей. |
Можно |
|||
показать, что в непрерывном режиме работы нормированная |
автокор |
|||||
реляционная функция X (т, 0) имеет основной выброс, равный единице, |
||||||
и боковые выбросы, относительный уровень которых равен — |
l/NB |
|||||
[6.11]. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
периодическая |
автокорреляционная |
функция |
|||
X (т, 0) |
/И-последовательности |
имеет |
за период Ts = N9Tg |
один ос |
||
новной |
выброс длительностью |
2Г Э , а остальную часть периода |
абсо |
|||
лютная величина этой функции в N9 |
раз меньше (рис. 3.2.1, |
пунктир |
||||
ная линия, обозначенная ПФАК). С ростом Na ПФАК таких сигналов
114
приближается |
к |
идеальной, когда |
боковые |
выбросы по сравнению |
|||
с основным становятся пренебрежимо малыми. |
|
||||||
Нормированная |
апериодическая |
функция автокорреляции М-по- |
|||||
следовательности |
длительностью |
Ts |
= NaTB |
будет иметь наибольшие |
|||
боковые выбросы, |
равные примерно |
l/j/Л Ѵ |
На рис. 3.2.1 в качестве |
||||
примера приводится АФАК M-последовательности |
Хаффмена 3* при |
||||||
N э = 127 (3* |
здесь |
и на других |
рисунках — номер последователь |
||||
ности по табл. 3.2.1). |
|
|
|
|
|||
Значение |
ненормированного |
максимального |
бокового выброса, |
||||
равное «g макс — V~N9t вытекает из псевдослучайного характера по следовательности, в которой содержится приблизительно одинаковое число элементов + 1 и — 1 . Так как боковой выброс автокорреляцион ной функции является суммой произведений разнополярных элемен тов (1 и —1), то математическое ожидание бокового выброса за время Ts равно m (%б) = 0, а дисперсия D (хъ) равна ІѴЭ. Взяв отношение среднеквадратичного отклонения Y~Na К основному выбросу в момент отсчета, равному сумме элементов Nэ, получим нормированный уро вень боковых выбросов, определяемый как
Однако можно найти такие М-последовательности, у которых бу дет более удачное сочетание разнополярных символов в последова тельности, в результате чего уровень боковых выбросов оказывается
меньше, чем определяемый предыдущей |
формулой. |
В табл. 3.2.5 приведены в качестве |
примера результаты расчета |
некоторых из большого числа рассчитанных на ЭВМ апериодических автокорреляционных функций A4-последовательностей различной дли
ны Nэ , где N6 м а |
к с |
— количество выбросов, имеющих |
максимальную |
|||||||
величину |
м а к с / І ^ Ѵ э ; |
значение порогового уровня |
выбирается как |
|||||||
целое число, ближайшее |
к |
]A<V3; N9 |
— значение основного выброса |
|||||||
в момент |
отсчета; |
Л ^ б п о р |
— количество |
выбросов, |
|
превышающих |
||||
порог иб п о |
р ; все результаты |
нормированы |
относительно |
j A V 3 . В таб |
||||||
лице дано математическое ожидание модуля выбросов Ші (|«6І)> а |
также |
|||||||||
среднеквадратичное значение модуля выбросов £>1 / 2 (| и6 |
|). |
|
||||||||
Расчет выбросов ФАК для каждого относительного сдвига |
может |
|||||||||
быть произведен |
в соответствии с выражением |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
"в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = І |
|
|
|
|
|
где X — первая |
опорная |
последовательность; у — вторая (принимае |
||||||||
мая) последовательность. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
После |
статистической |
обработки |
многочисленных |
результатов |
||||||
расчета сделан ряд выводов [3.40]. Величина наибольших боковых
выбросов при различных длительностях Nэ |
может принимать |
значе |
ния в пределах ыб м а к с = (0,7 -г- l,25)j/^V8 . |
Математическое |
ожида- |
115
'п
151*
1
311
3*
63 |
1 |
|
11* |
||
|
3
5
127 9
13*
1
19
255 37*
11
1*
1
511 3*
9
1023 1*
Усреднение по всем N.à
"б макс
УК |
б макс |
|
|
1,64 |
1 |
0,78 |
1 |
0,90 |
2 |
0,72 |
3 |
0,75 |
2 |
1,13 |
2 |
0,71 |
6 |
1,16 |
1 |
0,84 |
6 |
1,25 |
1 |
0,88 |
1 |
1,20 |
2 |
1,13 |
1 |
1,13 |
2 |
1,10 |
1 |
1,02 |
1 |
1,02 |
1 |
1,08 |
3 |
1,19 |
3 |
0 , 7 - М |
,25 |
^макс |
"б пор |
%ѴЩ,
26,6
20,0 0,78
16,1
12,9 0,90
9,5
14,3 0,88
6,3
10,2
7,9 0,98
11
5,5
7,5 0,94
7,1
7,1
4,9
4,5
4,5 0,97
4,7
3,7 1,0
|
Т а б л и ц а |
3.2.5 |
|
' M 1 "б 1 о) * Ч 1 и б 1 ) |
|
б пор |
|
|
1 |
0,26 |
0,30 |
0 |
0,33 |
0,22 |
0 |
0,37 |
0,23 |
0 |
0,30 |
0,27 |
0 |
0,31 |
0,20 |
5 |
0,35 |
0,29 |
0 |
0,29 |
0,20 |
3 |
0,37 |
0,27 |
0 |
0,33 |
0,26 |
4 |
0,29 |
0,29 |
0 |
0,32 |
0,21 |
5 |
0,33 |
0,27 |
3 |
0,35 |
0,26 |
9 |
0,35 |
0,28 |
4 |
0,32 |
0,25 |
1 |
0,33 |
0,24 |
1 |
0,32 |
0,22 |
5 |
0,32 |
0,24 |
16 |
0,30 |
0,27 |
|
0,32 |
0,26 |
ние модуля выбросов оценивается как m (| иб | ) = 0,32J//Va , а средне квадратичное отклонение модуля выбросов D 1 / 2 ( [ « б |) = 0,26]/N,d. Математическое ожидание выбросов равно нулю и среднеквадратичное
отклонение D]/2 (иа) = |
0,4]//Ѵэ . Анализ ФАК всех возможных TW-по |
следовательностей при |
некоторой длине Мэ позволяет найти те из |
последовательностей, у которых наибольшие боковые выбросы будут
наименьшими, и тогда можно найти 7 м и н м а к о (%)• |
де Лонга [3.7] |
На основании данных табл. 3.2.5 и исследований |
|
можно составить табл. 3.2.6, в которой при различных |
длительностях |
последовательностей N3 производится сравнение значений часто встре |
|
чающихся наибольших боковых выбросов /И-последовательностей,
определяемых |
уровнем |
-100%, с боковыми выбросами, имеющими |
минимальные |
значения |
у м и н м а к с (%). |
116
